2023年线性代数知识点框架及习题解读

线性代数知识点框架及习题解读

注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵

再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》也就是忆心得，传爱

心。为更多的学弟学妹提供以便的姊妹篇，高数我还没有传完，这有点忙会尽快

首先是知识框架:

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组

这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以

相似，也可以不一样。

有关线性方程组的解.，有三个问题值得讨论：（1）、方程组与否有解，即解的J存在性问

题；（2）、方程组怎样求解，有多少个解：（3）、方程组有不止一种解时，这些不一样

的解之间有无内在联络，即解口勺构造问题。

高斯消无法，最基础和最直接的求解线性方程组的措施，其中波及到三种对方程日勺同辞变

换：（1）、把某个方程向k倍加到此外一种方程上去；（2）、互换某两个方程的|位置；

（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由详细例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方

程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，因此可以把方程组口勺所有系

数及常数项按本来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的状

况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成口勺表称为矩阵。

可以用矩阵H勺形式来表达一种线性方程组，这至少在书写和体现上都愈加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，

对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意"勺线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变

换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一种不为零H勺元素称为该行的主

元。

对不一样的线性方程组的详细求解成果进行归纳总结（有唯一解•、无解、有无穷多解），

再通过严格证明，可得到有关线性方程组解的鉴别定理：首先是通过初等变换将方程组化

为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=01这一项，则方程组无解，若未出现0=d一

项，则方程组有解；在方程组有解的状况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知最数目

n,方程组有唯一解，若r<n,则方程组有无穷多解。

在运用初等变换得到阶梯型后，还可深入得到最简形，使用最简形，最简形H勺特点是主元

上方的元素也全为零，这对于求解未知量时值愈加以便，但代价是之前需要通过更多的初

等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。

常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。

齐次方程组的方程组个数若不大于未知量个数，则方程组•定有非零解。

运用高斯消元法和解的鉴别定理，以及可以回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和

（2）怎样求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。

对fn个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以运用系数的某种组合来表达其解，这

种按特定规则表达口勺系数组合称为一种线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式H勺特点：

有n!项，每项的符号由角标排列H勺逆序数决定，是一种数。

通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的某些性质（如互换某两行其值反号、有两行

对应成比例其值为零、可按行展开等等），这叫性质均有助于我们更以便的计算行列式。

用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的状况，这就是克莱姆法则，

综上所述，可把行列式看作是为了研究方程数FI与未知量数目相等的特殊情形时引出的一

部分内容。

线性代数知识点框架（二）

在运用高斯消元法求解线性方程组的过程中，波及到一种重要的运算，即把某一行的倍数

加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有无解，有多少

解的问题，需要定义这样的运算，这提醒我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数

组的数量乘法和加法运算。

数域上的Jn元有序数组称为n维向量。设向量a=（al,a2,...,an）,称ai是a日勺第i个分

量。

n元有序数组写成一行，称为行向量，同步它也可以写为一列，称为列向量。要注意的

是，行向量和列向量没有本质区别，只是元素口勺写法不一样。

矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联络。

出。假如A和B能互相线性表出，称A和B等价。

一种向量组也许又不止一种极大线性无关组，但可以确定日勺是，向量组和它的极大线性无

关组等价，同步由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价.

注意到一种重要事实：一种线性无关H勺向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出，这

是不难理解的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）确实不也许由平面内口勺两个句量

构成U勺向量组线性表出。

一种向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r称为句量

组的秩。

向量线性无关的充足必要条件是它时秩等于它所含向量时数目。等价H勺向量组有相似日勺

秩。

有了秩的概念后来，我们可以把线性有关的向量组用它日勺极大线性无关组来替代掉，从而

得到线性方程组H勺有解的充足必要条件：若系数矩阵口勺列向最组的秩和增广矩阵曰勺列向最

组的秩相等，则有解，若不等，则无解。

向量组的秩是一种自然数，由这个自然数就可以判断向量组是线性有关还是线性无关，由

此可见，秩是一种非常深刻而重要的概念，故有必要深入研究向量组H勺秩的计算措施。

线性代数知识点框架（三）

为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。矩阵日勺列向量组日勺秩称为矩阵H勺列秩，行向量组日勺

