安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期9月开学考试数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期9月开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数的虚部为（

）A．1 B．2 C． D．3．已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（

）A． B． C． D．7．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．的图象关于对称 D．的图象关于对称8．已知内角A，B，C的对边成等比数列，，若，则的面积为（

）A． B． C． D．2二、多选题9．已知函数的部分图象如图，则（

）

A．的最小值为 B．的最小正周期为πC．是奇函数 D．10．在正三棱台中，D，E分别为，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面11．已知函数在区间内有两个极值点，，且，则（

）A． B．在区间上单调递减C． D．三、填空题12．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为．13．已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为．14．已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是．四、解答题15．已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，的前项和分别为，，若，求的值．16．近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：空气质量锻炼人次优良72637轻度污染678中度污染720(1)求空气质量优良的概率的估计值；(2)根据所给数据，完成下面的列联表：空气质量人次≤400人次合计优良污染合计(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82817．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围．18．如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．19．已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值；(3)过点作，垂足为，求的最大值．《安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期9月开学考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBCBDADBABCBD题号11答案BD1．D【分析】解一元二次不等式，再利用集合的交集运算可得结果.【详解】，所以.故选：D.2．B【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据虚部的概念即可得到答案．【详解】由，则，所以复数的虚部为2．故选：B．3．C【分析】先根据向量的坐标可以求出，再结合数量积计算公式即可求出，从而得出向量，的夹角.【详解】由题意，，则，向量，的夹角为120°，故选：C.4．B【分析】先利用对数特性、、初判a、b、c的范围，再对同一范围内的b、c，通过对数运算化为相同的底数后再比较即可．【详解】由于，即，，即，，即，继续比较，，，所以．故选：B．5．D【分析】由点在双曲线上求得，再确定双曲线参数，应用直接法求离心率.【详解】由题设，则，故，所以双曲线离心率为.故选：D6．A【分析】根据题意，球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高，所以根据几何体特征，求得底面内切圆的半径为，直径为，小于，故球的最大半径为.【详解】已知直三棱柱底面为直角三角形，且直角边分别为和，根据勾股定理，底面三角形的斜边为，设底面三角形的内切圆半径为，根据三角形面积公式（其中为三角形直角边），又三角形面积公式（其中为三角形三边，为内切圆半径），所以，即，解得，所以直径为，小于直三棱柱的高.因为球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高，所以球的最大半径为.故选：A7．D【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D两项.【详解】对于A，因，即，故函数关于点成中心对称，故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确；对于B，因的定义域为，关于原点对称，且，即是偶函数，故B说法正确；对于C，设，由，即，故函数的图象关于对称，故C说法正确；对于D，设，由，显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误.故选：D.8．B【分析】由等比中项的性质得，由余弦边角关系及已知化简整理得，进而有，易知为等边三角形，即可求面积.【详解】由题设，根据余弦边角关系有，所以，整理得，则，所以，且，故为等边三角形，面积为.故选：B9．ABC【分析】根据函数相邻对称轴与对称中心的距离为周期的，求出周期，再由，求出，根据，求出，从而得到，然后逐项判断即可.【详解】由可知，，所以的最小值为，所以A正确；由图可知的最小正周期为，所以B正确；又，所以，又，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，为奇函数，所以C正确；，所以D错误.故选：ABC10．BD【分析】根据面面垂直的判定定理判断A项；利用正三棱台的性质证明，再由线面垂直的判定定理即可证得B项；运用反证法思想，假设平面，由线面平行的性质，推出，结合题意此结论不能恒成立，从而否定C项；由线面平行的判定定理易证明D项正确.【详解】对于A，如图，因为正三棱台，则为正三角形，点是的中点，则，若平面，因平面，则平面平面，而正三棱台的底面不与侧面垂直，故平面不成立，即A错误；对于B，因为正三棱台，则，由余弦定理易得，故，由A得，因平面，故平面，即B正确；对于C，若平面，因平面，而平面平面，故，而在等腰梯形中，只要，例如，则，即推不出平行四边形，从而得不到，故C错误；对于D，因D，E分别为，的中点，则，因平面，平面，故平面，即D正确.故选：BD.

11．BD【分析】由题意可得，求得，即可判断A；判断在上的正负，可判断的单调性，判断B;将代入中，即可判断C;将代入中,比较大小，可判断D.【详解】由题意函数在区间内有两个极值点，则,即，故，所以，A错误；，，当，，，所以在区间上单调递减，B选项正确；又，所以，C错误；，因为，故，故，D正确，故选：BD．12．【分析】现将三人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法；再求出小李与小明分到一个场馆的分法数量，最后利用概率计算公式即可求解．【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法，再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法，根据分步乘法计数原理可知，共种分法；小李和小明分到一个场馆的分法有种；故小李与小明分到一个场馆的概率为．故答案为：．13．【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，进而求出直线的方程.【详解】由抛物线过点，得，抛物线,即的焦点，所以直线的方程为，即.故答案为：14．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围.【详解】由函数，，得，设切点坐标为，，则切线的斜率，所以切线方程为，其中，即切线方程为，整理可得，又因为直线与曲线相切，所以，，设，，则，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，故函数在时取得极小值，且当时，故，综上所述，函数的值域为，故实数的取值范围是.故答案为：.15．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，列式求出，再求出通项公式.（2）利用等差数列、等比数列前项和公式求出，再列式求出的值.【详解】（1）依题意，，，又，则，解得，因此，所以数列，的通项公式分别为.（2）由（1）得，，，由，得，而，所以.16．(1)(2)列联表见解析(3)能【分析】（1）根据表格中数据利用频率即可估计概率；（2）根据题干表格进行统计即可；（3）计算出，与进行比较即可．【详解】（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；（2）列联表为：空气质量人次≤400人次合计优良333770污染22830合计5545100（3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．根据表中数据，得，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．17．(1)在和上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）通过导数讨论函数单调性；（2）因有三个极值点，即有三个不相等的正实根，从而再将问题转换为两函数图象的交点个数，进而确定的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为.，因此，当时，，故单调递减；当时，，故单调递减；当时，，故单调递增.综上，在和上单调递减，在上单调递增.（2）函数，定义域为.，易知时，，若时，，但是易证在上恒成立，故时，是的一个极小值点.当，易知是的一个极值点.所以是的一个极值点.因为有三个极值点，因此在上有两个不同的根，且.不妨设.当时，该方程只有1个根，不满足题意，故.因此方程可等价于.设，，上述方程有两个不同的根，等价于该两函数的图象有两个交点.当时，由于，，且单调递增，而单调递减，故两函数图象在上没有交点，不符合题意，故.因为，设图象的一条过原点的切线方程为，其中切点为.故，解得，即该切线方程为.因此，只有当时，函数与的图象才有两个交点，且.此时，有三个不等实根，即有三个极值点，因此.故.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，进而证明出线面垂直，最后直接得到面面垂直；（2）取的中点，的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，分别计算平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦值公式计算即可.【详解】（1）因为为的中点，，且，所以，因为，，所以，即，由，可得四边形是矩形，，因为沿折起至的位置，所以，由，，得，所以，由，可得平面，因为平面，所以平面平面.（2）如图所示，取的中点，的中点，连接，由是中点，是中点得，由（1）得，则，因为，是中点，所以，因为平面平面，平面平面，，面，面，所以平面，由平面，平面，可得，，综上，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，易得，则，，，，设平面的法向量，平面的法向量，则，即，，令，解得，，因此，则，即，，令，解得，，因此，，故平面与平面夹角的余弦值为.19．(1)；(2)证明见解析；(3)