2025年高三数学高考数学期望与方差应用模拟试题

2025年高三数学高考数学期望与方差应用模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）已知随机变量(X\simB(n,p))，且(E(X)=6)，(D(X)=4.2)，则(n)的值为（）A.10B.20C.30D.40设随机变量(X)服从正态分布(N(\mu,\sigma^2))，若(P(X<1)=0.2)，(P(1\leqX<3)=0.5)，则(\mu)的值为（）A.1B.2C.3D.4某射击运动员每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击5次，记命中目标的次数为(X)，则下列结论正确的是（）A.(E(X)=4)，(D(X)=0.8)B.(E(X)=4)，(D(X)=0.64)C.(E(X)=5)，(D(X)=0.8)D.(E(X)=5)，(D(X)=0.64)已知随机变量(X)的分布列为：|(X)|0|1|2||-------|---|---|---||(P)|0.2|0.5|0.3|则(E(2X+1))的值为（）A.2.4B.3.4C.4.4D.5.4甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的零件尺寸的方差分别为(D(X_甲)=0.04)，(D(X_乙)=0.09)，则（）A.甲机床生产的零件质量更稳定B.乙机床生产的零件质量更稳定C.两台机床生产的零件质量稳定性相同D.无法比较两台机床生产的零件质量稳定性已知随机变量(X)的期望(E(X)=2)，方差(D(X)=1)，则(E(X^2))的值为（）A.3B.4C.5D.6某袋中有5个红球和3个白球，从中任取2个球，记取出红球的个数为(X)，则(D(X))的值为（）A.(\frac{15}{28})B.(\frac{15}{56})C.(\frac{75}{112})D.(\frac{75}{224})已知随机变量(X)和(Y)相互独立，且(E(X)=1)，(D(X)=2)，(E(Y)=3)，(D(Y)=4)，则(E(XY))的值为（）A.3B.4C.5D.6二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）下列关于数学期望和方差的说法正确的有（）A.若随机变量(X)服从二项分布(B(n,p))，则(E(X)=np)，(D(X)=np(1-p))B.若随机变量(X)服从正态分布(N(\mu,\sigma^2))，则(P(X>\mu)=0.5)C.对于任意随机变量(X)和常数(a,b)，都有(E(aX+b)=aE(X)+b)D.若随机变量(X)和(Y)相互独立，则(D(X+Y)=D(X)+D(Y))已知随机变量(X)的分布列为：|(X)|-1|0|1||-------|----|---|---||(P)|0.3|0.4|0.3|则下列结论正确的有（）A.(E(X)=0)B.(D(X)=0.6)C.(P(X\geq0)=0.7)D.(E(X^2)=0.6)甲、乙两名运动员在相同条件下进行射击训练，他们击中10环的概率分别为0.8和0.9，现两人各射击一次，记击中10环的次数为(X)，则（）A.(P(X=0)=0.02)B.(P(X=1)=0.26)C.(E(X)=1.7)D.(D(X)=0.21)下列关于正态分布的说法正确的有（）A.正态分布曲线关于直线(x=\mu)对称B.正态分布的参数(\sigma)越大，曲线越“矮胖”C.若(X\simN(\mu,\sigma^2))，则(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6827)D.标准正态分布的期望为0，方差为1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知随机变量(X\simB(5,0.2))，则(E(X)=)，(D(X)=)。某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现从中随机抽取5人参加活动，记抽到男生的人数为(X)，则(E(X)=)______。已知随机变量(X)的期望(E(X)=3)，方差(D(X)=2)，则(E(3X-2)=)，(D(3X-2)=)。某射手射击一次命中目标的概率为0.8，现连续射击5次，记命中目标的次数为(X)，则(P(X=3)=)______（用数字作答）。四、解答题（本大题共6小题，共66分）（10分）已知随机变量(X)的分布列为：|(X)|1|2|3||-------|---|---|---||(P)|0.4|0.5|0.1|求(E(X))和(D(X))。（10分）某袋中有4个红球和2个白球，从中有放回地抽取3次，每次抽取1个球，记取出红球的次数为(X)。（1）求(X)的分布列；（2）求(E(X))和(D(X))。（12分）甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发扣12分。甲、乙各射击10发，共得208分，其中甲比乙多得64分。已知甲、乙两人射击的命中率分别为0.8和0.7。（1）求甲、乙两人各命中多少发？（2）求甲、乙两人得分的数学期望。（12分）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和次品三个等级，其中一等品率为0.7，二等品率为0.2，次品率为0.1。每件一等品可获利100元，每件二等品可获利50元，每件次品亏损20元。（1）求该厂生产一件产品的平均利润；（2）若该厂一天生产1000件产品，求一天的利润的数学期望和方差。