秩称为行秩。

对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的

数目，并且主元所在H勺列构成列向量组的一种极大线性无关组。

矩阵的初等行变换不会变化矩阵的行秩，也不会变化矩阵的I列秩O

任取一种矩阵A,通过初等行变换将其化成阶梯形J,则有：A口勺行秩与H勺行秩=J的列秩

=AH勺列秩，即对任意一种矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵H勺秩。

通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组H勺极大线性无关组的措施。

考虑到A的行秩和A的转置FJ勺列秩的等同性，则初等列变换也不会变化矩阵的秩。综上所

述，初等变换不会变化矩阵及I秩。因此假如只需规定矩阵A的秩，而不需规定AU勺列向量

组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来以便。

矩阵的J秩，同步又可定义为不为零的子式的I最高阶数。

满秩矩阵日勺行列式不等于零。非满秩矩阵艮|行列式必为零。

既然矩阵H勺秩和矩阵的列秩相似，则可以把线性方程组有解的充足必要条件愈加简朴的体

现如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵H勺秩。此外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩

的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n,有唯一解，rvn,有无穷多解。

齐次线性方程组口勺解的构造问题，可以用基础解系来表达。当齐次线性方程组有非零解

时，基础解系所含向量个数等于n-r,用基础解系表达U勺方程组的解U勺集合称为通解。

通过对详细实例进行分析，可以看到求基础解系的措施还是在于用初等行变换化阶梯形。

非齐次线性方程组的J解的构造，是由对应的齐次通解加上一种特解。

线性代数知识点框架（四）

在之前研究线性方程组日勺解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要H勺地位和应用，故尚

有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。

矩阵H勺加法和数乘，与向量的运算类同。

矩阵的此外一种重要应用：线性变换（最经典例子是旋转变换）。即可以把一种矩阵看作

是一种线性变换在数学上的表述。

矩阵的乘法，反应的是线性变换H勺会加。如矩阵A对应H勺是旋转一种角度a,矩阵B对应

的是旋转一种角度b,则矩阵AB对应的J是旋转一种角度a+bo

矩阵乘法的特点：若C=AB,则C的第i行、第j列的元素是AH勺第i行与B的第j列的元

素对应乘积之和；A的列数要和BH勺行数相似；CH勺行数是A的行数，列数是BH勺列数。

需要主义的I是矩阵乘法不满足互换律，满足结合律。

运用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简朴的表达为：Ax=bo

对于C=AB,还可作如下分析：将左边日勺矩阵A写成列向量组的形式，即意味着C的列向

量组能由A的列向量组表达，从而推知C的列秩不大于等于A的列秩；将右边的矩阵B

写成行向量组的形式，即意味着C日勺行向量组能由B的行向量组表达，从而推知C的行秩

不大于等于B的行秩，耳考虑到矩阵H勺行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可得到结论，C

的秩不大于等于A的秩，也不大于等于BH勺秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一种因子的

秩。

有关矩阵乘积的此外一种重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。

某些特殊的I矩阵：单位阵、对角阵、初等矩阵。尤其要注意，初等矩阵是单位阵通过一次

初等变换得到的矩阵。

每一种初等矩阵对应一种初等变换，由于左乘的形式为PA（P为初等矩阵），将A写成行

向量组的形式，PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做了一次初等

列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。

若AB=E,则称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，同样，这时的B也是可逆矩阵，注意可逆

矩阵一定是方阵。

第一种求逆阵的措施：伴随阵。这种措施的理论根据是行列式的按行（列）展开。

矩阵可逆，行列式不为零，行（列）向量组线性无关，满秩，要注意这些结论之间H勺充足

必要性。

单位阵和初等矩阵都是可逆的。

若矩阵可逆，则一定可以通过初等变换化为单位阵，这是不难理解I向，由于初等矩阵满

秩，故最终化成的阶梯型（最简形）中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是

单位阵。深入，既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，而初等变换对应的是初等矩

