2025年高三数学高考平面向量的数量积与应用模拟试题

2025年高三数学高考平面向量的数量积与应用模拟试题一、单项选择题1.已知向量$\vec{a}$和$\vec{b}$满足$|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=1$，$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=60^\circ$，则向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影向量为（）A.$\frac{1}{2}\vec{b}$B.$\vec{b}$C.$\sqrt{3}\vec{b}$D.$2\vec{b}$解析：向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影向量公式为$\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$。计算数量积$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos60^\circ=2\times1\times\frac{1}{2}=1$，代入公式得$\frac{1}{1^2}\vec{b}=\vec{b}$，故选B。2.在$\triangleABC$中，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cosA=bc\cosA$，且满足$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cosA=\frac{1}{2}(b^2+c^2-a^2)$（余弦定理）。若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2$，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，则角$A$的大小为（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$解析：由数量积定义$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cosA=2\times2\cosA=4\cosA=2$，解得$\cosA=\frac{1}{2}$，故$A=60^\circ$，选C。3.已知$\triangleABC$是边长为2的等边三角形，点$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$的中点，连接$DE$并延长到点$F$，使得$DE=EF$，则$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC}$的值为（）A.$-2$B.$-1$C.$1$D.$2$解析：以$BC$为$x$轴，中点$O$为原点建系，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，$A(0,\sqrt{3})$。$D$，$E$分别为$AB$，$AC$中点，坐标为$D\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$E\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。延长$DE$至$F$，由$DE=EF$得$F\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。$\overrightarrow{AF}=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right)=\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC}=(2,0)$，数量积为$\frac{3}{2}\times2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times0=3$，无正确选项（注：原题可能存在坐标计算误差，正确结果应为3，但选项中无3，需检查题目条件）。4.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(4,k)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$\vec{a}$与$\vec{a}+\vec{b}$夹角的余弦值为（）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$解析：由$\vec{a}\perp\vec{b}$得$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times4+2k=0$，解得$k=-2$，则$\vec{b}=(4,-2)$，$\vec{a}+\vec{b}=(5,0)$。$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}|}=\frac{1\times5+2\times0}{\sqrt{1^2+2^2}\times5}=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，选A。5.设$O$为坐标原点，圆$C$与$x$轴相切于点$(1,0)$，圆心$C$在直线$x=1$上，半径为1，则圆$C$的方程为$(x-1)^2+(y-1)^2=1$。直线$l:y=kx+2$交圆$C$于$A$，$B$两点，其中点$A$在第二象限，则$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=$（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$解析：联立圆与直线方程：$(x-1)^2+(kx+1)^2=1$，化简得$(1+k^2)x^2+2(k-1)x+1=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由韦达定理$x_1+x_2=-\frac{2(k-1)}{1+k^2}$，$x_1x_2=\frac{1}{1+k^2}$。$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=x_1x_2+(kx_1+2)(kx_2+2)=(1+k^2)x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4$，代入得$(1+k^2)\cdot\frac{1}{1+k^2}+2k\cdot\left(-\frac{2(k-1)}{1+k^2}\right)+4=1-\frac{4k(k-1)}{1+k^2}+4$。因直线过定点$(0,2)$，且圆心到直线距离$d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}\leq1$，解得$k=0$，代入得$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1+0+4=5$（注：题目可能存在数据错误，正确思路为利用圆的参数方程或向量极化恒等式简化计算）。二、多项选择题6.已知平面向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$满足$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$，则下列结论正确的是（）A.$|\vec{c}|\leq\sqrt{2}+1$B.$|\vec{c}|\geq\sqrt{2}-1$C.$\vec{c}\cdot(\vec{a}+\vec{b})\geq1$D.$\vec{c}\cdot(\vec{a}-\vec{b})$的最大值为$\sqrt{2}$解析：设$\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$，则$\vec{c}=(x,y)$，由$|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$得$(x-1)^2+(y-1)^2=1$。$|\vec{c}|=\sqrt{x^2+y^2}$，几何意义为圆上点到原点距离，最大值$\sqrt{2}+1$，最小值$\sqrt{2}-1$，A、B正确；$\vec{c}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=x+y$，圆心$(1,1)$到直线$x+y=t$的距离$d=\frac{|t-2|}{\sqrt{2}}\leq1$，解得$2-\sqrt{2}\leqt\leq2+\sqrt{2}$，C错误；$\vec{c}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=x-y$，最大值为$\sqrt{2}$（当$x-y=\sqrt{2}$时），D正确。故选ABD。7.在$\triangleABC$中，$M$为$BC$中点，$G$为重心，则下列等式成立的是（）A.$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$B.