高三数学理科 客观题专练 (16)概率与统计

概率与统计(16)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·山东滨州模考]若复数(1－ai)2－2i是纯虚数，则实数a＝()A．0B．±1C．1D．－1答案：C解析：(1－ai)2－2i＝1－a2－2ai－2i＝1－a2－(2a＋2)i.∵(1－ai)2－2i是纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＝0，,2a＋2≠0，))解得a＝1，故选C.2．[2019·东北三省三校一模]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都选到满意的礼物，则不同的选法有()A．30种B．50种C．60种D．90种答案：B解析：若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一个，丙同学可以从剩下的10个中任选一个，不同的选法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,10)＝20(种)；若同学甲选马，那么同学乙可以选牛、狗和羊中的一个，丙同学可以从剩下的10个中任选一个，不同的选法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,10)＝30(种)．所以不同的选法共有20＋30＝50(种)，故选B.3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案：A解析：因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．[2019·山东烟台模拟]将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26，16，8B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9答案：B解析：由题意知间隔为eq\f(600,50)＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0，1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．5．[2019·重庆市学业质量调研]甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案：D解析：假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.6．[2019·重庆巴蜀中学一模]执行如图所示的程序框图，若输入的a为24，c为5，输出的数为3，则输入的b有可能为()A．11B．12C．13D．14答案：B解析：结合程序框图，若输出的数为3，则经过循环之后的b＝a＋3＝27，由27÷5＝5……2，并结合循环结构的特点可得，输入的b除以5的余数为2，结合选项可得，b有可能为12，故选B.7．[2019·福建泉州泉港一中模考]若1路、2路公交车的站点均包括泉港一中，且1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，则某学生去坐这2趟公交车回家，等车不超过5分钟的概率是()A.eq\f(1,8)B.eq\f(3,5)C.eq\f(5,8)D.eq\f(7,8)答案：C解析：设1路公交车到达的时间为x，2路公交车到达的时间为y.(x，y)可以看成平面上的点，则可设Ω＝{(x，y)|0≤x≤10且0≤y≤20}，表示的是一个长方形区域，如图，其面积S＝10×20＝200.若某学生等车时间不超过5分钟，则其构成的平面区域为图中的阴影部分，面积S′＝125，故所求概率P＝eq\f(S′,S)＝eq\f(125,200)＝eq\f(5,8)，故选C.8．[2019·长春市普通高中高三质量监测(二)]下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：本题考查统计图中的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论．由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知，股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙在6月到8月明显是下降趋势，故④错误，因此正确结论的个数有3个，故选C.9．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲、eq\o(x,\s\up6(－))乙，中位数分别为m甲、m乙，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲>m乙B.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲<m乙C.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲>m乙D.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲<m乙答案：B解析：由茎叶图知m甲＝eq\f(22＋18,2)＝20，m乙＝eq\f(27＋31,2)＝29，所以m甲<m乙，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,16)(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝eq\f(345,16)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,16)(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝eq\f(457,16)，所以eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙．10．[2019·合肥市高三第二次教学质量检测]某公司某种型号的产品近期的销售情况如下表：月份x23456销售额y/万元15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此估计，该公司7月份这种型号的产品的销售额为()A．19.5万元B．19.25万元C．19.15万元D．19.05万元答案：D解析：由题意可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(15.1＋16.3＋17.0＋17.2＋18.4,5)＝16.8，∴由回归直线恒过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，得16.8＝0.75×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝13.8，∴当x＝7时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75×7＋13.8＝19.05，故选D.11．[2019·成都市第二次诊断性检测]用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为()A．479B．480C．455D．456答案：C解析：当首位为7，8，9时，六位数共有3Aeq\o\al(5,5)＝3×5×4×3×2×1＝360(个)；当首位为4，第二位为7，8，9时，六位数共有3Aeq\o\al(4,4)＝3×4×3×2×1＝72(个)；当首位为4，第二位为2，第三位为7，8，9时，六位数共有3Aeq\o\al(3,3)＝3×3×2×1＝18(个)；当首位为4，第二位为2，第三位为0，第四位为8，9时，六位数共有2Aeq\o\al(2,2)＝2×2×1＝4(个)；当首位为4，第二位为2，第三位为0，第四位为7，第五位为9时，六位数共有1(个)．所以大于420789的正整数共有360＋72＋18＋4＋1＝455(个)．12．[2019·福建永春调研]在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是()A．Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCDB．Seq\o\al(2,△ABD)＝S△BOD·S△BOCC．Seq\o\al(2,△ADC)＝S△DOC·S△BOCD．Seq\o\al(2,△BDC)＝S△ABD·S△ABC答案：A解析：由已知，在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC.可以类比这一性质，推理出：若三棱锥D－ABC中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，如图所示，则Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD.故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·江苏卷]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案：18解析：∵eq\f(样本容量,总体个数)＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴应从丙种型号的产品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．14．[2019·浙江名校新高考研究联盟第一次联考]若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x2)))6的展开式中，x3的系数为6，则a＝________，常数项的值为________．答案：115解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x2)))6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·a6－r·x6－3r，令6－3r＝3，求得r＝1，可得x3的系数为6a5＝6，所以a＝1.令6－3r＝0，求得r＝2，所以常数项的值为Ceq\o\al(2,6)＝15.15．[2019·江苏南京一调]袋子中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．答案：eq\f(2,3)解析：从袋中一次性随机摸出2个球，基本事件的总数n＝Ceq\o\al(2,4)＝6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个，所以摸出的2个球的编号之和大于4的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).16．[2019·重庆九校联考]随机变量ξ的分布列为ξ－1012Pxeq\f(1,3)eq\f(1,6)y若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则x＋y＝________，D(ξ)＝________.答案：eq\f(1,2)eq\f(11,9)解析：∵E(ξ)＝eq\f(1,3)，∴由随机变量ξ的分布列，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)＋\f(1,6)＋y＝1，,－x＋\f(1,6)＋2y＝\f(1,3)，))