阵，即意味着：可逆矩阵可以通过左（右）乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩

阵可看作是一系列初等矩阵的J乘积，由于单位阵在乘积中可略去。

可逆矩阵作为因子不会变化被乘（无论左乘右乘）的矩阵的秩。

由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵H勺乘积，可以想象，同样的这一系列初等矩阵作

用在单位阵上，成果是将这个单位阵变为本来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种措

施：初等变换。需要注意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行变换，

右乘对应列变换。

矩阵分块，即可把矩阵中的I某些行和列的元素看作一种整体，对这些被看作是整体H勺对象

构成日勺新日勺矩阵，运算法则仍然合用。将矩阵当作某些列行向量组或列向量组的形式，实

际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式。

接下来是习题解读

同济五版《线性代数》习题解读（一）

1、运用对角线法则计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角H勺

过程，基本题。

2、3题波及排列以及行列式的展开准则，不是太重要，理解即可。

4、5、6题是某些计算行列式日勺练习，不一样特点的行列式一般有不一样的措施，常见的

就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分，基本

题，要通过这些练习来纯熟行列式的运算这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点

还是计算。

7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练,并且该题的结论很常用,最

佳掌提

8、某些难度较高的行列式的）计算题，波及到不少技巧，而这些技巧一般初学者是想不到

的，这时候可以看看答案，体会一下答案日勺做法，对这块内容的规定和不定积分是类似

的。

9、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相似行（列）的元素和代数

余子式对应相乘求和，成果是行列式H勺值；若是不一样行（列）的元素和代数余子式对应

相乘求和，成果为Oo注意此题规定的成果是第三行的代数余子式的某种组合，而根据代

数余子式的定义可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以根据需要

把第三行的元素替代为前面规定的式子中II勺那些系数，这样问题就简化为求一种新口勺行列

式，而无需啰嗦H勺进行四次求代数余子式R勺运算。此题技巧性较强，但这个构思措施值得

掌握。

10、克兰姆法则的应用，归根结底还是计算行列式。

11、12题是通过行列式来判断齐次方程组H勺解的状况，基本题，在已经复习完一遍线代后

也可以用其他措施（化阶梯行、求秩）来做。

总的来说，第一章的习题大都非常基本，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。

同济五版《线性代数》习题解读（二）

1、矩阵乘法的基本练习，简朴题，但计算很轻易出错，不可轻视，（5）小题实际上就是

第五章要接触的二次型。

2、直接考察矩阵有关运算，基本题。

3、矩阵H勺乘法实际上是表达一种线性变换，题目给出了从y到xR勺变换，还给出了从z到

川向变换，规定z到x的变换。既然一种矩阵可以表达一种线性变换，两个矩阵的乘积即

可理解为两个变换的叠加，这也是提供了一种侧面去理解矩阵相乘的意义。

4、5题实际上都是通过某些详细的例子来加深对矩阵运算的）理解，例如矩阵乘法不能互

换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重要H勺，由于有时能在考场上派上

用场，需要熟悉。

6、7题是求矩阵乘方的题目，基本题，但要注意些合适的技巧，例如拆成两个特殊矩阵的

和，能简化运算。

8、9是有关对称阵概念的考察，不难但重要，由于此类题即是线代里证明题的代表：几乎

都要从定义出发证明。因此从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够

细，了然于心。

10、11、12都是矩阵求逆H勺计算题，只不过体现方式天一样，10题是直接提出规定，11

题是以矩阵方程口勺形式来暗示求逆，12题则从线性方程组的角度来暗示求逆。求逆是错误

率很高的一类题目，因此需要亘点练习。

13、和3题类似，矩阵的乘法实际上是表达一种线性变换，题目给出了从y到x的变换一

一可以用一种矩阵表达，反过来求x到y的变换，求逆阵即可。此题的此外一种暗示：要

可以纯熟的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一种线性方程组，或者说一

种线性变换，对这两种写法都要可以看到一种立即反应到另一种。

14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵日勺关系，同步把行列式加进来，综合性较强日勺重要题型。

