27锐角三角函数（10大考点62题） （原卷版）

专题27锐角三角函数（10大考点，精选62题）考点概览考点1特殊角的三角函数考点2正弦的有关计算考点3余弦、正切的有关计算考点4锐角三角函数与几何性质计算考点5锐角三角函数与解三角形考点6三角函数与圆的计算与证明考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题考点8锐角三角函数的应用：方向角问题考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题考点10锐角三角函数综合问题考点1特殊角的三角函数1．（2025·天津·中考真题）的值等于（

）A．0 B．1 C． D．2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是．3．（2025·北京·中考真题）计算：．4．（2025·青海·中考真题）计算：5．（2025·四川南充·中考真题）计算：．6．（2025·云南·中考真题）计算：．7．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：(1)；(2)．8．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．考点2正弦的有关计算9．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（

）A． B． C． D．10．（2025·广西·中考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．11．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（

）A． B．3 C． D．考点3余弦、正切的有关计算12．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为．13．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（

）A． B． C． D．14．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则．（结果保留根号）15．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则．16．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则．17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（

）A． B． C． D．考点4三角函数与几何性质计算18．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（

）A． B． C． D．19．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（

）A． B．2 C． D．20．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（

）A．12 B． C．16 D．21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（）

A． B．4 C． D．22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（

）A． B． C． D．23．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则．24．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为．25．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为．26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是．27．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为．（结果保留）28．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为．29．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为；点E在的延长线上，连接，若，则的长为．30．（2025·重庆·中考真题）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为，的长度为．31．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是．32．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为．33．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．（参考数据：，）考点5锐角三角函数解三角形34．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接(1)求证：．(2)若，求四边形的面积．35．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）【探索发现】（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．①求线段的长；（结果保留根号）②判断与的位置关系，并说明理由．36．（2025·山东威海·中考真题）问题提出已知，都是锐角，，，求的度数．问题解决（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上）策略迁移（2）已知，都是锐角，，，则___________；（3）已知，，都是锐角，，，，求的值．（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）37．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求和的长．考点6三角函数与圆的计算与证明37．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．(1)求证：；(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．38．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．40．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．(1)求证：；(2)若，，求的长．41．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．(1)求证：；(2)若，，求半圆O的半径及的长．42．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．(1)如图①，求的大小；(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若点B是的中点，且，求的半径．44．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．45．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．(1)求证：是的切线；(2)若四边形是平行四边形，，求的长．46．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且．(1)求证：是的切线；(2)若四边形是平行四边形，．求的长．考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题47．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）48．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据．项目报告表

时间：2025年5月29日项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度测量工具测角仪、皮尺项目实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．1．测出测角仪的高．2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角．3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离．任务二计算实际高度根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，）任务三换算模型高度将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到）项目结果为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．49．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）50．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，．51．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．参考数据：，．52．（2025·山西·中考真题）项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算活动过程方案说明图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．数据测量在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计计算……交流展示……请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：，，，，，）．53．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：实验主题测量校徽的高度工具准备测角仪，卷尺等实验过程1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角；4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．实验图示测量数据1．2．3．4．5．备注1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直．参考数据：，，；，，．请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．54．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）55．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．(1)求的度数；(2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．56．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．(1)制作工具如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．(2)获取数据如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________，___________，___________（结果保留小数点后两位）．(3)计算塔高请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．(4)反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．考点8锐角三角函数的应用：方向角问题57．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．(1)求的度数；(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）58．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，．(1)求岛与港口之间的距离；(2)求．（参考数据：，，）59．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：位置信息码头A在灯塔B北偏西方向14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处15：00时，