专题04 直线与方程（期中专项训练）（解析版）高二数学上学期人教版A

2/24专题04直线与方程题型1斜率几何意义题型9含参双动直线题型2斜率与倾斜角题型10截距式应用（重点）题型3斜率与倾斜角：三角范围型（重点）题型11直线光学性质：对称题型4斜率与倾斜角：代数值域型题型12平行线题型5直线的方向向量（常考点）题型13“将军饮马型”题型6直线平行与垂直题型14几何意义：构造距离题型7直线方程系（难点）题型15几何意义：绝对值型题型8含参型直线（重点）题型一、斜率的几何意义（共3小题）1．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知曲线C的参数方程为，且点在曲线C上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在半圆上动，所求式子，为半圆上动点P与点C（0，1）连线斜率，数形结合即可求解．【详解】解：因为，即，所以，其中由题意作出图形：而，令，则可看作半圆上的动点到点的连线的斜率，由题意可得当直线与半圆相切时斜率最大，如图直线与半圆相切，在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是.则的取值范围是．故选：D．【点睛】本题考查曲线的参数方程与标准方程的转化，作出图形是解题关键.重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了数形结合和等价转化的思想．2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案．【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率，画出函数的图象，如图，直线的斜率分别为，，，而，所以，，的大小关系是.故选：A3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围.【详解】作出的函数图象如图所示：表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0，而点在动直线上运动，由，，，，且为整数，可得当时，至少有点两个点满足，不满足题意；当时，只有点满足，满足题意；当时，只有点满足，满足题意；当时，至少有两个点满足，不满足题意；综上所述，由a为整数，可得a的取值集合为.故选：A.题型二、斜率与倾斜角（共3小题）4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是．【答案】/【分析】根据直线倾斜角定义可得结果.【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是.故答案为：5．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）已知点，，则直线的倾斜角．【答案】/【分析】先根据斜率公式表示出斜率，再利用诱导公式化简，然后由斜率与倾斜角的关系可求得结果.【详解】因为，，所以直线的斜率为，所以，因为，所以，故答案为：.6．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知点，点，则直线的倾斜角为．【答案】【分析】利用两点斜率公式结合三角恒等变换求得，从而可得倾斜角；【详解】设直线的倾斜角为，则，所以直线的倾斜角为；故答案为：.题型三、斜率与倾斜角：三角范围型（共3小题）7．（2025高二·全国·专题练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是.【答案】【分析】分和两种情况，若，则根据即可求出.【详解】①当时，直线的斜率不存在，其倾斜角；②当时，直线的斜率，因，则，则，因，所以倾斜角，综上，直线的倾斜角的范围是.故答案为：.8．（24-25高三上·吉林·期末）直线，的倾斜角的取值范围为.【答案】【分析】根据直线斜率的取值范围可得倾斜角的取值范围.【详解】设直线倾斜角为，斜率为，由题意得，，∴.故答案为：.9．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】由题可得，先算得的取值范围，再结合斜率与倾斜角的关系求解即得.【详解】依题意，直线的斜率，则，所以.故答案为：题型四、斜率与倾斜角：代数值域型（共3小题）10．（2022·浙江温州·二模）直线过定点，倾斜角的最小值是.【答案】【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案.【详解】直线可以化为，则令，解得，即直线过定点，又直线可化为，，则倾斜角的最小值是.故答案为：；11．（19-20高二上·上海闵行·期中）已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的倾斜角是钝角，则的取值范围是【答案】【分析】由直线的倾斜角是钝角，可知直线的斜率存在,且,即可得到,求解即可.【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以直线的斜率存在,且,,则,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.12．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为.【答案】/0.25【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值.【详解】，当且仅当时取等号，所以k的最大值为.故答案为：.题型五、直线的方向向量（共2小题）13．（24-25高二上·湖北·期中）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果.【详解】因为，即，所以，因为，即，所以，所以.故选：A.14．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率关系得直线的斜率，再根据直线方向向量与斜率关系即可得所求.【详解】直线的倾斜角为，则斜率，所以该直线的一个方向向量为.故选：C.题型六、直线平行与垂直（共2小题）15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是．【答案】【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可.【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点；时，与交于点．当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为，当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，．故答案为：

16．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，若，则实数．【答案】或【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值.【详解】因为直线，所以，解得或．故答案为：或题型七、直线方程系（共4小题）17．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是．【答案】平行【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【详解】由题意可得，则方程，即，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，故表示与平行的直线，故答案为：平行．18．（19-20高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（

）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若，则直线经过线段M，N的中点；D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对一一分析，逐一验证．【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（24-25高二上·安徽·阶段练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.【详解】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故直线的方程是.故选：A.20．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（

）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解【答案】B【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误.【详解】直线的斜率存在，∴，由题意，则，故：与：相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则，则点，在直线，即上，但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B.题型八、含参型直线（共3小题）21、（22-23高二下·重庆南岸·期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.【详解】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.