15、16解简朴啊矩阵方程，注意先对已知等式做某些合适的变形，基本题。

14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可，注意从题目中体会思绪。

16、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同步把行列式加进来，综合性较强”勺重要题型。

17、18稍微复杂某些的矩阵方程，由于其中波及到伴随阵，但也不难，运用好伴随阵和逆

阵的关系即可简化，此二题的难度靠近考研中的填空题。

19、20是矩阵口勺乘方（多项式实质也是乘方）运算，在更习完一遍线代后再看发现这其实

就是特性值特性向量（对角化）的一种应用，实际上特性值问题本来就可以理解为是为了

寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的，只不过后来发现特性值尚有许多其他很好的用

处。

21、22证明矩阵可逆，从可逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为

单位阵，那么已知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目中体会这种常用的思绪。

23、24题自身的证明是从定义出发，更重要的是这两道题可以作为结论记口勺，线代的考研

题目常波及这两个命题。在线代的学习中，把握好某些不是书本上正面给出（如出现于习

题中）口勺命题是很有好处的I。

25、26、27、28都是对分块矩阵运算口勺考察，作为合适的练习，是必要的I。在分块矩阵这

部分知识点尤其要注意的是：要可以根据问题的需要采用合适的分块方式，经典的如行分

块和列分块，一种线性方程组可以用矩阵Ax=b来表达，一种矩阵方程AX=B则可看作是若

干个线性方程组A（xlx2...xn）=（blb2...bn）同步成立的成果，当然这只是一种经典

的里子，其他尚有诸多类似的点也要纯熟到可以在头脑中随时切换，以适应不一样I向解题

或理解需要。

和第-■章类似，第二章的学习也重要集中在计算层面上，我们可以这样来理解，前两章的

内容重要是教会我们某些线性代数中基本日勺运算规则，就如我们此前学数附加减乘除同

样，这些规则当然是认为规定的，不过又是在处理某些实际问题的过程中会大量用到的，

因此有必要先统一进行理解和学习，例如求行列式可以协助我们解方程，求矩阵H勺乘积可

以协助我们进行坐标变换，等等。

同济五版《线性代数》习题解读（三）

1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算FI勺练习，实际上也可以化为阶梯行而不

一定非要最简，此类计算要多加练习，需纯熟掌握。

2、3表面上是规定一种能使已知矩阵化为行最简形II勺可逆阵，实际上是考察初等矩阵，由

于化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程

弄清晰了，规定日勺矩阵也就对应清晰了。要懂得一种初等矩阵对应一种初等变换，其逆阵

也是，从这个意义上去理解可以有效处理诸多问题。

4、求矩阵的逆阵口勺第二种措施（第一种是伴随阵），基本题，同步提议把这两种措施的来

龙去脉弄清晰（书上对应章节有解释），即为何可以通过这两种措施求逆阵。

5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种措施了，选

择自己习惯的做法即可。

7、考察矩阵秩日勺概念，因此矩阵口勺秩一定要弄清晰：是不为零的子式H勺最高阶数。因此秩

为r的话只需要有一种不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于rT阶子

式，也是有也许为零的，但不也许所有的I都为零，否则秩就是rT而不是r了。

8、还是波及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1,也也许不减，不难理解，但自己一定

要在头脑中把这个过程想清晰。

9、重要考察矩阵的秩和行（列）向量组时秩的关系，实际上它们是一致的，由于已经懂得

口勺两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一种简朴问题：在找两个行向量，与条件中

日勺两个行向量构成日勺向量组线性无关，最终由于规定方阵，因此还要找一种向量，与前面

四个向量组和在一起则线性有关，最轻易想到的就是0向量了。

10、矩阵的秩是一种重要而深刻的概念，它可以反应一种矩阵日勺最重要信息，因此怎样求

矩阵的秩也就对应日勺是一类重要问题。矩阵的初等行（列）变换都不会变化其秩，因此可

以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

11题是一种重要命题，常常可以直接拿来用，至于它自身的证明，可以从等价的定义出

发：等价是指两个矩阵可以通过初等变换互相得到，而初等变换是不变化矩阵的秩的，因

此等价则秩必相等。实际上.11题由于太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定

义，不过既然是充足必要条件，这样理解也并无不可。

12、选用合适的参数值来确定矩阵日勺秩，措施不止一种，题目不难但比较经典。

13、14题是求解齐次、非齐次方程组的经典练习，务必纯熟掌握。

15、线性方程组的逆问题，即己知解规定写出方程，把矩阵的系数看做未知数来反推即

可，由于基础解系中自由未知量的个数和有效方程恰好是对应的，个人感觉此类题不太重

要。

16、17、18题是线性方程组的一类经典题，考研常见题型，讨论不一样参数取值时解的状

况，要纯熟掌握此类题目。

19、证明自身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一种向量及其转置(或一种列

向量一种行向量)生成的矩阵其秩一定是1。这实际上也不难理解，矩阵的秩是1意味着

每行(或每列)都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量H勺元素就

是每行的比例系数，反过来也同样，这个大家可自行写某些详细的例子验证，加深印象。

此外值得注意的是：列向量乘行向量牛.成I内是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数，

20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩□勺影响，抓住R(AB乂=^lin(R(A),R(B))这个关键命题即

