广东省中山市濠头中学数学2025届高三下学期联合模拟考试（三）数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省中山市濠头中学数学2025届高三下学期联合模拟考试（三）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知，且与共线，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．4．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知等差数列满足：，则的公差为（

）A．1 B．2 C． D．6．已知圆的圆心在曲线上，且圆与直线相切，则圆面积的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（

）A．0 B． C． D．8．如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，复数满足，则（

）A． B．C． D．的最大值为10．函数，下列说法正确的是（

）A．若函数在上是增函数，则B．若函数在处取得极大值，则C．若，则函数在闭区间上的最大值为D．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为11．已知双曲线的右顶点为，其左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，记，内切圆的圆心分别为，半径分别为，则下列说法正确的是（

）A．是锐角三角形 B．，，三点共线C． D．三、填空题12．若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为．13．已知等差数列的前n项和为，且，则．14．如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为．

四、解答题15．设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且.(1)求；(2)求的值.16．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．(1)求证：平面；(2)记直线与平面所成角为．若，求的长．17．已知椭圆：的右焦点为，离心率为．(1)求的方程；(2)过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）．（i）证明：为等腰三角形；（ii）若点M是的外心，求面积的最大值．18．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)求证：.19．已知某篮球队有五名队员，其中甲是主要得分手，乙是组织后卫.如果球在乙手中，则他传球给甲的概率为，传球给其他队员的概率均为；如果球不在乙手中，则这名队员传球给任何队友的概率都是.开始进攻时，球在乙手中.(1)求经过2次传球并由甲执行投篮的条件下，球有经过丙之手的概率；(2)经过次传球后，球回到乙手中的概率；(3)记经过次传球后，球到甲的手中的概率为，求证：满足的的个数不少于满足的的个数.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省中山市濠头中学数学2025届高三下学期联合模拟考试（三）数学试题》参考答案题号12345678910答案BDBADCDCABDAC题号11答案BC1．B【分析】联立方程，求出解，得到交集.【详解】联立，解得，故.故选：B2．D【分析】根据向量平行的坐标运算即可求解.【详解】因为，且与共线，所以，解得.故选：D.3．B【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解.【详解】因为角的终边经过点，则，所以.故选：B.4．A【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合充分不必要条件的定义即可判断.【详解】当时，，所以，又，所以成立，当时，若与相交，则与异面，不能推导出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．5．D【分析】将、代入，求出、的值，再由等差数的性质求解即可.【详解】解：设等差数列的公差为，由，可知当时，则有，当时，则有，解得，所以，解得.故选：D.6．C【分析】根据题意可设，根据点到直线的距离公式结合基本不等式可得，即可得结果.【详解】由圆的圆心在曲线上，可设，又因为圆与直线相切，则圆的半径，当且仅当，即时等号成立，即圆的半径的最小值，所以圆面积的最小值为．故选：C．7．D【分析】判断与图象的对称性，从而求得．【详解】对于，，，所以的图象关于点对称．因为所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，所以，的图象的交点关于对称，所以．故选：D8．C【分析】连接，推导出，可求出的取值范围，则点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部，计算出点到距离的最小值，可求出面积的最小值，结合锥体的体积公式可求得结果.【详解】连接，因为平面，平面，所以，所以，，所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部，连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且，因为正方形的边长为，则，所以，设点到的距离为，则，所以，面积的最小值为，故，即三棱锥体积的最小值为.故选：C.9．ABD【分析】根据复数模长、乘法运算，结合共轭复数定义判断ABC，结合复数的几何意义，根据点与圆的位置关系求解最值判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，，则，所以，B正确；对于C，因为，所以，，所以，C错误；对于D，复数在复平面内对应的点为，则表示复数在复平面内对应的点在以为圆心1为半径的圆上，而表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，所以的最大值为，D正确.故选：ABD.10．AC【分析】利用导函数在上恒成立转化为在上恒成立可判断A正确，利用极值点定义计算可得，可得B错误，根据函数最值定义计算可得C正确，将函数的零点转化为二次函数零点问题，经分析可得D错误.【详解】由可得，对于A，若函数在上是增函数，所以在上恒成立，又，，所以等价于函数在上恒成立，则在上恒成立，则，即A正确；对于B，由可得或；显然当时，不合题意，若函数在处取得极大值，则在附近的符号从正变为负，所以，可得，即B错误；对于C，时，，因此当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；因此在处取得极大值，在处取得极小值，易知，所以函数在闭区间上的最大值为，即C正确；对于D，令，可得，若函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个实数根；显然，即，所以；即可得在上单调递减，此时不可能有两个实数根，即可得D错误.故选：AC11．BC【分析】根据三角形内心的性质可知，，故，即可判断选项A；设双曲线的焦距为，实轴长为，作轴，则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得，从而点就是双曲线的右顶点，则轴.同理可证轴，即可判断选项B；由，及数量积的运算即可判断选项C；在中，由射影定理可求的值，根据基本不等式即可判断选项D.【详解】

