（人教2024版）数学八上压轴题训练《三角形双角平分线和高线模型综合》（含解析）

专题03三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型目录典例详解类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型压轴专练典例详解类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型1)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P1结论：∠P=90证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P,∠PBC=12∴∠P=180∘2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1条件:如图2,BP、CP平分.∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D,答案证明:∵BP、CP平分∠ABC、∠1DCB,∴∠PBC=12∴∠P=180∘-∠PBC+∠PCB=183)凸多边形双内角平分线的夹角模型2条件:如图3,CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180∘证明:∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE,∴∠PCD=12∴∠P=180∘-(∠PCD+∠PDC=180∘-例1.如图,在VABC中,∠C=90∘,AD与BE是VABC的两条角平分线,AD与BE交于点O,求∠AOB【答案】135∘【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠ABC=90∘,由角平分线的定义求出∠CAD=∠BAD=12∠BAC,∠CBE=∠ABE=1【详解】解:②在VABC中,∠C=90∘∠BAC+∠ABC=90∘AD,BE是△ABC的两条角平分线，∠CAD=∠BAD=12∠BAD+∠ABE=12∠AOB=180∘【变式1-1】VABC的两条角平分线BI、CI相交于点I.(1)如图1:①若∠BAC=80°,求∠BIC的度数;②若∠BAC=β,直接写出∠BIC=°(用含β的式子表示);(2)如图2,连接AI,AI平分∠BAC,作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E.你发现与∠BIC一定相等的角有；与∠DIB一定相等的角有.【答案】答案(1)①130°; ②90∘(2)∠BDI,∠CEI;∠BCI,∠ACI【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理。(1)①先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°,然后根据角平分线的定义求出∠CBI=12∠ABC,∠BCI=12∠ACB,②先求出∠ABC+∠ACB=180°-β,然后根据角平分线的定义求出∠CBI=12∠ABC,∠BCI=12∠ACB,求(2)根据角平分线定义得出∠DAI=∠EAI=12∠BAC,根据垂线定义得出∠AID=∠AIE=90°,根据解析(1)得出∠BIC=90∘+12∠BAC,根据三角形外角性质得出∠BDI=∠AID+∠DAI=90【详解】(1)解:①②∠BAC=80°,☑∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°,②BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∠CBI=12∠CBI+∠BCI=12B∠BIC=180°-(∠CBI+∠BCI)=130°;②②∠BAC=β,B∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-β,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∠CBI=12∠CBI+∠BCI=12②∠BIC=180°-(∠CBI+∠BCI)=180∘=90∘(2)解:AI平分∠BAC,∠DAI=∠EAI=12BAI⊥DE,B∠AID=∠AIE=90°,根据解析(1)可知，∠BIC=90∘根据三角形外角的性质可知：∠BDI=∠AID+∠DAI=90∘∠CEI=∠AIE+∠EAI=90∘②∠BDI=∠CEI=∠BIC;根据解析(1)可知，∠AIB=90∘CI平分∠ACB,∠BCI=∠ACI=12☑∠AIB=∠DIB+∠AID=∠DIB+90°,∠DIB=12【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于180∘,又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的如图①，在△ABC中,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线.解决问题：(1)若∠ABC=40∘,∠ACB=80∘,(2)若∠BAC=100∘,求出∠BPC拓展延伸:(3)如图②,在四边形ABCD中,BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系.【答案】1120【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；(2)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数：(3)根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系.