可。或者从同解方程组角度出发，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解。

21、注意A与否可逆未知，故不能用求逆口勺措施证明，这是易犯的J错误之一。实际上该题

考察的还是方程组只有零解的条件：满秩。关键一步在于把条件改写为A（X-Y）=O

前两章的习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面H勺内容逐渐增多，诸多概念要

引起重视。

同济五版《线性代数》习题解读（四）

首先说一下，第四章的精髓就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系，它们

共同形成一种线性代数的知识网络，习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这

些证明题有助于加深对线代知识点互相关系的理解，要重点看待。

1、波及一种重要H勺知识转换，即一种向量能否被另一种向量组线性表出的问题实际上就是

一种线性方程组与否有解的问题，同步，一种向量组与否能被另一种向量组线性表出的问

题实际上就是两个向量组的秩U勺比较问题，因此此题即转化为考察两个向量组的秩U勺大

小。由于我们懂得一种重要的事实：一种向量组不也许由比它秩更小的向量组来线性表

出，例如，三维空间里口勺向量（秩是3）永远不也许由平面上的向量（秩是2）来表出。

2、考察向量组口勺等价，弄清晰何为向量组等价，直接验证即可，基本题。此外可以发散一

下思维，向量组等价和矩阵等价有何不一样？哪个命题的结论更强？实际上向量组等价则

对应矩阵一定等价，反之未必。

3、与线性表出有关的命题，一般用反证法，此类题目可以有效的锻炼解题思绪，假如不会

要重点体会答案给出的措施和思绪。

4、5题波及线性有关和线性无关的判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题，基本

题。

6题考察对两个向量线性有关日勺理解，实际上就是对应成比例，但实际上诸多类似的题目

不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，理解一下即可。

7、8波及到某些有关和无关的命题判断，重点在F理解题干的意思，如8(1)日勺错误在于

放大了线性有关的结论，由于线性有关只需要至少有一种向量可由其他向量表达，而不一

定能确定究竟是哪个向量能用其他向量表达，类似H勺去理解清晰其他几种说法要体现的意

思，这是第一要务。至于反例倒在另一方面，可以通过参照书H勺答案看看，理解下有这样

I向反例即可。

9、10题是证明线性有关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然后推证系数的

状况，若系数可不全为零则线性有关，若系数必须全为零则线性无关，重点题型。

II、12考察怎样求一种向量组口勺秩和最大无关组，注意求向量组R勺秩只能用一种变换（一

般用行变化），化为阶梯形即一目了然，基本题型的练习，要纯熟掌握。

13、通过秩来确定参数，基本题，只不过这里是以向量组H勺形式给出条件，和以线性方程

组、矩阵的形式给出条件无本质区别。

14、15是向量组的命题，注意单位坐标向量的特殊性:线性无关。此外14题就是15题的

特殊状况。

16、用反证法，此题的巧妙之处在于要逐渐递推，这是线代习题中少有的过程比结论重要

的题目（大多习题都是结论常用因此显得更重要），注意仔细体会证明过程。

17、就是习题三的20题，只不过是以向量组口勺说法给出。

18、应当从此题中体会到的是：两个向量组等价，则其关系矩阵一定是满秩II勺，原因可用

矩阵的语言来解释：两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化，关系矩阵就

是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积，初等矩阵所有都是满秩的。

