江西省赣州市宁师中学2025年高二数学第一学期期末经典试题含解析

江西省赣州市宁师中学2025年高二数学第一学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）A B.C. D.2．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2203．变量，满足约束条件则的最小值为()A. B.C. D.54．已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A. B.2C.4 D.5．函数在上的最小值为（）A. B.C.-1 D.6．已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），则（）A.2023 B.2022C.2021 D.20207．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.8．设命题，则为（）A. B.C. D.9．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在双曲线上，且轴，若则双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.310．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.11．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）A. B.C. D.12．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是递增等比数列，，则数列的前项和等于.14．某人有楼房一栋，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元.如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为___________元.15．曲线在x=1处的切线方程为__________.16．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上的动点到焦点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于，当变化时，是否为定值?若是，定值为多少?18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值19．（12分）已知点A（1，2）在抛物线C∶上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为kAD，kAE，若直线DE过点P（-1，-2）（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AD，AE的斜率之积.20．（12分）命题p：关于x的不等式对一切恒成立；命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.22．（10分）已知函数在处取得极值（1）求实数a的值；（2）若函数在内有零点，求实数b的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D2、C【解析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，则，解得：又，则与第四个单音的频率最接近的是311,故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.3、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.故选：A.4、A【解析】根据将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.【详解】将，变形为，故直线恒过点，圆心，半径，已知点P在圆内，过点作直线与圆相交于A，两点，记圆心到直线的距离为d，则，所以当d取得最大值时，有最小值，结合图形易知，当直线与线段垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，此时，所以.故选：A.5、D【解析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.故选：D.6、C【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.【详解】因为，令，得，又，，所以，有，解得.故选：C7、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.8、D【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，故选：D9、B【解析】由双曲线定义结合通径公式、化简得出，最后得出离心率.【详解】，，，解得故选：B10、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD，如图，则故选：A11、A【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，则，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以，，故.故选：A.12、A【解析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可【详解】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.14、3600【解析】先设分割大房间为间，小房间为间，收益为元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的整数点时，从而得到值即可【详解】解：设装修大房间间，小房间间，收益为万元，则，目标函数，由，解得画出可行域，得到目标函数过点时，有最大值，故应隔出大房间3间和小房间8间，每天能获得最大的房租收益最大，且为3600元故答案为：360015、【解析】根据导数的几何意义求切线方程的斜率并求出，再由点斜式写出切线方程即可.【详解】由题设，，则，而，所以在x=1处的切线方程为，即.故答案为：.16、3【解析】根据抛物线焦半径公式，所以.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是，【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出，的方程，解方程求，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦的长和其中垂线方程，再计算，由此完成证明.【小问1详解】抛物线的交点坐标为（1，0），，又，又，∴，椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的斜率为，则直线的方程为，联立消元得到，显然，，∴，又的中点坐标为，直线的中垂线的斜率为∴直线的中垂线方程为，令，，（常数）.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值18、（I）（II）【解析】（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案解：（I）以，，x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角19、（1）（2）【解析】（1）代入点即可求得抛物线方程；（2）联立方程后利用韦达定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的积.【小问1详解】解：点A（1，2）在抛物线C∶上故【小问2详解】设直线方程为：联立方程，整理得：由题意及韦达定理可得：，20、【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣2＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥2∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题21、（1）（2）【解析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可用表示，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围.小问1详解】由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则