独立性检验学案高中数学选择性人教A版第八章成对数据的统计分析

8.3列联表与独立性检验

8.3.2独立性检验

目标要求

1.结合具体实例，了解独立性检验及其方法；

2

2.理解并掌握”的运算公式和通过临界值解决实际问题：

3.通过理解相关概念培养数学抽象素养，通过的运算公式，提高数据分析和

数学运算的核心素养.

导语

根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联，对于随机样本而言，因

为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本

容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希

望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.

新知探索

探究一零假设

思考：考虑以c为样本空间的古典概型.设x和丫为定义在。上，取值于｛0』｝的

成对分类变量.如何判断事件｛X=l｝和｛丫=1｝之间是否有关联？

零假设的定义：我们需要判断下面的H0：p(y=i|x=o)=p(y=i|x=i)是否成

立，通常称为零假设或(nullhypothesis)。

可以用概率语言将零假设改述为H。:分类变量工与工独立。

证明：请你利用条件概率和独立时间的概率公式证明Ho：变量X和Y独立。

探究二独立性检验

假定通过简单随机抽样得到分类变量X与y的2x2列联表

XY合计

Y=0Y=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合计a+cb+da+b+c+d

思考1：如何运用列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和丫是

否相互独立作出推断？

2_n(ad-bc)1

获得统计量:

(6/+b)(c+d)(a+c)(b+d)

统计学家建议，用随机变量/取值的作为判断零假设"°是否成立的依

据，当它比较大时推断，否则认为“0

思考2：究竟,大到什么程度，可以推断"。不成立呢?或者说，怎样确定判断/

大小的标准呢？

对于任何小概率值。，可以找到相应的实数与,使得下面关系成立：

P(r>xJ=a,我们称％为。的,这个临界值就可作为判断/大小的标准.

结论：基于小概率值a的检验规则

(1)当Z?2%时，我们就推断“°成立，即认为X和丫,该推断犯错误

的概率;

(2)当22c儿时，我们没有充分证据推断“。不成立，可以认为x和y.

这种利用/的取值推断的方法称为/独立性检验，读作

“卡方独立性检验”，简称独立性检验(testofindependence).

下表给出了/独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a

%

典例研讨

题型一独立性检验的理解

例1.在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到

“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且根据小概率值的独立性检验认为这个结论

是成立的.下列说法中正确的是().

B.1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾

题型二2X2列联表

例2.依据小概率值a=0.1的f独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此

推断两校学生得数学成绩优秀率有差异?

学校X数学成绩Y合计

不优秀Y二0优秀丫二1

甲校群0331043

乙校X二138745

合计711788

思考：利用频率比较和独立性检验计算的结论为什么会不同呢?

例3,某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样

的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：拍到接受甲种疗法的惠儿67名，

其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6

名，治愈62名.试依据小概率值a=0.005的独寸性检验，分析乙种疗法的效果

是否比甲种疗法好.

限时训练（15分钟）

1.判断正误.

⑴在独立性检验中，若彳2越大，则两个分类变量有关系的可能性越大.（）

（2）应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确

的.（）

2.a=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.

吸烟肺癌合计

非肺癌者肺癌者

非吸烟者7775427817

吸烟者2099492148

合计9874919965

3几个人，其中男性占调查人数的今已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,

而女性中只有:的人的休闲方式是运动.

⑴完成下列2x2列联表：

性别休闲方式合计

运动非运动

男性