2025年高三数学高考数学建模初步模拟试题

2025年高三数学高考数学建模初步模拟试题一、选择题（共5小题，每小题5分，共25分）在数学建模过程中，以下哪项是将实际问题转化为数学问题的关键步骤？A.数据可视化B.模型假设C.结果检验D.论文撰写某学校为优化课后服务安排，需统计学生参与兴趣社团的意愿。下列收集数据的方法中，最适合的是：A.查阅文献B.问卷调查C.实验测量D.网络爬虫下列函数模型中，最适合描述"人口增长初期缓慢，中期加速，后期趋于稳定"趋势的是：A.线性函数(y=kx+b)B.指数函数(y=ae^{kx})（(k>0)）C.对数函数(y=a\lnx+b)（(a>0)）D.Logistic函数(y=\frac{L}{1+e^{-k(x-t_0)}})（(L,k>0)）在建立"共享单车投放量优化模型"时，下列哪项假设不合理？A.忽略极端天气对骑行需求的影响B.假设每辆单车的日均使用次数相同C.考虑不同区域的人口密度差异D.假设用户骑行距离服从正态分布某超市通过数据分析发现，商品销售额与促销费用之间的相关系数(r=0.85)，则两者的关系为：A.强负相关B.弱负相关C.弱正相关D.强正相关二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）数学建模的基本流程可概括为：问题分析→→模型建立→模型求解→→模型优化。某城市2020-2024年的常住人口数据（单位：万人）为：1200，1250，1320，1400，1480，若用线性回归模型拟合人口增长趋势，可设回归方程为(y=bt+a)（其中(t=1)对应2020年），则(b)的估计值为______。在层次分析法（AHP）中，判断矩阵(A=\begin{bmatrix}1&3\1/3&1\end{bmatrix})表示指标甲与乙的重要性之比为______。某网店销售一款商品，当定价为80元时，日均销量为100件；定价每降低5元，销量增加20件。若设降价(x)元（(x)为5的倍数），则日均销售额(y)（元）与(x)的函数关系为______。用0-1整数规划模型解决"选址问题"时，若用(x_i=1)表示选择第(i)个候选地址，(x_i=0)表示不选择，则"选择且仅选择2个地址"的约束条件可表示为______。三、解答题（共3小题，共50分）11.（15分）数据拟合与预测某地区2019-2024年新能源汽车保有量（单位：万辆）如下表所示：年份201920202021202220232024保有量5.27.812.118.527.339.6（1）绘制散点图，判断该数据更适合用指数模型(y=ae^{kt})还是幂函数模型(y=at^b)（(t=1)对应2019年）；（2）选择合适模型，估计2025年该地区新能源汽车保有量（结果保留1位小数）；（3）若政策目标为2030年保有量突破200万辆，判断该模型下目标能否实现。解答要求：需写出模型参数估计的具体步骤（可使用计算器辅助计算）；若采用指数模型，可令(z=\lny)，转化为线性回归(z=kt+\lna)。12.（15分）优化模型设计某快递公司计划在A、B、C三个区域设立中转仓，各区域的日均快递量（单位：万件）、建设成本（单位：万元）及最大处理能力如下表：区域日均快递量建设成本最大处理能力（万件/日）A1250015B830010C62008公司要求：①中转仓需覆盖所有区域（即每个区域的快递量需被完全处理）；②总建设成本不超过1000万元；③为提高效率，最多选择2个区域建设中转仓。（1）设(x_A,x_B,x_C)为0-1变量（1表示建设，0表示不建设），建立总成本最低的整数规划模型（无需求解）；（2）若仅考虑A、B两个区域，且允许共享处理能力（即总处理能力需≥A、B区域快递量之和），求最低建设成本。13.（20分）综合建模与分析问题背景：某中学为减少学生近视率，计划调整教室照明方案，需从以下4款LED灯具中选择最优方案：灯具型号单价（元/盏）功率（W）照度（lux）使用寿命（小时）甲200303505000乙280254008000丙3502045010000丁4201850012000附加条件：每间教室需安装8盏灯具，每天开灯8小时，每年按200天计算；电费为0.6元/度（1度=1千瓦时）；照度需满足国家标准≥300lux；优先考虑"性价比"（综合成本与照明效果），其次考虑能耗。任务：（1）定义"综合成本"为灯具采购成本与5年电费之和，计算每款灯具的综合成本（结果保留整数）；（2）建立层次分析模型，将"单价""照度""综合成本"作为评价指标，构造判断矩阵并计算权重（假设指标重要性排序为：照度>综合成本>单价，且相邻指标重要性之比为3:1）；（3）根据（1）（2）的结果，选择最优灯具型号并说明理由。四、应用题（共1小题，50分）社区养老服务中心选址问题某社区计划新建1所养老服务中心，候选地址为M、N、P三处，需综合考虑以下因素：距离因素：三个地址到社区各居民小区的平均距离（单位：km）分别为：M（1.2）、N（2.5）、P（1.8）；土地成本：M（800万元）、N（500万元）、P（650万元）；交通便利性：通过问卷调查评分（满分10分）：M（9分）、N（6分）、P（8分）；政策支持：M、P可获得政府补贴200万元，N无补贴。要求：（1）建立多属性决策模型，至少采用两种方法（如加权评分法、TOPSIS法）进行选址；（2）假设"距离因素"的权重在[0.2,0.4]范围内波动，分析权重变化对结果的影响（敏感性分析）；（3）若后期考虑服务中心的扩建潜力，P地址的最大扩建面积比M多30%，但需额外投入100万元，如何调整模型？解答