【详解】(1)解:∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40∘∴∠PBC=12∴∠BPC=180∘-∠PBC-∠PCB=180∘(2)∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠PBC=12∴∠BPC=180∘∵∠BAC=100∘(3)∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，∴∠PBC=12∠BPC=180∘-∠PBC-∠PCB=18【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键.【变式1-3】“如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点D,求∠ADB的度数.“小白在解决这个问题的过程中，发现当∠BAC取不同的数值时，∠ADB的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究.【项目模型】如图②，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在射线OP上运动(点A不与点O重合)，点B在射线OM上运动(点B不与点O重合).连接AB,∠BAO和∠ABO的平分线交于点E,探究∠AEB与∠AOB的数量关系.【特例发现】如图②,当∠AOB=100°时,∠AEB=度;当∠AOB=70°时,∠AEB=度.【规律探索】如图②，当∠AOB度数为α时，用含α的代数式表示∠AEB的大小，并写出推导过程.【拓展应用】如图③,当∠AOB=90°时,∠PAB和∠MBA的平分线交于点F,∠FAB和∠FBA的角平分线交于点E.在点A和点B的运动过程中，当△ABE的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出∠BAO的度数.【答案】特例发现:140:125;规律探索: ∠AEB=90∘+1【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.特例发现：先由三角形内角和定理得到∠ABO+∠BAO的度数，再由角平分线的定义得到∠EAB=12∠BAO,∠EBA=规律探索：同特例发现中的方法求解即可；拓展应用:由三角形内角和定理可得∠ABO+∠BAO=90°,则由平角的定义可得∠PAB+∠MBA=270°,再由角平分线的定义得到∠FAB+∠FBA=135°，则由三角形内角和定理可得∠F=45°，则由规律探索的结论可得∠E=112.5°;再分∠E=3∠EAB,∠E=3∠EBA,∠EAB=3∠EBA和∠EBA=3∠EAB,四种情况根据三角形内角和定理求出∠EAB的度数，进而根据角平分线的定义求出∠PAB的度数即可得到答案.【详解】解:特例发现:当∠AOB=100°时,B∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,☑∠ABO+∠BAO=80°,B∠BAO和∠ABO的平分线交于点E,∠EAB=12∠EAB+∠EBA=12B∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=140°;当∠AOB=70°时,B∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,H∠ABO+∠BAO=110°,☑∠BAO和∠ABO的平分线交于点E,∠EAB=12∠EAB+∠EBA=12B∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=125°;规律探索：∠AEB=90∘+☑∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠AOB=α,H∠ABO+∠BAO=180°-α,☑∠BAO和∠ABO的平分线交于点E,∠EAB=12∠EAB+∠EBA=12∠AEB=180∘拓展应用:H∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠AOB=90°,☑∠ABO+∠BAO=90°,☑∠PAB=180°-∠BAO,∠MBA=180°-∠ABO,B∠PAB+∠MBA=180°-∠BAO+180°-∠ABO=270°,②∠PAB和∠MBA的平分线交于点F,∠FAB=12∠FAB+∠FBA=12☑∠F=180°-∠FAB-∠FBA=45°,②∠FAB和∠FBA的角平分线交于点E,∠E=90∘当∠E=3∠EAB时,则∠EAB=37.5°,R∠FAB=2∠EAB=75°,☑∠PAB=2∠FAB=150°,☑∠BAO=180°-∠PAB=30°;当∠E=3∠EBA时,则∠EBA=37.5°,☑∠EAB=180°-∠E-∠EBA=30°,①∠FAB=2∠EAB=60°,①∠PAB=2∠FAB=120°,☑∠BAO=180°-∠PAB=60°;当∠EAB=3∠EBA时,B∠EAB+∠EBA+∠E=180°,∠EAB+13☑∠EAB=50.625°,☑∠FAB=2∠EAB=101.25°,☑∠PAB=2∠FAB=202.5°,不符合题意;当∠EBA=3∠EAB时,Ⅲ∠EAB+∠EBA+∠E=180°,B∠EAB+3∠EAB+112.5=180°,☑∠EAB=16.875°,B∠FAB=2∠EAB=33.75°,B∠PAB=2∠FAB=67.5°,☑∠BAO=180°-∠PAB=112.5°,不符合题意;综上所述,∠BAO的度数为30°或60°.