（10分）已知随机变量(X)的分布列为：|(X)|-2|-1|0|1|2||-------|----|----|---|---|---||(P)|0.1|0.2|0.3|0.3|0.1|求(E(X))，(D(X))和(E(2X^2+3))。（12分）某商场为促销举办抽奖活动，规则如下：顾客每消费100元可获得一次抽奖机会，每次抽奖从装有4个红球和6个白球的袋中任取2个球，若取出2个红球，可获得100元购物券；若取出1个红球和1个白球，可获得50元购物券；若取出2个白球，无奖品。（1）求顾客一次抽奖获得购物券金额的分布列；（2）求顾客一次抽奖获得购物券金额的数学期望；（3）若某顾客消费了500元，获得5次抽奖机会，求他获得购物券总金额的数学期望。五、应用题（本大题共2小题，共20分）（10分）某投资公司有两种理财产品A和B，其年收益率分别为随机变量(X)和(Y)，分布列如下：|收益率|-5%|0%|5%|10%||--------|-----|----|----|-----||(P(X))|0.1|0.2|0.5|0.2||(P(Y))|0.2|0.3|0.3|0.2|（1）比较两种理财产品的平均收益率；（2）比较两种理财产品的风险大小（方差越小，风险越小）。（10分）某物流公司有甲、乙两种运输车辆，甲型车每次可运输货物8吨，乙型车每次可运输货物10吨。甲型车运输一次的成本为400元，乙型车运输一次的成本为500元。现需运输一批货物共100吨，设使用甲型车(x)辆，乙型车(y)辆。（1）求(x)和(y)应满足的约束条件；（2）若(x)和(y)均为随机变量，且(x\simU(5,10))（均匀分布），(y\simB(10,0.5))，求运输成本的数学期望。六、拓展题（本大题共1小题，共10分）（10分）已知随机变量(X)和(Y)的联合分布列为：|(Y)\(X)|0|1|2||--------------|---|---|---||0|0.1|0.2|0.1||1|0.2|0.3|0.1|（1）求边缘分布列(P(X=i))和(P(Y=j))；（2）求(E(X))，(E(Y))，(D(X))，(D(Y))；（3）求(X)和(Y)的协方差(Cov(X,Y))和相关系数(\rho_{XY})，并判断(X)和(Y)是否独立。参考答案与解析一、选择题B解析：由二项分布的期望和方差公式得(E(X)=np=6)，(D(X)=np(1-p)=4.2)，解得(n=20)，(p=0.3)。B解析：由正态分布的对称性知，(P(X<1)=P(X>3)=0.2)，所以(\mu=\frac{1+3}{2}=2)。A解析：(X\simB(5,0.8))，所以(E(X)=5\times0.8=4)，(D(X)=5\times0.8\times0.2=0.8)。B解析：(E(X)=0\times0.2+1\times0.5+2\times0.3=1.1)，所以(E(2X+1)=2E(X)+1=2\times1.1+1=3.4)。A解析：方差越小，数据越稳定，因为(D(X_甲)=0.04<D(X_乙)=0.09)，所以甲机床生产的零件质量更稳定。C解析：由方差公式(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2)得(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+2^2=5)。C解析：(X)服从超几何分布(H(8,5,2))，所以(D(X)=n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}=2\times\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}\times\frac{6}{7}=\frac{75}{112})。A解析：因为(X)和(Y)相互独立，所以(E(XY)=E(X)E(Y)=1\times3=3)。二、多选题ABCD解析：以上说法均正确。ABCD解析：(E(X)=(-1)\times0.3+0\times0.4+1\times0.3=0)，(D(X)=(-1-0)^2\times0.3+(0-0)^2\times0.4+(1-0)^2\times0.3=0.6)，(P(X\geq0)=0.4+0.3=0.7)，(E(X^2)=(-1)^2\times0.3+0^2\times0.4+1^2\times0.3=0.6)。ABCD解析：(X)的可能取值为0,1,2。(P(X=0)=(1-0.8)(1-0.9)=0.02)，(P(X=1)=0.8\times(1-0.9)+(1-0.8)\times0.9=0.26)，(P(X=2)=0.8\times0.9=0.72)，(E(X)=0\times0.02+1\times0.26+2\times0.72=1.7)，(D(X)=(0-1.7)^2\times0.02+(1-1.7)^2\times0.26+(2-1.7)^2\times0.72=0.21)。ABCD解析：以上关于正态分布的说法均正确。三、填空题1，0.8解析：(E(X)=np=5\times0.2=1)，(D(X)=np(1-p)=5\times0.2\times0.8=0.8)。3解析：(X)服从超几何分布(H(50,30,5))，所以(E(X)=n\frac{M}{N}=5\times\frac{30}{50}=3)。7，18解析：(E(3X-2)=3E(X)-2=3\times3-2=7)，(D(3X-2)=9D(X)=9\times2=18)。0.2048解析：(X\simB(5,0.8))，所以(P(X=3)=\binom{5}{3}0.8^3(1-0.8)^2=10\times0.512\times0.04=0.2048)。