已知曲线焦点和准线方程求抛物线方程的两种方法应用举例D6_第1页
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已知曲线焦点和准线方程求抛物线方程的两种方法应用举例D6_第3页
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文档简介

如何求焦点为(-9,10)，准线为3x+6y=11的抛物线方程主要内容：本文通过抛物线标准方程y²=-2px相关知识,通过对比平移变换以及抛物线的几何意义等方法，求解焦点为F₁(-9,10)，准线L:3x+6y=11非标准抛物线方程的方法和步骤。平移变化法主要思路：根据准线、焦点的位置关系，以及开口方向始终朝焦点方向，背离准线方向，通过标准方程平移变换计算。解：已知准线方程为3x+6y=11，其斜率k=-eq\f(1,2)。设抛物线的顶点为O₁(m，n)，则直线F₁O₁与准线垂直，即F₁O₁的斜率k₁=eq\f(2,1),此时直线F₁O₁的方程为：y-10=eq\f(2,1)(x+9)，即3y=6x+84.联立准线方程和F₁O₁方程，可求其交点A的坐标为：A(-eq\f(157,15),eq\f(106,15)).根据抛物线性质，点O₁是点F₁和A的中点，则：2m=-eq\f(157,15)-9，即:m=eq\f(-eq\f(157,15)-9,2)=-eq\f(146,15),2n=eq\f(106,15)+10，即:n=eq\f(eq\f(106,15)+10,2)=eq\f(128,15)，则：O₁(-eq\f(146,15),eq\f(128,15))。又因为:|O₁F₁|=eq\r((-eq\f(146,15)+9)²+(eq\f(128,15)-10)²)=eq\f(11,15)eq\r(5)=eq\f(p,2)，所以:2p=eq\f(44,15)eq\r(5)，综上得到此抛物线方程为：(y-eq\f(128,15))²=-2p(x+eq\f(146,15)),即：(y-eq\f(128,15))²=-eq\f(44,15)eq\r(5)(x+eq\f(146,15))。几何意义法主要思路：根据抛物线的几何意义，即抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离来计算求解。解：设抛物线上有任意一点B(x₀,y₀),根据几何意义有：eq\r((x₀+9)²+(y₀-10)²)=eq\f(|3x₀+6y₀-11|,\r(3²+6²)),方程两边平方，并整式变形有：(3²+6²)*[(x₀+9)²+(y₀-10)²]=(3x₀+6y₀-11)²,(3²+6²)[(x₀+9)²+(y₀-10)²]=(3x₀+6y₀)²-2*11(3x₀+6y₀)+11²,6²(x₀+9)²+3²(y₀-10)²+3²*9(2*x₀+9)-6²*10(2y₀-10)=2*3x₀*6y₀-2*11(3x₀+6y₀)+11²,进一步化简，得到关于x₀,y₀的一般方程为：36x₀²+9y₀²-36x₀y₀+8

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