类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型1)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P:结论：∠P=12证明:∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD,∴∠PBC=12∴∠P=∠PCD-∠PBC=122)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图2，∠A=α,∠ABC,∠ACD的平分线相交于点P1,∠P1BC,∠P1CD的平分线相交于点P2,∠P2BC,证明:∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD,∴∠PBC=12∴∠P1=∠P1例2.如图,在VABC中,∠A=36∘,BE、CE分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，点D在BC的延长线上，则【答案】18∘【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在BC的延长线上，得到∠ACD=∠ABC+∠A,由角平分线的定义可得∠CBE=12∠ABC,∠DCE=1【详解】解：点D在BC的延长线上，∴∠ACD是VABC的一个外角,∴∠ACD=∠ABC+∠A,∵∠A=36°,BE、CE分别是∠ABC与∠ACD的角平分线,∴∠CBE=12∵∠DCE=∠CBE+∠E,∴∠E=∠DCE-∠CBE=12故答案为:18°.【变式2-1】问题情境:如图1,点D是△ABC外的一点,点E在BC边的延长线上,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE.试探究∠D与∠A的数量关系.(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=；这两个图中，与∠A度数的比是；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立?若成立，利用图1证明你的结论：若不成立，说明理由.【答案】(1)30°:50°:1:2(2)成立,见解析【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,然后整理即可.(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,然后整理即可.【详解】答案(1)解:如图2,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∠ACE=120°,QBD平分∠ABC,CD平分∠ACE.∴∠DBC=30°,∠DCE=60°,∵∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D=30°;如图3,∵△ABC是等腰三角形,∠A=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∠ACE=140°,QBD平分∠ABC,CD平分∠ACE,∴∠DBC=20°,∠DCE=70°,∵∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D=50°;故答案为30°,50°,1:2;(2)解:成立,如图1,在△ABC中,∠ACE=∠A+∠ABC,在△DBC中,∠DCE=∠D+∠DBC,⋯(1)∵CD平分∠ACE,BD平分∠ABC,∴∠ACE=2∠DCE,∠ABC=2∠DBC,又∵∠ACE=∠A+∠ABC,∴2∠DCE=∠A+2∠DBC,⋯(2)由(1)×2-(2),∴2∠D+2∠DBC=(∠A+2∠DBC)=0,∴∠A=2∠D.【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键.【变式2-2】特例感知(1)如图1,BP是∠ABC的平分线,CP是△ABC外角的角平分线.①若∠A=50°,则∠P=;②判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由.类比迁移(2)如图2,∠A₀CD是△A0BC的外角，∠A0BC的平分线与∠A₂CD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点.A2,L,∠An-1BC拓展应用(3)如图3,在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三等分线与∠ACD的三等分线交于点P.若∠A=α,∠B=βαβ),请直接写出∠P【答案】答案(1)①25°;∠P=12∠A;(2)a22+;323α或23α+1【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理；(1)根据角平分线的定义得出∠DCP=12∠ACD,∠PBC=12∠ABC,根据三角形的外角的性质可得(2)根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1+∠AIBC,，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC,∠A1cD=1(3)分情况讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；【详解】解：CP平分∠ACD,∠DCP=12☑BP平分∠ABC∠PBC=12∠ACD=∠A+∠ABC∠A=∠ACD-∠ABC=2∠DCP-∠PBC又⑰∠PCD=∠PBC+∠P∠P=∠PCD-∠PBC=12当∠A=50∘时，∠P=2故答案为：25∘②∠P=12理由如下，BCP平分∠ACD,∠DCP=12BP平分∠ABC∠PBC=12∠ACD=∠A+∠ABC∠A=∠ACD-∠ABC=2∠DCP-∠PBC²又图∠PCD=∠PBC+∠P∠P=∠PCD-∠PBC=122∵∠ACD是VABC的外角,∠A1CD是∴∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∴∠A1∴∠A1同理可得∠A2∵∠A0∴∠A2同理：∠A3∠A4-----∴∠An故答案为： a2n(3)如图所示，∠A=α,∠B=βαβ)²∠ACD=α+β∠ABC的三等分线与∠ACD的三等分线交于点P∠DBP1∠BP1∠DBP2∠BP2∠DBP3∠BP3∠DBP4∠BP4综上所述，23α或23α+13β或类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型1)两外角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC中,BO,CO是△ABC的外角平分线：结论：∠O=90∘证明:∵BO、CO平分∠CB、∠BCF,∴∠OBC=12∴∠O=180∘-∠OBC+∠OCB2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D;结论:AD平分∠CAD。证明：如图3，过点D作DM⟂BA、DN⟂AC、DH⟂BC,∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM,DH=DN,∴DM=DN,∴AD平分∠CAD,例3.如图，已知△ABC,∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC的外角角平分线与∠ACB的外角角平分线交于点E，则.∠A-∠D+∠E=_.【答案】90°/90度【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质【分析】该题主要考查了∠ABC角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意.根据角平分线得出∠1=∠2,∠3=∠4=∠7=∠8,∠5=∠6,根据三角形外角的性质即可得∠A=2∠4=2∠2,∠D=∠4-∠2,再根据内角和定理得出∠D+∠E=90°,即可求解.【详解】解：②∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC的外角角平分线与∠ACB的外角角平分线交于点E，☑∠1=∠2,∠3=∠4=∠7=∠8,∠5=∠6,B∠3+∠4=∠1+∠2+∠A,∠4=∠D+∠2,☑2∠4=2∠2+∠AH∠A=2∠4-2∠2,∠D=∠4-∠2,☑∠1+∠2+∠5+∠6=180°,∠2+∠6+∠D+∠E=180°,☑∠2+∠6=90°,☑∠D+∠E=90°,②∠A-∠D+∠E=2∠4-2∠2=(∠4-∠2)+[90°=(∠4-∠2)]=90°故答案为:90°.【变式3-1】如图,在VABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的角平分线.(1)若∠A=30°,则∠BDC=°,∠BPC=°;(2)当∠A变化时，∠D+∠P的值是否变化?请说明理由.【答案】答案(1)105°,75°(2)不变，见解析【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识，熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，邻补角是解题的关键.(1)由题意得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°,则.∠CBD+∠BCD=12∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=105°,∠CBE+∠BCF=180°-∠ABC+180°-∠ACB=210°,∠PBC+∠PCB=12(2)同理(1),∠ABC+∠ACB=180°-∠A,则∠CBD+∠BCD=90∘∠D=180∘-∠CBD+∠BCD=90∘+12∠A,∠CBE+∠BCF=18【详解】(1)解:BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的角平分线,∠ABD=∠CBD=12∠PCB=∠PCF=12☑∠A=30°,D∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°,∠CBD+∠BCD=12∠BDC=180∘∠CBE+∠BCF=180∘∠PBC+∠PCB=12∠BPC=180∘故答案为：105∘(2)解:当∠A变化时，∠D+∠P的值不变，理由如下：同理(1),∠ABD=∠CBD=12∠ABC,∠ACD=∠BCD=1∠ABC+∠ACB=180∘∠CBD+∠BCD=12∠D=180∘∠CBE+∠BCF=180∘-∠ABC+180∠PBC+∠PCB=12∠P=180∘∠D+∠P=90∘0当∠A变化时，∠D+∠P的值不变。【变式3-2]如图①,在VABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)若∠A=60°,则∠BPC的度数是;(2)如图②,作VABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系.(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，试探索∠E，∠A之间的数量关系.