【数】平均数与方差课件2025-2026学年+北师大版（2024）八年级数学上册

第六章数据的分析6.1平均数与方差第六章数据的分析6.1.1众数、算术平均数1.掌握众数和算术平均数的概念；2.会求一组数据的众数和算术平均数并解决实际问题。情境：2025

年北京马拉松于

2025

年

11

月

2

日鸣枪开跑，赛事主题为“人民的马拉松”，比赛路线全长

42.195

公里。假设小明要去参加比赛，根据以下数据，判断他能否在5小时内完成比赛。问题1：假设小明要去参加比赛，根据以下数据，回答问题。（1）观察统计图，小明的哪个成绩出现次数最多?（2）如果按照小明的平均水平，他能否在5小时内完成比赛。（1）小明的成绩中4小时出现的次数最多；（2）小明的平均水平如下：(3.5×15+4×16+5×12+6×8)÷51=224.5÷51≈4.40（小时）；所以，按照小明的平均水平，他能在5小时内完成比赛。众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。例如，甲射击成绩的众数是8环，丁射击成绩的众数是6环和10环。平均数：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。问题2：一组数据的平均数一定在这组数据中吗?不一定，如图；小明的成绩的平均数为

4.40（小时），但实际成绩中没有4.4这个数据。思考：如果小明又跑了一次马拉松比赛，但因意外未完成比赛，成绩为

0，那么这时小明的平均成绩会发生什么变化?小明又跑了一次后的平均成绩为：(3.5×15+4×16+5×12+6×8+0)÷52=224.5÷52≈4.32（小时），平均成绩比原来变小了。问题3：在某些比赛评分时，常常去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均成绩，你能说说这样做的好处吗?可以避免极端值对平均成绩的影响，使成绩更能反映选手的真实水平。问题4：某店铺一种商品

10

天的销售量及顾客对店铺的评分如图1

和图

2

所示。(1)请你计算这种商品

10

天的平均销售量。(2)顾客对店铺评分的众数是多少?顾客对店铺评分的平均数呢?

解：(1)这种商品

10

天的平均销售量为：(121＋138＋156＋148＋152＋141＋128＋130＋125＋122)÷10=136.1（件）所以平均销量为

136.1

件。(2)顾客对店铺评分的众数是

5

分；顾客对店铺评分的平均数是

4.732

分。

条形统计图折线统计图扇形统计图图象众数平均数从统计图中获取众数、平均数对应的直条高度最高的数据数据点出现的频率最高的圆心角最大的扇形所对应的数据值每个类别对应的数值相加求总和，再除以数据的个数折线上各点对应的数值相加求总和，再除以数据点的个数每个数值乘以它对应的比例，然后将这些乘积相加一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数众数、算术平均数一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”第六章数据的分析6.1.2加权平均数1.理解数据的权和加权平均数的概念，体会权的作用.2.明确加权平均数与算术平均数的关系，掌握加权平均数的计算方法.问题1：什么叫算术平均数？叫做这

n个数的算术平均数，简称“平均数”，记作

x；问题2：算术平均数的意义是什么？算术平均数的意义是反映一组数据的平均水平.对于

n个数据

x1，x2，x3，…，xn，则问题3：小红和小惠结伴去买菜，三次购买的西红柿价格和数量如下表所示：单价/（元/千克）432合计小红购买的数量/kg1236小惠购买的数量/kg2223计算两人购买的平均价格，说说谁买的西红柿要便宜一些？提示：小红购买不同单价的西红柿的数量不同，所以平均价格不是三个单价的平均数；实际上，平均价格是总花费金额与购买总量的比.从平均价格看，小红买的西红柿要便宜些.

解：如上题中：4的权3的权2的权权的和

一般地，已知

n个数x1，x2，…，xn，若w1，w2，…，wn为一组正数，则把

叫做这

n个数的加权平均数，w1，w2，…，wn分别叫做这

n个数的权重，简称权.权的意义：各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.问题4：试着说说算术平均数与加权平均数的区别和联系？2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；例1：某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼，规定体育科目学期成绩满分100分，其中平时表现（早操、课外体育活动）、期中考试和期末考试成绩按比例3:2:5计入学期总成绩.甲、乙两同学的各项成绩如下：请分别计算甲、乙的学期总成绩.思考：本题中权是以什么形式出现？比例当中的项甲的学期总成绩为乙的学期总成绩为学生平时表现/分期中考试/分期末考试/分甲959085乙809588我们尝试用另一种方法来解决问题；比值（百分数）总结：显然，此时20％、30％、50％是权，一般情况下，当权为比值（百分数）时，权的和为1；则在用加权平均数计算时，除以权的和可以省略.分析：由于3+2+5=10，∴

平时表现、期中成绩、期末成绩分别占总成绩的甲的学期总成绩为乙的学期总成绩为思考：此时权是以什么形式出现？88.81.某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试成绩分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为

分.2.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）.解：这个跳水队运动员的平均年龄为

（岁）.

