（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型11 函数的值域问题（解析版）

常考题型11函数的值域问题常见函数的值域1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).一、观察法求函数值域求函数的值域时，应先确定函数的定义域，由定义域和对应法则确定函数的值域.对一些解析式结构简单的函数，可用观察法直接求出它们的值域.二、配方法求函数值域求形如的函数的值域可用配方法.三、利用已知函数的有界性求函数值域在求复合函数的值域时，有时可利用常见函数的值域求解，如求，的值域，可通过反解出，，利用≥0，≥0求解.四、数形结合法求函数值域利用数形结合法求函数的值域或已知函数的值域求有关字母的取值范围时，先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，即可求出值域或最值.五、换元法求函数值域比较复杂的函数，可通过换元转化为值域易求的函数，再用相应的方法求值域或最值.利用换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响.六、分离常数法求函数值域对齐次分式型函数，通过对函数解析式的分子进行变形，把函数变形成常数加分式的形式，从而可利用函数性质确定其值域.七、判别式法求函数值域求形如(a，d中至少有一个不为0)的函数的值域，常把函数转化为关于x的一元二次方程，再利用根的判别式的范围，求y的取值范围，即函数的值域.探究一：常见函数的函数值域下列函数中，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：A.利用基本不等式判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用二次函数的性质判断；D.利用基本不等式判断。【解析】A.当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；故错误；B.，故错误；C.，故错误；D.，当且仅当，即时，等号成立，故正确，故选：D【答案】D【变式练习】1．设全集，集合，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由题知，，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确，D错误.故选：C2．函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，令，由于，故，故，由反比例函数的性质，在单调递增，故当时，；当时，，故函数在的值域为：.故选：A.探究二：根式型和分式型函数的值域若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域。【解析】解：令，，则．当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，，当时，，当时，，所以函数的值域为，故选：B．【答案】B【变式练习】1．已知函数的定义域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，定义域为，且令，，利用对勾函数的性质知，当时，函数单减；当时，函数单增；，即，又，所以函数的值域为故选：C2．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：令，当时，，又，所以，，即所以，故选：D．探究三：抽象函数与复合函数的值域已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（

）A．， B．， C．， D．，思路分析：思路分析：当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解。【解析】当，时，，，则当，时，即，，所以；当，时，即，，由，得，从而，；当，时，即，，则，．综上得函数在，上的值域为，．故选：D．【答案】D【变式练习】1．若函数的值域为，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为的值域是［1，2］，而与函数定义不同，值域相同，所以的值域是［1，2］，所以的值域为.故选：B2．已知函数则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由，解得..令，函数.当时，；当时，，函数的值域为.故选：D.探究四：利用函数值域求参数的值或者范围已知函数的定义域与值域均为，则（

）A． B． C． D．1思路分析：思路分析：根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案。【解析】解：∵的解集为，∴方程的解为或4，则，，，∴，又因函数的值域为，∴，∴.故选：A.【答案】A【变式练习】1．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，当时，在上单调递增，所以，此时，当时，由，当且仅当，即时取等号，因为在上单调递增，若的值域为，则有，即，则，综上，，所以实数的取值范围为故选：A2．已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】时单调递增函数，的值域是，的对称轴是，在上，函数单调递减，的值域是，对于任意的，存在，使得，，，解得：.故选：B一、单选题1．函数在区间上的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】解：因为函数在区间上单调递减，所以当时，取得最小值，故选：A2．设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域为（

）A．{0，} B．{，1} C．{0，1} D．{，0，1}【答案】D【解析】①当时，，②当时，（当且仅当时，等号成立），故③当时，（当且仅当时，等号成立），故故函数的值域为[，1]，故函数的值域为{，0，1}，故选：D．3．已知函数f(x)，，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,对称轴,当,又因为,所以函数的值域为.故选:D4．函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，从而可知函数的值域为.故选：C5．函数f(x)=1-的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A6．函数的值域为

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域是，令，则，，所以，因为，所以，所以原函数的值域为．故选：D.7．下列函数中，值域是的是（）A．y=2x+1(x>0) B．y=x2C． D．y=【答案】C【解析】对于A，函数y=2x+1在上的值域为，A不是；对于B，二次函数的值域为，B不是；对于C，函数的值域为，C是；对于D，函数y=的值域为，D不是.故选：C8．已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（

）A． B．， C．， D．，【答案】C【解析】因为，且的定义域为，，值域为，，则的定义域为，，值域为，，由得，所以的定义域为，，值域为，，则，，，，所以.故选：C.二、填空题9．函数的值域是___________.【答案】【解析】设则所以因为函数在上单调递增，当，，所以函数的值域为故答案为：.10．函数，，若存在，，使得，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数；∴当时，当时，有最小值；当时，有最大值1；即，则的值域为[－1，1]；当≤x≤2时，，即，则的值域为，若存在，，使得，则，若，则或，得或，则当时，即集合或的补集，∴，即实数a的取值范围是，故答案为：．11．求函数的值域______．【答案】【解析】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．故答案为：.三、解答题12．求下列函数的最值.(1)的最大值.(2)的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1），当且仅当，即时取等号，所以的最大值是.（2）设，则，，当且仅当，即，即时，等号成立.故的最大值为.13．求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）因为，，所以恒成立，所以，所以所求函数的值域为；（2）因为，且，所以，所以函数的值域为；（3）因为，所以，所以函数的值域为；（4）设，则且，得，因为，所以，所以函数的值域为14．已知函数，其中m为实数．(1)求f（x）的定义域；(2)当时，求f（x）的值域；(3)求f（x）的最小值．【答案】(1)；(2)[2，2](3)当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为【解析】(1)由解得．所以