【答案】(1)120°2∠Q=903∠E=1【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识.(1)先求出∠ABC+∠ACB=120°,进而求出∠PBC+∠PCB=60°,即可求出∠BPC=120°;(2)先求出∠MBC+∠NCB=180°+∠A,进而求出∠QBC+∠QCB=90∘+12(3)延长BC至点F，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明∠E=12【详解】(1)解:因∠A=60°,∅∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°,☑∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,∠PBC=12∠PBC+∠PCB=12B∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=120°.故答案为：120∘(2)解:∵∠MBC=∠ACB+∠A,∠NCB=∠ABC+∠A,∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A,∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∴∠QBC+∠QCB=12∴∠Q=180∘(3)解:如图③,延长BC至点F,QCQ为VABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是VABC的外角∠ACF的角平分线，∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E即∠E=12类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型1)条件：如图1，在△ABC中,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论：∠DAE=122)条件:如图2,F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D，结论：FD⟂BC∠DFA=121)答案证明:∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=12∵∠BAC=180∘∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90∘2)证明：如图，过A作AAG⟂BC于G,由(2)可知:∠EAG=12∵AG⊥BC,∠AGB=90°,∵FD⊥BC,∴∠FDC=90°,∴∠AGD=∠FDC,∴FD∥AG,∴∠AFD=∠EAG,∴∠AFD=12例4.在VABC中, ∠A=40∘,∠C=60(1)如图1,若BE是VABC的高,则∠DBE的度数为.(2)如图2,若BF是△ABD的角平分线，G是BF延长线上一点，过点G作(GH⟂AC于点H，则∠G的度数为.【答案】 10∘/10度 3【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出∠BAE是解本题的关键。(1)首先根据三角形内角和定理得到∠ABC=180∘-∠A-∠C=80∘,然后由角平分线概念得到∠ABD=∠CBD=(2)首先由角平分线的概念得到∠ABF=12∠ABD=20∘,【详解】解:②在VABC中,∠A=40∘∠ABC=180∘BD是VABC的角平分线,∠ABD=∠CBD=12∠BDE=∠A+∠ABD=80°,BE是VABC的高,☑∠BED=90°①∠DBE=180°-∠BED-∠BDE=10°;(2)BF是△ABD的角平分线∠ABF=12☑∠BFD=∠A+∠ABF=60°B∠HFG=∠BFD=60°GH⊥ACH∠GHF=90°☑∠G=180°-∠GHF-∠HFG=30°.故答案为:10°;30°.【变式4-1】在VABC中,AE是边BC上的高.(1)如图1,若AD是边BC上的中线,S△ABC=7.5cm(2)如图2,若AD是VABC的角平分线,∠C=66°,∠B=38°时,求∠DAE的度数.【答案】(1)1.7cm(2)14°【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度【分析】本题考查三角形的三线，三角形的面积公式，三角形的内角和定理：(1)三角形的面积求出BC的长，中线求出CD的长，线段的和差关系求出CE的长即可；(2)三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，∠CAE的度数，角平分线求出∠CAD的度数，利用角的和差关系即可求出∠DAE的度数.答案【详解】(1)解:因AE是边BC上的高,S△ABC=☑AE=3cm,☑BC=5cm,AD是边BC上的中线，CD=12CE=CD-DE=1.7cm;(2)B∠C=66°,∠B=38°,☑∠BAC=180°-∠C-∠B=76°,BAD是VABC的角平分线,∠CAD=12☑AE是边BC上的高,H∠CAE=90°-∠C=24°,B∠DAE=∠CAD-∠CAE=14°.【变式4-2】已知:在VABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC交BC于点E.(1)如图①,AD⊥BC于点D,若∠C=60°,∠B=30°,求∠DAE的度数;(2)如图①,AD⊥BC于点D,若∠B=α,∠C=β,求∠DAE的度数(用含α,β的式子表示):(3)如图②,在VABC中,AD⊥BC于点D,F是AE上的任意一点(不与点A,E重合),过点F作FG⊥BC于点G,且∠B=30°,∠C=80°,请你运用(2)中的结论求出∠EFG的度数;(4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上(如图③)，其他条件不变，则∠EFG的度数会发生改变吗?