3.如果某家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？应试者听说读写甲85788573乙73808283解：因为乙的成绩比甲高，所以应该录取乙．加权平均数加权平均数的意义反映一组数据中按各数据占有的不同权重时总体的平均大小情况.数据的权的意义反映数据的重要程度，权的改变会影响这组数据的平均水平．权的形式比值；百分比；频数加权平均数的表示第六章数据的分析6.1.3方差、标准差1．经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念。2．了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情景中加以应用.情境：纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利

80

周年阅兵式，已于2025年9月3日在天安门广场顺利举行.我们知道，接受检阅的部队必须精挑细选，整齐划一，所以需要特别注重队员的身高.已知两组部队队员的身高情况（单位：cm）如下表，现准备抽取其中一组参与检阅.甲队178177179179178178177178177179乙队178177179176178180180178176178乙队甲队思考：请问你认为哪支部队身高更为整齐，你是怎么判断的？

实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。

在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。

问题1：学校打算从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.已知两人的平均水平均为8.0环，则教练员该如何选出合适选手？分析：可以将甲、乙的射击成绩表示在图中，通过分析图像得出结论.解：将甲、乙的射击成绩表示在图中.

比较上面两幅图可以发现，甲的射击成绩大多集中在平均成绩8环的附近，而乙的射击成绩与平均成绩比较，波动较大.可借助方差来比较

情境问题：已知两组部队队员的身高情况（单位：cm）如下表，现准备抽取其中一组参与检阅.请问你认为哪支部队身高更为整齐，你是怎么判断的？甲队178177179179178178177178177179乙队178177179176178180180178176178甲队身高更为整齐；理由如下：通过综合计算各项数据如下表，方差标准差甲队0.60.775乙队1.81.342因为甲队各项指数更小，数据的波动更小，所以甲队身高更为整齐.1.甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期

10

次跳绳测试的平均成绩都是每分钟

174

个，其方差如下表：则这

10

次跳绳中，这四个人中发挥最稳定的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁B2.小明随机抽取八年级(1)班

5

名同学每周用于课外阅读的时间

(单位：h)，统计如下：2，3，2，5，3。则这组数据的方差为（

）A.1.2

B.2

C.3

D.6A

3.某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图.（1）求这50名同学的平均成绩；（2）若甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为：60，60，90，70，70(单位：分)，求这5个数据的方差.

数据的离散程度

离差平方和方差标准差

第六章数据的分析6.1.4方差的应用1．通过更为丰富的例子，让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用。2．通过实例，让学生体会数据的离散程度在现实生活中广泛存在，应视情况分析方差或离差平方和对于问题的影响。问题1：某校八、九年级各推荐

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名学生参加主题为“极目楚天，共襄星汉”的航天科普知识竞赛

(共10题，每题10分，满分100分)。某数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下表格：（1）八九年级的平均成绩分别是多少？（2）八九年级的竞赛成绩的方差分别是多少？（3）这两个年级的竞赛成绩各有什么特点？年级学生成绩八年级806010090807070100709070808090808090809090九年级7090100808060708060100607090809090909010090（1）平均成绩：八年级82分，

九年级82分；（2）方差：八年级106，

九年级166；（3）两个年级平均成绩均为82分，整体水平相当；但八年级学生竞赛成绩的方差更小，说明八年级成绩更稳定；九年级成绩波动大(两极分化较明显)；九年级90分及以上的学生数量更多(共10人)，但低分段(60分)有3人；八年级低分段仅1人，成绩分布更集中，但高分段(90分及以上)数量少于九年级。年级学生成绩八年级806010090807070100709070808090808090809090九年级7090100808060708060100607090809090909010090思考：（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？反映数据的波动大小；方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况。（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？问题2：已知10个苹果的直径数据如图所示.(1)

若要把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，该怎么分?(2)

一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，应遵循怎样的分组原则?（1）可以将直径较大的一组分为：81、80、80、78、76；直径较小的一组分为：76、75、75、70、69；理由是使两组数据整体水平相近。（2）分组原则是先确定最大最小值及差值，再确定合适组距，保证每组数据个数大致相等并按序分组。

在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差