$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}|^2-\frac{1}{4}|\overrightarrow{BC}|^2$（极化恒等式）C.若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$，则$|\overrightarrow{AM}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|$D.$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$解析：重心分中线比为$2:1$，$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$，A正确；极化恒等式：$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}|^2-\frac{1}{4}|\overrightarrow{BC}|^2$，B正确；直角三角形斜边中线等于斜边一半，C正确；重心性质：$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$，D正确。故选ABCD。三、填空题8.已知向量$\vec{a}=(2,m)$，$\vec{b}=(3,1)$，若向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的夹角是锐角，则$m$的取值范围是________。解析：夹角为锐角等价于$\vec{a}\cdot\vec{b}>0$且$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线。$\vec{a}\cdot\vec{b}=6+m>0\Rightarrowm>-6$；共线时$2\times1-3m=0\Rightarrowm=\frac{2}{3}$，故$m\in(-6,\frac{2}{3})\cup(\frac{2}{3},+\infty)$。9.在菱形$ABCD$中，$\angleC=60^\circ$，边长$AB=4$，$E$为边$BC$的中点，若$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=-8$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=$________。解析：以$AC$为$x$轴，中点$O$为原点建系，$A(-2,0)$，$C(2,0)$，$B(0,-2\sqrt{3})$，$D(0,2\sqrt{3})$，$E(1,-\sqrt{3})$。$\overrightarrow{AE}=(3,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BD}=(0,4\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=3\times0+(-\sqrt{3})\times4\sqrt{3}=-12$（与题目条件矛盾，需检查题目数据）。若题目条件正确，设$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|\cos30^\circ=4\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$。10.已知$\triangleABC$的外接圆半径为1，圆心为$O$，且$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=$________。解析：由$2\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，平方得$4|\overrightarrow{OA}|^2=|\overrightarrow{OB}|^2+|\overrightarrow{OC}|^2+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\Rightarrow4=1+1+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\Rightarrow\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=1$，则$\angleBOC=0^\circ$，$BC=0$（矛盾，题目可能应为$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，此时$\angleBOC=120^\circ$，$BC=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}$）。四、解答题11.在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且满足$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cosA=3$，$\triangleABC$的面积$S=\frac{1}{2}bc\sinA$满足$2\leqS\leq3$。（1）求角$A$的正切值范围；（2）已知$a=2\sqrt{3}$，求$BC$边上的中线$AM$的长。解析：（1）由$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cosA=3$，$S=\frac{1}{2}bc\sinA\in[2,3]\Rightarrowbc\sinA\in[4,6]$。两式相除得$\tanA=\frac{\sinA}{\cosA}=\frac{bc\sinA}{bc\cosA}\in\left[\frac{4}{3},2\right]$。（2）由余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\Rightarrow12=b^2+c^2-6\Rightarrowb^2+c^2=18$。中线公式$|\overrightarrow{AM}|=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{36-12}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{6}=\sqrt{6}$。12.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,1)$，$\vec{c}=\vec{a}+2\vec{b}$，$\vec{d}=2\vec{a}-\vec{b}$。（1）若$\vec{c}\perp\vec{d}$，求$x$的值；（2）若$\vec{c}\parallel\vec{d}$，求向量$\vec{c}$在$\vec{d}$上的投影向量。解析：（1）$\vec{c}=(1+2x,4)$，$\vec{d}=(2-x,3)$，$\vec{c}\perp\vec{d}\Rightarrow(1+2x)(2-x)+4\times3=0\Rightarrow-2x^2+3x+2+12=0\Rightarrow2x^2-3x-14=0\Rightarrowx=\frac{7}{2}$或$x=-2$。（2）$\vec{c}\parallel\vec{d}\Rightarrow(1+2x)\times3-4\times(2-x)=0\Rightarrow3+6x-8+4x=0\Rightarrow10x=5\Rightarrowx=\frac{1}{2}$。此时$\vec{c}=(2,4)$，$\vec{d}=(\frac{3}{2},3)=\frac{3}{2}(1,2)$，$\vec{c}=2(1,2)=\frac{4}{3}\vec{d}$，投影向量为$\vec{c}$本身，即$(2,4)$。五、综合题13.如图，在边长为2的正六边形$ABCDEF$中，内部有一个半径为1的圆$O$（圆心为正六边形中心），点$P$在圆$O$上运动，求$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的最小值。解析：以$O$为原点建系，$A(-2,0)$，$B(-1,\sqrt{3})$，设$P(\cos\theta,\sin\theta)$。$\overrightarrow{PA}=(-2-\cos\theta,-\sin\theta)$，$\overrightarrow{PB}=(-1-\cos\theta,\sqrt{3}-\sin\theta)$，数量积为$(-2-\cos\theta)(-1-\cos\theta)+(-\sin\theta)(\sqrt{3}-\sin\theta)=2+3\cos\theta+\cos^2\theta-\sqrt{3}\sin\theta+\sin^2\theta=3+3\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta=3+2\sqrt{3}\cos(\theta+\frac{\pi}{6})$。最小值为$3-2\sqrt{3}$。14.已知$\triangleABC$的重心为$G$，$AB=AC=4$，$\angleBAC=120^\circ$，点$M$，$N$分别为$AB$，$AC$的中点，求$\overrightarrow{GM}\cdot\overright