19、题目自身不难，直接代入已知条件再作合适日勺变形即可，但复习过一遍线代的同学应

当注意到，特性值与特性向量的I某些概念在此题中已经初现端倪，要把思绪拓宽，看看从

特性向量的角度来看与否能对题目有新的体会。

20、齐次线性方程组的练习，基本题型，必需口勺练习，尤其是(3)此类系数由通式给出口勺

方程，在考研中出现的概率更高，注意不要出错。

21、实际上转化为线性方程组的题目，也是基本题型。

22、就是习题三的I15题，两者无本质区别。

23、基本题，求方程组的基础解系，此外注意公共解实际上就是方程组联立后的成果。

24、题目波及『、J重要命.题有两个，一是：若AB=0,则R(A)+R(B)<=0；另一种是：

R(A)+R(B)>=R(A+B)o至于证明自身，只是这两个命题在某种特殊状况下及|综合应用，解

答过程给我们的提醒相对来说是更重要的。

25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。证明过程诸多参照资料都给

出了。

26非齐次线性方程组日勺练习基本题型。

27、考察线性方程组的解的构造，很好的J融合了该部分的有关知识点，通过此题的练习可

以加深解的构造有关概念H勺理解。

28、讨论参数取值对方程组H勺解H勺影响，基本题，以向量组的语言给出而已。

29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作为一种提高练习，

不强求掌握。

30、以抽象日勺向量形式给出线性方程组的问题，考研经典题之一，处理此题需要综合应用

线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对象。

31、32、33都是波及解的构造的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性

无关口勺，同步所有的解都可由基础解系表达，由此可见基础解系自身就给出了许多强有力

的信息，这个在题目中一定要多加运用。同步尚有某些解FI勺构造的命题，如非次方程解的

差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握。

34及后来的向量空间的题目都不作规定，最多是40题U勺过渡矩阵理解一下即可，详细解

法可参与书上例题这里不再详述

通过三、四章的学习和练习，我们体会到，要学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即

面对线性代数的知识点，常常需要从不一样的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角

度）去理解同一种数学事实或数学命题，并且它们一般还是可以互推口勺，因此在线代里，

“见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简朴的一

环。

同济五版《线性代数》习题解读（五）

1、波及与正交有关的条件的基本计算题，可作为运算方面的练习。

2、施密特正交化的计算，很重要的基本题，要注意的是施密特正交化"勺计算公式难于记

忆，最佳是把正交化的整个过程弄清晰，也就是说：给你一组向量，你要把它们化成正交

的，怎么做？可以先考虑简朴情形，两个向量怎么正交化？很简朴，只要一种向量减去它

在此外一种上的J投影就可以了。那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化，然后第三

个减去它在此外两个的平面上口勺投影就好了。依次类推，就不难理解施密特正交化中每个

公式W、J意义了。

3、判断矩阵是不是正交阵，按定义即可，基本题。

4、5是简朴口勺波及正交矩阵概念的证明题，从定义出发，都不难得到结论。

6、求特性值和特性向量的基本题型，需要练习纯熟。

7、证明特性值相似，按特性值定义即可，此命题可作为结论用。

8、较难的一道题，把线代里几种重要H勺知识点都综合在一起考察，关键在于问题的转化：