因为点是的内心，所以，同理可得.因为，所以，即，故是直角三角形，故选项A错误；设双曲线的焦距为，实轴长为，作轴，作，作，则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得，所以点就是双曲线的右顶点，则轴.同理可证轴，因此，，三点共线，故选项B正确；由题可得，由选项B可知，所以，故选项C正确；在中，由射影定理可得，则由基本不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，故选项D错误.故选：BC.12．【分析】根据题意确定的值，然后写出的展开式的通项，令，求解即可.【详解】由题意知，则的展开式通项为，令，则，所以展开式中的系数为．故答案为：6013．【分析】根据等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解即可.【详解】，所以，所以．故答案为:.14．9【分析】设，利用焦半径公式计算可得的表达式，再由三角函数值域计算可得结果.【详解】根据题意可知，直线过抛物线的焦点，作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为，如下图所示：

设，易知，可得，即，可得，同理可得，因此，由因为，所以，因此,即的最小值为9.故答案为：915．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得，进而可求；（2）由三角形的面积利用三角形的面积可求，利用向量数量积的运算律把化简计算可求解.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，因为，；（2）因为，，，.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解.【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面.（2）如图，过点作于点，则，在中，，所以，得.过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以，解得，即.17．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而得解；（2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，分析、的斜率均存在，由，即可得证；（ii）设的中点为，求出的垂直平分线，即可求出点坐标，再由表示出三角形的面积，再换元，利用导数求出函数的最大值.【详解】（1）依题意可得，解得，所以，所以椭圆方程为；（2）（i）设直线的方程为，，，由，整理得，所以，则，所以，，若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意），所以、的斜率均存在，所以，又，所以，即，又因为、均在椭圆上，由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形；（ii）设的中点为，则，，所以，所以的垂直平分线为，令可得，所以，所以的面积，令，设，，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得最大值，所以面积的最大值为.18．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）讨论方程的判别式，即可求出的单调区间；（3）利用（2）中的结论，得到函数在上单调递减，进而得到，再利用累加法即可得证.【详解】（1）当时，，，，曲线在点处的切线方程为，即；（2），，对于方程，当，即时，，函数在上单调递减；当，即时，方程有两个不相等的实数根，，且，当或时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.（3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减，又，当时，，即当时，.，，即，当时，，当时，，当时，，当时，，累加可得，，即，所以.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）运用条件概率计算即可；（2）运用条件概率变形得到即，再构造等比数列即可；（3）解法一：先根据事件概率关系得出的表达式，通过两边同乘构造新数列，利用叠加法求出，进而得到，再根据的奇偶性判断与的大小关系.解法二：采用反证法，假设结论不成立，即存在至少两个连续自然数、使且，分为偶数和奇数两种情况推出矛盾，从而证明原结论成立.【详解】