说明理由.【答案】1∠DAE=15∘【分析】(1)首先根据三角形内角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C，再结合角平分线的定义可知∠BAE=∠CAE=12∠BAC=90∘-1(3)结合∠DAE=12∠C-∠B,(4)证明FG∥AD,由“两直线平行,内错角相等”可得∠EFG=∠EAD,即可获得答案.【详解】(1)解:∵在VABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=12∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C,∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=90∘当∠C=60°,∠B=30°时,∠DAE=(60°-30°)=15°;(2)由(1)可知,∠DAE=12∠C-∠B,∴当∠B=α,∠C=β时,3∵∠DAE=12∠C-∠B,而(4)∠EFG的度数大小不发生改变.理由如下：∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴FG∥AD,∴∠EFG=∠EAD=25°.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.压轴专练一、单选题1.如图, AC‖BE, AP、BP分别是∠CAB、∠ABE的角平分线,则∠P=()A.60° B.80° C.90° D.100°【答案】答案C【分析】首先根据平行线的性质得到∠CAB+∠ABE=180°，根据根据角平分线的概念得到∠BAP=12∠CAB,∠ABP=【详解】AC‖BE②∠CAB+∠ABE=180°②AP、BP分别是∠CAB、∠ABE的角平分线∠BAP=12∠BAP+∠ABP=12H∠P=180°-(∠BAP+∠ABP)=90°.故选:C.【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点.2.如图,在VABC中,∠ABC=∠ACB,∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P;若∠ACB=65°,则∠BPC的度数为()A.25° B.50° C.65° D.70°【答案】答案A【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到∠PBC=12∠ABC,∠ACP=∠DCP=【详解】解：如图，∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P，∴∠PBC=12∵∠ABC=∠ACB,∴∠PBC=12∵∠DCP是△BCP的外角,∴∠BPC=∠DCP-∠PBC=57.5°-32.5°=25°,故选:A.3.如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则.∠P的度数为()A.15° B.20° C.25° D.30°【答案】B【分析】延长DC，交AB于点E，先利用三角形的外角性质可得∠ACD-∠ABD=60°，再根据角平分线的定义可得∠ABP=12∠ABD,∠ACP=1【详解】解:如图,延长DC,交AB于点E.B∠ACD是△ACE的外角,∠A=50°,B∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC.①∠AEC是VBDE的外角,∠D=10°,答案☑∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°,☑∠ACD=50°+∠ABD+10°=60°+∠ABD,∴∠ACD=∠ABD=60°.B∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,∴∠ABP=12设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC,∵∠P+∠ACP+∠POC=180°=∠A+∠ABP+∠AOB,∴∠P=∠A+∠ABP-∠ACP=50∘=50∘=50∘=20°,故选:B.【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键.4.如图,已知AB∥CD,点E为AB上方一点,FB、HG分别为∠EFG,∠EHD的角平分线,若∠E+2∠G=135°,则∠EFG的度数为()A.85° B.90° C.95° D.100°【答案】答案B【分析】如图,过G作GM∥AB,根据平行线的性质可推导出∠FGH=∠2+∠4,∠ENB=∠EHD,再根据角平分线的定义和三角形的外角性质推导出∠E+2∠2+∠2=∠E=135°，则∠2=45°，进而求解即可.【详解】解:如图,过G作GM∥AB,则∠2=∠5,AB∥CD,MG∥CD,∠ENB=∠EHD,2∠6=∠4,B∠FGH=∠5+∠6=∠2+∠4,BFB、HG分别为∠EFG,∠EHD的角平分线,∠1=∠2=12B∠E+2∠FGH=135°,B∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+∠EHD=135°,即∠E+2∠2+∠ENB=135°,①∠1=∠ENB+∠E,D∠ENB=∠1-∠E=∠2-∠E,D∠E+2∠2+∠2-∠E=135°,则∠2=45°,B∠EFG=2∠2=90°,故选:B.