有公共的特性向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用与方程组的基础解系有关的

知识点处理，要重点体会解题思绪。

9、10、11都是与特性值有关的某些命题，从定义出发不难证明，线代里的概念大多都要

从定义上去抓住它们，把它们理解好。其中10题是一种常用的结论。

12、13是特性值性质的应用，即特性值与矩阵特有口勺对应关系，例如矩阵作多项式运算，

则其特性值也就该多项式规律变化，基本题，也是常见题型。

14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义，何为相似？

15、16题波及到相似对角化，这就规定把相似对角化的条件弄清晰，那么什么样的矩阵可

相似对角化？条件是特性向量线性无关，从这点出发就可以处理问题。至于16(1)则是

特性值特性向量定义的直接考察

17、18波及到求矩阵口勺乘方，实际上特性值特性向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方

运算提出的J,这里自然是化为对角阵后来许算，18题是应用题形式。

19、2()题波及正交的J相似变换矩阵，基本题，计算量较大且轻易出错，是值得重视的练

习。

21、22、23题则是特性值问题的反问题，实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可。值得

注意的是：对一般矩阵来说，不一样的特性值对应的特性向量是线性无关的；对对称矩阵

来说，不一样的特性值对应的特性向量不仅线性无关，还是正交的，这显然是个更有用H勺

成果。

24是一种重要命题，它波及到由一种列向量生成的矩阵的特性值问题。实际上有一种列向

量生成口勺矩阵其秩是1,并且是对称的，因此必可对角化，故0是其n-l重特性值，至于非

零特性值，也不难求出，就是这个列向量转置后生成的I数。此题的结论很常用，要重点掌

握。

25题波及求矩阵的多项式运算，不外乎就是乘方运算，与17、18题类同。

26、27题考察二次型口勺概念，基本题，规定纯熟写出一种二次型所对应的I矩阵，反过来也

同样

28、29题考察用正交变换化二次型为原则型，实际上就是一种对角化的问题，但由「是对

称矩阵，因此既可正交又可相似对角化。同步要注意二次型的几何意义：是一种二次曲

面。曲面的形状在不一样的坐标系下都是同样的，因此对于一种复杂的二次型，若不能直

接看出它是什么曲面，可以通过化为主坐标系下口勺二次型（即原则型）来进行观测。

30、综合性较强的一道题，转化为多元函数的条件极值问题即可。

31、用配措施化二次型的练习，基本题，注意计算不要出错。

32、33都是判断二次型的正定性，对于详细给出的二次型，用次序主子式的I符号即可判

断，这个是其中一种充足必要条件。

34、实际给出了正定的另一种充足必要条件，证明过程波及一种抽象矩阵，故只能从最基

本的正定H勺定义出发，此命题是一种有用的结论，规定掌握

最终是某些线性代数关键知识点的有关思维训练（也是常用的结论）

学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一种数学事实，都要可以从线性方程

组、向最和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据处理问题的需要选择合适口勺切入

点。现将某些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目波及的命题及

其推理过程进行深入思索，会有助于更深入把握好线代H勺知识体系。

1、任何一种向量a=(al,a2.....an)都能由单位向量£1=(1,0,...,())、e2=

(0,1,0)、……、£产(0,0,1)线性表出，且表达方式唯一。

2、向量组al,a2,…，an中任一种向量ai可以由这个向量组线性表出。

3、判断下列说法对的性：(1)“向量组al,a2,…，an,假如有全为零的)数kl,

k2,...»kn使得kl*。l+k2*a2+…+kn*an=0,则a1,a2,…，an线性无关。”

