黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

8540 A. B. C. D.双曲线y2x21的渐近线方程为 y

y1

y23

y3甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是1,1，则密码破译的概率是 3

D. 若椭圆C的两个焦点分别是F1(2,0)，F2(2,0)，椭圆C上一点P到两焦点距离之和等于8，则该 xy

xy

xy

xy 已知两直线l1:ax4y10，l2:xay20，若l1//l2，则a A.2或 B. C. D.2或

y

的垂直平分线与交 C

M,点，则ΔAMN的周长是 已知圆C1xyr(r0)与圆Cxm)y1l:xy20被圆C1 长为

2，则实数m的取值范围是

如图1 Ea2b21(a0,b0)F1F2F发出的光线经过图2AB两点反射后，分别经过点CD，且tanBAC4 ABBD，则E的离心率为

604，事件C为“点数大于3，下列说法正确的是 A．A和B是互斥事 B．B和C是相互独立事C．P(BC)

D．P(AC)|PB|PA||PB

2，设点P所构成的曲线为C，则 曲线Cx2y26y1曲线Cxy30的最小距离为曲线CM(xyxy的最大值为曲线CM(xyx2y2的取值范围为[17122,17122上存在点Q使得点QF的距离是点Q到直线l的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线下列结论中正确的是（）P

y2直线lx2y40A(1,1，则|PA||PF|的最大值为P的轨迹与圆Cx2y22x0是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点已知一组样本数据a1,a2,,an的标准差为2，则数据3a11,3a21,,3an1的方差为 直线l:mxy10被圆x2y22x240截得的弦长最短 圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆Ωa2

1(ab及其蒙日圆OΩ的离心率为

2AB,CD分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，ABBC,CD,AD分别与Ω相切于点EF,GH，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积的比值为 四、解答题:57715.（13分从包含3道传统文化题和2道数学历史题的题袋中随机抽取2道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先求甲抽到的2道题中恰好是1道传统文化题和1若甲答对每道题的概率均为0.8，乙答对每道题的概率均为0.7，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于3道的概率.16.（15分某地区有小学生9600人，初中生8600人，高中生4500人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率成绩位列前15%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科已知落在[60,70内的平均成绩为66，方差是9，落在[60,80内的平均成绩是72，方差是27，求落在[70,80内的平均成绩和方差.mxs2nxs2.1 2平均数为w，则总体样本方差s2 m[s2(xw)2] [s2(xw)2mn m 17.（15分x2y24x2my2m22m10(m0)表示圆Cm当圆CA(4,418.（17分 已知椭圆Ca2b21(ab0)F1F2B1B2 ．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分②椭圆C长轴长为4，焦距为2求椭圆CB2作两条互相垂直的弦与椭圆CMN两点.MMN是否过定19.（17分在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l lOEa2b21(a0,b0)F1F2E的离心率为2PEmEPABPPF2xy1为ΔPF1F2的等线E若y 3x是四边形AFBF的等线，求四边形AFBF的面积 设OG1OP，点G的轨迹为曲线Γ，证明:Γ在点Gn为ΔAFF的等线 1【解析】数据排序3,4,6,7,8,9,11,1280.756，第6位与第7位平均数为10yyax【解析】由事件的独立性可知，密码被破译的概率为111)(112 2a8a4c2,b2a2c212【解析】因为l1l2a40,a80a2a4,b23c2F2，则ΔAF1F2AF1F2，有|AM||F1M|,|AN||F1N|,|MN||MF2||NF2|，所以ΔAMN的周长为4a16【解析】圆心C1到l

2r2

2,r2，|C

||m|圆内含或外离，由|m|1或|m|3【解析 由题，设|BF1|4t,|AB|3t,|AF1|5t，由双曲线定|AF||AF|2a,|BF||BF|2at2a|BF|8a|BF|2aRtΔBFF

1(8a)22a)22c)2ec17 P(B)1P(C)1P(BC)1P(B)P(C P(BC42 PAC21，正确 选P(xy)

|PA|PB

x2(yx2(y xx2(yx2(y圆C圆心(0,3)，半径r22，圆心到直线xy30的距离 ，所以圆C上点到直xy30最小距离为

2设txy，则|03t| ，解得7t1，正确(|OC|r)2x2y2(|OC|r)2，|OC|3，r

2，正确(x1)2(x1)2y

P(x,y)y2

PFP

x2y2

(x1)21

x1

) l:x2y40

|PA||PF||PA|4|PF|4|AF|415C:x2y22x0

(1,0)

