6.7用相似三角形解决问题（七大题型）（解析版） 分层作业-苏科版九下

6.7用相似三角形解决问题分层练习考察题型一利用平行投影测量物体的高度1．测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为15米（如图），然后在处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长为2.5米，则楼高为A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米【详解】解：，即，楼高（米）．故本题选：．2．如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度为A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米【详解】解：，，，（米），，，解得：米．故本题选：．3．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为．A．2 B．4 C．6 D．8【详解】解：如图，作，树高为，由题意可知：，，，，，，，，即，解得：．故本题选：．考察题型二利用中心投影测量物体的高度1．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为A． B． C． D．【详解】解：如图，，，，设屏幕上的小树高是，由题意可得：，解得：．故本题选：．2．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是A． B． C． D．【详解】解：如图，连接、，由题意可得：，物距为，像距为，，蜡烛火焰倒立的像的高度是，，．故本题选：．3．如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离，求路灯的高度．【详解】解：，，，即，，答：路灯的高度是．4．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．【详解】解：，，，，，，，，，，故路灯的高度为．考察题型三构造“A字型”相似解决问题1．为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为米．A．24 B．30 C．32 D．40【详解】解：，．，米，米，米，，米．故本题选：．2．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），从图2闭合状态到图3打开状态，则点，之间的距离减少了A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，由题意可得：，，，，，点，之间的距离减少了．故本题选：．3．如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高的竹竿直立在离旗杆的点处，然后走到点处，这时目测到旗杆顶部与竹竿顶部恰好在同一直线上，又测得，两点间的距离为，小刚的目高（眼睛到底面的距离）为，则旗杆的高度为A． B． C． D．【详解】解：如图，过作于，交于，设旗杆高，，，，，，由题意可得：，，即，解得：．故本题选：．4．如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面．她沿着连接这两棵树的一条水平直路从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端，此时，她与左边较低的树的水平距离A．小于 B．小于 C．大于 D．大于【详解】解：如图，当小红的眼睛的位置到时，，，共线，，，，△△，，，，，，在前进的过程中，小红发现看不到右边较高的树的顶端，此时，她与左边较低的树的水平距离小于．故本题选：．5．拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．【详解】解：设，则，，，，，，即，同理可得：，，即，，解得，经检验，是原方程的解，，，该古建筑的高度为．6．如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小亮在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合；小亮又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小亮的眼睛离地面高度，量得，，，求电线杆的高度．【详解】解：，，，，△△，，，，，，，即，，，，，，答：电线杆的高度为．7．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．甲乙图例方案如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长（1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？（2）乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．【详解】解：（1）由题意可知：，，，又，，，由题意可知：，，，，，解得：，即小视力表中相应“”的高是；（2）如图，作于点，延长线交于点，由题意可知：，，，，，，，△，，由题意可知：，，，，，，镜长至少为．考察题型四构造“反A型”相似解决问题1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为．A．5 B．6.5 C．7 D．7.5【详解】解：，，在和中，，，，即，解得：，，．故本题选：．2．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．（1）小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？【详解】解：（1），，，，在中，，，由勾股定理得：，，，，，答：古树的高度为13.5米；（2），，△△，，，，，答：小丽向前移动了7米．考察题型五构造“8字型”相似解决问题1．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点，点，之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点，之间的距离为A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米【详解】解：，，，，米．故本题选：．2．金沙江是中国第一大河——长江的上游，早在2000多年前的战国时期成书的《禹贡》中将其称为黑水，随后的《山海经》中称之为绳水．家住长江边的亮亮同学为了估计江水流域的宽度，在江的对岸选定一个目标作为点，在江的这一边选定点和，使，然后再选定点，使，确定与交于点，此时测得，，，则江水流域的宽度是A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，，．故本题选：．3．如图，一壁厚均匀的容器外径为，用一个交叉卡错（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度为A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，某零件的外径为，零件的厚度为：．故本题选：．4．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5．则井深为A．4 B．5 C．6 D．7【详解】解：四边形是正方形，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，．故本题选：．5．如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房的高度为10米，楼房的高度为15米，从处看楼顶处正好通过树顶，而从处看楼顶处也正好通过树顶．求这棵树的高度．【详解】解：，，，，，，米，米，答：这棵树的高度为6米．6．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂与地面平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点在同一直线上，此时小明发现路灯、标杆顶端和地面上另一点也在同一条直线上（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时小明测得长1.5米，路灯的正下方距离路灯主杆底端的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆的高度．【详解】解：如图，过点作于，交于点，，，，，，等于的边上的高，，，，，米，米，，，，即，米，（米），答：路灯主杆的高度为5.4米．考察题型六构造对称型相似解决问题1．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，该同学的身高为，则树高为．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5【详解】解：设树高米，由题意可得：，．故本题选：．2．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下方案：在点处放一面平面镜，从点处后退到点处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部点的像；再将平面镜向后移动放在处（即），从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得眼睛距地面的高度、均为．已知点，，，，在同一水平线上，且，，，求灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计）【详解】解：，，，，，，，设，则，同理可得：，，，，，，，解得，，答：灯柱的高度为．3．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，、之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，点、、、在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计）【详解】解：，，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，，即，解得：，答：凌霄塔的高度为42米．4．为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部沿人行道垂直方向拉一皮卷尺到处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置，使得小明能在镜中看到两灯全貌，其视线如图所示，图中标注字母的点均在同一平面内，、、三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，．（1）灯杆的高度；（2）求长．【详解】解：（1）由题意可得：，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，，；（2）如图，过点作，，，，，，，，，，解得：，，．考察题型七其他1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门步而见木．A．205 B．215 C．305 D．315【详解】解：，，，经过点，，，，，，，里，里，又里，，解得：里，即（步），出南门315步而见木．故本题选：．2．如图，某同学在处看见河对岸有一大树，想测得与的距离，他先从向正西走90米到达的正南方处，再回到向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，、三点恰好在一条直线上，测得米，则与的距离为A．112.5米 B．120米 C．135米 D．150米【详解】解：由题意可得：，，则，，，，，，．故本题选：．1．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米【详解】解：如图，墙壁对应，爸爸拿着的光源对应点，小明的小狗手对应，设米，米，由题意可得：米，米，（米），，，，，，，，解得：，米，，，，，解得：，（米），在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少米．故本题选：．2．图1是一款自动关门器，其示意图如图2所示．固定铁架的宽，支点，分别固定在墙面和铁门上，，，摇臂，连杆，点、、、、在同一平面内．关门器工作时，点绕点转动，摇臂与连