(2)“假如有一组不全为零的数kl,k2,kn,使得kl*Ql+k2*a2+…+kn*an#0,

则al,a2,…，an线性无关。”(3)“若向量组a1,a2,…，an(n22)线性有

关，则其中每一种向量都可以由其他向量线性表出。”

4、三维空间中的任意4个向量必线性有关。

5、n+1个n维向量必线性有关。

6、假如向量组al,a2,a3线性无关，则向量组2a1+a2,a2+5a3,4a3+3a1也线

性无关。

7、假如向量组al,a2,a3,a4线性无关，判断向量组a1+a2,a2+a3,

a3+a4,a4+al与否线性无关。

8、假如向量B可以由向量组a1,a2,an线性表出，则表出方式唯一的充足必要

条件是Q1，a2,…，an线性无关。

9、设向量组a1,a2,…，an线性无关，P=kl*al-k2*a2+--*+kn*an<>假如对于某个

kiro,则用B替代ai后得到时向量组a1,…，a(i-l),B,a(i+1),…，an也线

性无关。

10、由非零向量构成的向量组a1,a2,…，an(n22)线性无关的充足必要条件是每

一种ai(l〈iWn)都不能用它前面的向量线性表出。

11、设a1,a2,•••,an线性无关，且(B1,B2,…，3n)=A(al,a2,…，

an),则Bl,B2,…，Bn线性无关的充足必要条件是AH勺行列式为零。

12、秩为r的向量组中任意r个线性无关口勺向量都构成它日勺•种极大线性无关组。

13、任一n维向量组若是线性无关口勺，那么其所含向显数目不会超过储

14、假如n维向量构成H勺向量组a1,a2,an线性无关，那么任一n维向量B可由

al,a2,…，an线性表出。

15、假如任意的n维向量都可以由a1,a2,…，a「.线性表出，那么a1,a2,…，

an线性无关。

16、假如秩为rH勺向量组可以由它H勺r个向量线性表出，则这r个向量构成H勺向量组就是

它的一种极大线性无关组。

17、n个方程的n元线性方程组xl*al+x2*a2+…+xn*an=B对任何B均有解口勺充足必

要条件是它的系数行列式为零。

18、假如向量组al,a2,an和向量组al,a2,…，an,B有相似口勺秩，则B

可以由a1,a2,…，an线性表出。

19、r(a1,a2,…，an,Bl,B2,…，Bm)Wr(al,a2,…，an)+r(Pl,

B2,…，Bm)o

20、矩阵口勺任意一种子矩阵的秩不会超过原矩阵日勺秩。

21、假如m*n的|矩阵A的秩为r,那它H勺任何s行构成H勺子矩阵A1的I秩不会不大于r+s-

ino

22、假如一种n*n矩阵至少有rT2-n+l个元素为0,则这个矩阵不是满秩矩阵。

23、假如•种n*n矩阵至少有n~2-n+l个元素为0,那么这个矩阵的秩最多是多少？

24、设ni,n2,…，Qt是齐次线性方程组的一种基础解系，则与nl,n2,…，nt

等价的I线性无关的向量组也是方程组的一种基础解系。

25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵H勺秩是r(r<n),则方程组的任意n-r个线性无关

的解向量都是它的一种基础解系。

26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵口勺秩是r(r<n),设51,62,…，5m是方程组

的J解向量,则r(81,52,…，Sm)Wn-r。

27、设n个方程欧Jn元线性方程组日勺系数矩阵A的行列式等于零，同步A至少存在•种元

素的I代数余子式A(kl)不为零,则向量(A(kl),A(k2),…,A(kn代是这个齐次线性方

程组的一种基础解系。

28、设A1是s*n矩阵A向前s-1行构成的子矩阵，假如以A1为系数矩阵的齐次线性方程

组的解都是方程a(sl)*x】+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=O的解，其中a(