【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质等知识，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键。5.如图,在VABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D,且∠EBC=25∠ABC,∠ECB=A.5?E4?D180? B.5?D4?E180?C.5?E4?D90? D.5?D4?E90?【答案】A【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得∠D=90∘+12∠A,再由∠EBC=25∠ABC,∠ECB=2【详解】解:QBD、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠ACB∴∠DBC=12∴∠DBC+∠DCB=12∴∠D=180∘∵∠EBC=25\?EBC?ECB25\?E180?(?EBC?ECB)=3580+2∵?D90?12\?A22D180?,λ?E3580+252?D180?1整理得:5?E4?D180?.故选:D.二、填空题6.如图,点P是VABC的外角∠CBE和∠BCF的角平分线的交点,若∠A=58°,则.∠P=_【答案】61∘/61【分析】根据三角形内角和公式可得∠ACB+∠ABC=122°，再根据角平分线定义可得∠PBC+∠PCB=12∠EBC+∠FCB【详解】∵∠A=58°,又∠ACB+∠A+∠ABC=180°,∴∠ACB+∠ABC=180°-58°=122°,∴∠EBC+∠FCB=360°-(∠ACB+∠ABC)=238°,又BP,CP分别是外角∠CBE和∠BCF的角平分线,∴∠PBC+∠PCB=12∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=61°;故答案为:61°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件.7.如图,OC是VABC的角平分线,P是线段AB延长线上一点,PQ⊥OC于点Q,当∠ABC-∠BAC=42°时,∠APQ的度数为【答案】21【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可.【详解】解:设∠BAC=x°,则∠ABC=(x+42)°,∴∠ACB=180°-x°-(x+42)°=(138-2x)°,∵OC平分∠ACB,∴∠ACO=12∴∠POQ=∠A+∠ACO=69°,∵PQ⊥OC,∴∠PQO=90°,∴∠APQ=90°-69°=21°,故答案为：21.【点睛】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义是解题的关键.8.如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P，且2∠C+72°=∠P,则∠C=_。【答案】答案12【分析】延长KP交AB于点Q，令BC与PK相交于点F，由平行线的性质和角平分线的定义，得出∠ABP=∠DBP,∠BQK=∠EDK=∠CDK,再利用三角形外角的性质,推出∠BPF=∠C+(180°-∠BPF),进而得到∠BPF=12∠C+9【详解】解：如图，延长KP交AB于点Q，令BC与PK相交于点F，∵AB∥DE,∴∠BQK=∠EDK,∵BP平分∠ABC,DK平分∠CDE,∴∠ABP=∠DBP,∠EDK=∠CDK,∴∠BQK=∠EDK=∠CDK,∵∠BPF是VBPQ的外角,∠CDK是VCDF的外角.∴∠BPF=∠PBQ+∠BQK,∠CDK=∠C+∠CFK,∴∠BPF=∠PBD+∠C+∠CFK=∠PBD+∠C+∠BFP=∠C+(180°-∠BPF),∴∠BPF=12∵2∠C+72∘∴12∴∠C=12∘故答案为：12【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键.9.如图,在VABC中,延长BC到D,∠ABC、∠ACD的角平分线相交于点A1点.∠A1BC与∠A1CD的外角平分线交于点A2,∠A2BC与∠A2CD的外角平分线交于点A3,依次类推，【答案】m2n【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识，根据三角形外角的性质得到∠A=∠ACD-∠ABC,∠A1=∠A1CD-∠A1BC,由角平分线的性质得到∠【详解】解：∠ACD是VABC的外角,∠A=∠ACD-∠ABC,∠A1CD1是△∠A1BA1平分∠ABC,CA1平分∠A1∠A1同理可得：∠A2----∠An故答案为：m2n10.如图,在VABC中,∠A=20∘,∠EBC,∠DCB为VABC的外角,∠EBC与∠DCB的平分线交于点A₁，∠EBA1与∠DCA1的平分线交于点A21∠A1的度数为(2)若得到点An后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为.【答案】 80∘ 答案3【分析】(1)根据三角形内角和为180∘,可以得到∠1+∠2=180∘-20∘=16(2)根据A2B,A2C是角平分线，可以得到∠5+∠6=100÷2=50∘,进而可以求得∠A【详解】解：(1)由图可得：B∠A=20°,☑∠1+∠2=180°-20°=160°,②∠EBC+∠DCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-160°=200°,②A₁B,A₁C是角平分线,2∠3+∠4=200÷2=100°,②∠A₁=180°-100°=80°;(2)图A2B,AB∠5+∠6=100÷2=50°,∅∠A₂BC+∠A₂CB=100°+50°=150°,∠A2同理可得∠7+∠8=50÷2=25°,∠A3则∠A3此时若再作出∠A4,则可类比上述过程得到∠A,BC+∠A,CB=175°+12.5°=187.5°,无法组成三角形,故n=3;故答案为:80°;3.