PC

2a1a2,an的标准差为2，则其方差为4，则3a11,3a21,,3an1的方差为9436【解析】直线lmxy10A(0,1x2y22x240圆心C(1,0),r5,

223x2y2a2b2A,Cxa2为蒙日圆与y轴正、负半轴交点，可知|OA||a2a2则直线AD的方程为ya2 x2y2 y得到(a2b2x22a2a2b2xa40a2ya2 Δ

a2a2

)2

0

a2a2a2a2

a2a2a2a2a2

，所以|EH

a2a2a2a2a2a2EFGHS2a2b22a2易知四边形ABCD为正方形，且|AD ，所以四边形ABCD的面积为S2(a22a2ABCDEFGHS1

2(a2b2

(a2b2 a2

a21a22

a22

a

S1

(a2b2

915.（13分【答案（

B,C

a,b52Ω{AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab}

3M1

P(M)n(M)6

M{Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb}

n(M)6 Di“甲答对i（i1,2

6P(D10.80.220.32P(D20.80.80.64 8Ei“乙答对i（i1,2P(E10.70.320.42P(E20.70.70.49 10N“甲、乙两人答对题目总数不少于3P(N)P(D1E2D2E1D2E2)P(D1E2)P(D2E1)P(D2E2P(D1)P(E2)P(D2)P(E1)P(D2)P(E20.320.490.640.420.640.49所以，甲、乙两人答对题目总数不少于3

1316.（15分【答案（171,75（2）86（3） 3由图可知，众数为75因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75 5（2）前4组的频率之和为0.010.150.150.300.700.85，前5组的频率之和为0.700.250.950.85，第85%分位数落在第5组,设为x，0.70(x80)0.0250.85，解得x86“人工智能科普达人”的成绩至少为86 1060,70)的频率为0.1570,80)的频率为0.30

2依题意有721662x， 2 271[9(66722][s2(7572)2]s29 所以70,80内的平均成绩75 1517.（15分（1）(0,3；（2）x4和5x12y280【解析】（1）由题可知(x2)2ym)232mm2，该方程表示圆，则32mm20m22m30，解得1m3m则实数m的取值范围为 5（2）y32mm2(m1)24m(0,3，m1(0,3)，当m1时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为(x2)2(y1)24 7当切线的斜率不存在时，x4满足题意 9y4k(x4)，即𝑘𝑥−𝑦−4𝑘−4=1k圆心(2,−1)到切线的距离等于半径长，即|2k14k4|2k1ky45(x4，即5x12y280综上所述，所求切线方程为x4和5x12y28 1518.（17分（1）

y

1（2）

ac

a（1）x轴上，且ac3c1，则b23

y

4（2）B2MB2Nxy设直线BM：xty2，联立 xty ，消去x得：(3t24)y212ty0M(x,y

4

26t2 1，则y13t24,x1ty123t2 10N(x,y

，用代

y234t2x2

34t2y3t2

6t2x3t2所以直线MN的方程为 6t2834t23t2 34t23t2y0x

6t28

3t24

6t2 ))3t2

12k3t24

3t2 所以直线MN过定点(2 1719.（17分（1）x2

1；（2）8；（3）见解析（1）P(cbF(c,0),F(c,0)Py1 因为直线y1为ΔPFF的等线，所以 c 2221

(a2

a1,b

4P(xymyyk(xxx2y (3k2)x22k(kxy)x(k2x2y22kxy3)0 0故[2k(kxy)]24(3k2k2x2y22kxy30 0k的一元二次方程(x21)k22xyky230kx0y0

x0

0 y所 x2

(10)1

mx0x01(m y3xABxA

x0

,xB

x0

xB

x0

x0

则过OABP，即OPy

3xy 3 y

22，解得22

3

,1)x2 y

3x

y 3x03x0

y

3x03x0

x0

，所以

x0

所以|

y|4

1|FF||yy| 10

1 设G(xy，由OG1OP 故曲线Γ的方程为9x23y21(x

3x,

3y由（*）n9x0x3y0y1xxy0y1