22．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.【详解】直线，由，解得，所以直线恒过定点.故选：C23．（21-22高二上·广东·期中）已知直线：过定点，直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线的方程求出定点，也即的定点，再由两直线垂直求出斜率，方程可得.【详解】∵由题意，直线：，∴过定点，则直线过定点，∵直线与直线垂直，则直线的斜率，∴直线的方程为，即.故选A.题型九、含参双动直线（共3小题）24．（2022·安徽合肥·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(

)A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可.【详解】由题可知，,直线，所以,，所以，所以的面积为，当且仅当时等号成立.故选：C25．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（

）A．10 B．12 C．13 D．20【答案】C【分析】根据题意，求得直线过定点，直线恒过定点，结合，得到，利用勾股定理，即可求解.【详解】由直线过定点，直线可化为，令，解得，即直线恒过定点，又由直线和，满足，所以，所以，所以.故选：C.26．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再由两条直线的位置关系可得，进而利用基本不等式求解即得.【详解】直线过定点，直线，即过定点，又，即直线与直线垂直，因此，则，当且仅当时取等号，所以的最大值为5.故选：C题型十、截距式应用（共3小题）27．（2011·重庆·一模）过点在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得，故方程为；当截距不为0时，①截距相等时，设方程为，将代入，即，解得：，故方程为；②截距互为相反数时，设直线方程为，将代入，即，解得：，故方程为；一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.故选：C28．（19-20高一·云南普洱·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为利用截距式写出直线方程，根据过定点,得到的关系，判定的范围，然后求得后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，从而解决问题.【详解】当截距为0时，是直线,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为则直线方程为，∵直线过点,∴①，∵,∴,结合①可得，,∴,又∵为整数，，由①解得,为12的因数，∴,对应,相应对应的直线又有6条，综上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D.【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而是在截距不为零时，得到后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，本题属中档题.29．（15-16高二上·河北唐山·期中）经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A．x+2y﹣6=0 B．2x+y﹣6=0 C．x﹣2y+7=0 D．x﹣2y﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．解：设直线的方程为=1（a＞0，b＞0），则有，∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（）=5+≥5+4=9，当且仅当，即a=3，b=6时取=．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．考点：直线的斜截式方程．题型十一、直线光学性质：对称（共3小题）30．（15-16高一下·福建厦门·阶段练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（

）A．24 B． C．14 D．【答案】B【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可.【详解】∵点到直线的距离,∴直线始终与圆相切,∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合,∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值.故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题.31．（2024高二上·江苏·专题练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可.【详解】∵，，，∴直线方程为，直线方程为，如图，作关于的对称点，∵，∴，再作关于的对称点，则，连接､交与点，则直线ME方程为，∴，连接､分别交为点､，则直线方程为，直线方程为，∴，.连接，，则，之间即为点的变动范围.

∵直线方程为，直线FH的斜率为，∴斜率的范围为.故选：D.32．（21-22高一下·四川达州·期末）如图，一束光线从扇形OAB的弧上的C点出发，经该扇形半径两次反射用时后第一次回到C点.已知，如果光源C沿顺时针移动后到达点，那么光线从出发再经该扇形半径两次反射后第一次回到所用的时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，得到圆弧上任意一点C经过该扇形半径两次反射后回到原来C点，光线所走的距离长度为定值，从而得到正确答案.【详解】设扇形的半径为R，圆弧上任意一点C经过该扇形半径两次反射后回到原来C点，光线所走的距离长度为定值，理由如下：过点C作CE垂直OA，垂足为M，且CM=ME，过点C作CD⊥OB于点N，且CN=DN，连接OE，OD，DE，则OD=OE=R，且，则∠DOE=60°×2=120°，故，因为点C具有任意性，所以光线从出发再经该扇形半径两次反射后第一次回到所用的时间也是，故选：C题型十二、平行线（共3小题）33．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则k的值为.【答案】或【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果.【详解】由题意，集合中，可整理成，所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集.因为，所以直线与直线平行或有一个交点，当两直线平行时，；当两直线交点为时，.故答案为：或.34．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为.【答案】【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解.【详解】方程组无解，等价于直线与直线平行，可得：，解得：或，当时，直线方程分别为：和重合舍去，当时，直线方程分别为：和，平行，故，故答案为：35．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值为【答案】1【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可.【详解】由，可得直线与平行，故，解得，故答案为：题型十三、“将军饮马型”（共2小题）36．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B．将军在河边饮马的地点的坐标为C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D．“将军饮马”走过的总路程为5【答案】B【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.【详解】如图所示：由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则，解得，即，对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.故选：B.37．（22-23高二上·湖北·期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出将军出发点关于河岸所在直线的对称点，再连接交河岸所在直线于点，则由对称性可知为最短距离，求解即可．【详解】解：如图，设关于河岸线所在直线的对称点为，根据题意，设军营所在区域为以圆心为，半径的圆上和圆内所有点，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，，直线的斜率为1，则，解得，，，又，所以，故选：C．题型十四、几何意义：构造距离（共2小题）38．（24-25高二上·陕西安康·期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设换元后可知为圆弧上动点，原题可化为动点与定点连线斜率问题得解.【详解】设，则，则表示圆弧上的点与点连线的斜率，当过点的直线与圆弧相切时斜率最大，如图，此时，，可得，所以，所以，即斜率最大值为，根据斜率变化关系可得的值域为.故选：B39．（2018·上海长宁·三模）已知函数，给出下列四个判断：①函数的值域是；②函数的图像时轴对称图形；③函数的图像时中心对称图形；④方程有实数解.其中正确的判断有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据的几何意义分析即可.【详解】由题的几何意义为到的距离差的绝对值.其中在轴上运动.对①,由图像可知,当在处取得最小值,当往两边运动时,