深圳大学师范学院附属中学2025年高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

深圳大学师范学院附属中学2025年高二上数学期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A. B.C. D.2．过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（）A.28 B.C. D.3．是首项和公差均为3的等差数列，如果，则n等于（）A.671 B.672C.673 D.6744．点是正方体的底面内（包括边界）的动点.给出下列三个结论：①满足的点有且只有个；②满足的点有且只有个；③满足平面的点的轨迹是线段.则上述结论正确的个数是（）A. B.C. D.5．设函数，，，则（）A. B.C. D.6．在四面体中，为的中点，为棱上的点，且，则（）A. B.C. D.7．已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（）A. B.1C. D.28．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.19．若两条直线与互相垂直，则的值为（）A.4 B.-4C.1 D.-110．若，则n的值为（）A.7 B.8C.9 D.1011．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>012．抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.4 B.3C.2 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.14．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.15．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的任意一点，点，则的最小值为______.16．将边长为2的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆与直线相切（1）求圆O的标准方程；（2）若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程18．（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明：.19．（12分）已知函数（1）当在处取得极值时，求函数的解析式；（2）当的极大值不小于时，求的取值范围20．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.（1）求椭圆C的方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.21．（12分）已知在公差不为0的等差数列中，，且构成等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）设数列___________，求数列的前项和请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答22．（10分）圆心为的圆经过点,，且圆心在上，（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线交圆于且，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以,因为M，N分别为BC，AD的中点，所以，所以，设直线AM和CN所成的角为，则,所以直线AM和CN夹角的余弦值为，故选：B2、C【解析】根据双曲线方程得，，由双曲线的定义，证出，结合即可算出△的周长【详解】双曲线方程为，，根据双曲线的定义，得，，，，相加可得，，，因此△的周长，故选：C3、D【解析】根据题意，求得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.【详解】因为数列为等差数列，所以，令，解得.故选：D4、C【解析】对于①，根据线线平行的性质可知点即为点，因此可判断①正确；对于②，根据线面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，进而判定②的正误；对于③，根据面面平行可判定平面平面，因此可判断此时一定落在上，由此可判断③的正误.【详解】如图：对于①，在正方体中，,若异于，则过点至少有两条直线和平行，这是不可能的，因此底面内（包括边界）满足的点有且只有个，即为点，故①正确；对于②，正方体中，平面,平面，所以,又，所以，而,平面,故平面,因此和垂直的直线一定落在平面内，由是平面上的动点可知，一定落在上，这样的点有无数多个，故②错误；对于③，,平面,则平面，同理平面,而,所以平面平面，而平面，所以一定落在平面上，由是平面上的动点可知，此时一定落在上，即点的轨迹是线段，故③正确，故选：C.5、A【解析】根据导数得出在的单调性，进而由单调性得出大小关系.【详解】因为，所以在上单调递增.因为，所以，而，所以.因为，且，所以.即.故选：A6、A【解析】利用空间向量加法运算，减法运算，数乘运算即可得到答案.【详解】如图故选：A7、B【解析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值.【详解】，，即联立直线和抛物线方程得设，则解得故选：B8、A【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.9、A【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.【详解】由两直线垂直，可知：，即.故选：A10、D【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为，则由组合数性质有，即，所以n的值为10.故选：D11、B【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故选：B12、C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.14、##【解析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，，所以，故答案为：.15、【解析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可.【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，∴的最小值为.故答案为：.16、【解析】依题意可得圆柱的底面半径、高，再根据圆柱的体积公式计算可得；【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高，所以；故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出.(2)由相关点法即可求出轨迹方程.【小问1详解】已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：【小问2详解】设因为AB的中点是M，则，所以，又因A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得：．线段AB的中点M的轨迹方程为:.18、（1）在上单调递减，在上单调递增（2）证明见解析【解析】（1）当时，利用求得的单调区间.（2）将问题转化为证明，利用导数求得的最小值大于零，从而证得不等式成立.【小问1详解】当时，，且，又与均在上单调递增，所以在上单调递增.当时，单调递减；当时，单调递增综上，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】因为，所以，要证，只需证当时，即可.，易知在上单调递增，又，所以，且，即，当时，单调递减；当时，单调递增，，所以.【点睛】在证明不等式的过程中，直接证明困难时，可考虑证明和两个不等式成立，从而证得成立.19、（1）；（2）.【解析】（1）对函数求导，根据求出m，并验证此时函数在x=1处取得极值，进而求得答案；（2）对函数求导，进而求出函数的单调区间和极大值，然后求出m的范围.【小问1详解】因为，所以.因为在处取得极值，所以，所以，此时，时，，单调递减，时，，单调递增，即在处取得极小值，故.【小问2详解】，令，解得.时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.，即的取值范围是.20、（1）（2）不一定共线，理由见解析【解析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.【小问1详解】由题意得，，设，，代入椭圆C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】当轴时，，设，，则由已知条件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以当时，点M，，N共线；所以当时，点M，，N不共线.所以点M，，N不一定共线.21、（1），（2）答案见解析【解析】（1）设的公差为，根据等比中项的性质得到，即可求，从而求出的通项公式，所以，即可求出等比数列的公比，从而求出的通项公式；（2）若选①：则，利用裂项相消法求和即可；若选②：则，根据等比数列求和公式计算可得；若选③：则利用分组求和法求和即可；【小问1详解】解：设的公差为，成等比数列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小问2详解】解：若选①：则，；若选②：则，；若选③：则，.22、（1）；（2）或.【解析】（1）求出线段的垂直平分线方程，求出此直线与已知直线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆的标准方程；（2）检验直线斜率不存在时是否满足题意，在斜率存在时设方程为,求得圆心到直线的距离