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，找到各个角度之间的关系是解题的关键.三、解答题11.如图,在VABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠C=70°.(1)∠AOB的度数为.(2)若∠ABC=50°,求∠DAE的度数.【答案】答案(1)125°(2)10°【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键.(1)先由三角形内角和为180度求出∠CBA+∠CAB=110°,再由角平分线的定义推出∠OBA+∠OAB=55°,则由三角形内角和定理可得∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°.(2)先求出∠BAC=60°，再由角平分线的定义得到∠CAE=12∠BAC=30【详解】(1)解:☑在VABC中,∠C=70°,B∠CBA+∠CAB=180°-∠C=110°,圆AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠OBA=12∠OBA+∠OAB=12∅∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°,故答案为：125∘(2)解:☑在VABC中,∠C=70°,∠ABC=50°,②∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°,☑AE平分∠BAC,∠CAE=12AD是高,即AD⊥BC,②∠DAC=90°-∠C=20°,B∠DAE=∠CAE-∠DAC=10°.12.如图,在VABC中,AD是VABC的角平分线,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.(1)若∠B=30°,∠ACB=80°,求∠E的度数;(2)当P点在线段AD上运动时，若∠E是锐角，请对∠E=12∠ACB-∠B【答案】(1)∠E=25°(2)见解析【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.(1)根据三角形的内角和定理得到∠BAC=70°，然后根据角平分线的定义得到∠DAC=35°，然后利用直角三角形的两锐角互余解题：(2)设∠B=π°,∠ACB=m°,根据角平分线和三角形的内角和得到∠CAB=(180-n-m)°,然后再利用直角三角形的两锐角互余解题即可.【详解】(1)☑∠B=30°,∠ACB=80°,☑∠BAC=70°,☑AD平分∠BAC,B∠DAC=35°,B∠ADC=65°,PE⊥AD☑∠E=25°;(2)设∠B=n°,∠ACB=m°,BAD平分∠BAC,∠1=∠2=12∠B+∠ACB+∠BAC=180∘∠B=n∘∠CAB=180-n-m∘∠1=12∠3=∠B+∠1=n∘PE⟂AD,∠DPE=90∘∠E=90∘13.如图①,在VABC中,∠ABC与∠∠ACB的平分线相交于点P.(1)若∠A=60∘,则∠BPC的度数是(2)如图②,作VABC外角.∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q,∠A之间的数量关系；(3)如图③,延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数是.【答案】11202∠Q=90∘360∘或120∘或4【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义.(1)根据角平分线定义及三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB=∠BPC=180∘-(2)由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得∠MBC+∠NCB=180°+∠A，再由角平分线定义得∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB=9(3)先求出∠EBQ=90°,根据∠Q=90∘-12∠A得【详解】(1)解:在VABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,∴∠PBC=12∴∠PBC+∠PCB=12∴∠BPC=180∘∵∠A=60°,∴∠BPC=90∘故答案为：120∘(2)解:∠Q,∠A之间的数量关系是:∠Q=90∘-∵∠MBC=∠ACB+∠A,∠NCB=∠ABC+∠A,∠ACB+∠A+∠ABC=180°,∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A,∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∴∠QBC+∠QCB=12∴∠Q=180∘故∠Q，∠A之间的数量关系是：∠Q=90∘(3)解:∵PB平分∠ABC,BQ平分∠MBC,∠ABC+∠MBC=180°,∵∠PBC=12∴∠PBC+∠QBC=12即∠EBQ=90°,∴∠E+∠Q=90°,由(2)可知:∠Q=90∘∴∠E+90∘∴∠E=12如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：①当∠EBQ=3∠E时,则3∠E=90°,∴∠E=30°,此时∠A=2∠E=60°,②当∠EBQ=