四、解答题解：(E(X)=1\times0.4+2\times0.5+3\times0.1=1.7)(D(X)=(1-1.7)^2\times0.4+(2-1.7)^2\times0.5+(3-1.7)^2\times0.1=0.49\times0.4+0.09\times0.5+1.69\times0.1=0.196+0.045+0.169=0.41)解：（1）(X\simB(3,\frac{2}{3}))，分布列为：|(X)|0|1|2|3||-------|---|---|---|---||(P)|(\frac{1}{27})|(\frac{6}{27})|(\frac{12}{27})|(\frac{8}{27})|（2）(E(X)=3\times\frac{2}{3}=2)，(D(X)=3\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3})解：（1）设甲命中(x)发，乙命中(y)发。由题意得：[\begin{cases}20(x+y)-12(20-x-y)=208\20x-12(10-x)-[20y-12(10-y)]=64\end{cases}]解得(x=8)，(y=7)。（2）甲得分的期望：(E(甲)=20\times8-12\times2=136)（分）乙得分的期望：(E(乙)=20\times7-12\times3=104)（分）解：（1）设生产一件产品的利润为(X)，则：(E(X)=100\times0.7+50\times0.2+(-20)\times0.1=70+10-2=78)（元）（2）一天生产1000件产品的利润(Y=1000X)，所以：(E(Y)=1000E(X)=1000\times78=78000)（元）(D(Y)=1000^2D(X)=1000000\times[(100-78)^2\times0.7+(50-78)^2\times0.2+(-20-78)^2\times0.1]=1000000\times[338.8+156.8+960.4]=1000000\times1456=1456000000)解：(E(X)=(-2)\times0.1+(-1)\times0.2+0\times0.3+1\times0.3+2\times0.1=-0.2-0.2+0+0.3+0.2=0.1)(D(X)=(-2-0.1)^2\times0.1+(-1-0.1)^2\times0.2+(0-0.1)^2\times0.3+(1-0.1)^2\times0.3+(2-0.1)^2\times0.1=0.441+0.242+0.003+0.243+0.361=1.29)(E(X^2)=(-2)^2\times0.1+(-1)^2\times0.2+0^2\times0.3+1^2\times0.3+2^2\times0.1=0.4+0.2+0+0.3+0.4=1.3)(E(2X^2+3)=2E(X^2)+3=2\times1.3+3=5.6)解：（1）设获得购物券金额为(X)元，则(X)的可能取值为0,50,100。(P(X=100)=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15})(P(X=50)=\frac{\binom{4}{1}\binom{6}{1}}{\binom{10}{2}}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15})(P(X=0)=\frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3})分布列为：|(X)|0|50|100||-------|---|----|-----||(P)|(\frac{1}{3})|(\frac{8}{15})|(\frac{2}{15})|（2）(E(X)=0\times\frac{1}{3}+50\times\frac{8}{15}+100\times\frac{2}{15}=\frac{400}{15}+\frac{200}{15}=\frac{600}{15}=40)（元）（3）设5次抽奖获得购物券总金额为(Y)，则(Y=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)，所以(E(Y)=5E(X)=5\times40=200)（元）五、应用题解：（1）(E(X)=(-5%)\times0.1+0%\times0.2+5%\times0.5+10%\times0.2=-0.5%+0+2.5%+2%=4%)(E(Y)=(-5%)\times0.2+0%\times0.3+5%\times0.3+10%\times0.2=-1%+0+1.5%+2%=2.5%)所以理财产品A的平均收益率更高。（2）(D(X)=(-5%-4%)^2\times0.1+(0%-4%)^2\times0.2+(5%-4%)^2\times0.5+(10%-4%)^2\times0.2=0.00081+0.00032+0.00005+0.00072=0.0019)(D(Y)=(-5%-2.5%)^2\times0.2+(0%-2.5%)^2\times0.3+(5%-2.5%)^2\times0.3+(10%-2.5%)^2\times0.2=0.001125+0.0001875+0.0001875+0.001125=0.002625)因为(D(X)<D(Y))，所以理财产品A的风险更小。解：（1）约束条件为(8x+10y\geq100)，(x,y)为非负整数。（2）运输成本(C=400x+500y)，所以(E(C)=400E(x)+500E(y))因为(x\simU(5,10))，所以(E(x)=\frac{5+10}{2}=7.5)因为(y\simB(10,0.5))，所以(E(y)=10\times0.5=5)因此，(E(C)=400\time