（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型19 函数零点问题的三种常考点方法总结（原卷版）

常考题型19函数零点问题的三种常考点方法总结必备知识必备知识1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。2.几个等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。方法指导方法指导一、判断函数零点所在区间1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上。2.定理法：当容易判断区间端点所对应函数值的正负时，利用函数零点的存在性定理进行判断。3.图象法：当容易画出函数的图象时，画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。二、判断函数零点的个数1.解方程法：若对应方程f(x)=0可解，通过解方程，则方程有几个解，对应函数就有几个零点。2.函数零点存在性定理法：利用该定理时，不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性（以后学到）、对称性）。3.数形结合法：合理转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，再看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数。三、利用函数的零点求参数的取值范围1.直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决。3.数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。题型探究一题型探究一探究一：判断函数零点所在的区间函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式练习】1．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．2．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．探究二：判断函数零点的个数已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（

）A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点【变式练习】1．已知函数，（），若关于的方程无实根，则方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．与的值有关2．已知函数，则方程的实数根的个数为（

）A． B． C． D．探究三：利用函数的零点求参数的取值范围已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式练习】1．已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知函数（且）有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型突破训练题型突破训练一、单选题1．函数的零点所在区间为，则整数k等于（

）A．2 B．1 C．0 D．-12．函数的零点个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4．函数零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．5．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数，.若存在，，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数有两个零点，，则（

）A． B．且C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点10．已知函数，下列说法中正确的有（

）A．B．函数单调减区间为C．若，则的取值范围是D．若方程有三个解，则的取值范围是11．已知函数，以下结论正确的是（

）A．在区间上是增函数B．C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个根，则三、填空题12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.13．已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是___________．14．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．四、解答题15．已知.(1)若，，求方程的解；(2)若关于的方程在上有两解.①求的取值范围；②证明：.16．已知，为常数，函数．(1)当时，求关于的不等式的解集；(2)对于给定的，，且，，证明