角的平分线（第2课时角的平分线判定）课件人教版八年级数学上册

第十四章全等三角形14.3角的平分线第2课时角的平分线的判定

1.角的平分线的性质定理是什么?2.回忆这个定理的证明过程，说一下文字证明题的一般步骤.知识关联角的平分线上的点到角的两边的距离相等(1)根据题意画图，标注字母，写出已知.(2)观察图形，由几何直观猜想命题正确，写出求证.(3)分析问题，写出证明过程.新知探究XINZHITANJIU证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，

PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.OABCPDE┐┐复习回顾FUXIHUIGU角的平分线的判定判定定理：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.判断点是否在角的平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点

P在∠AOB的平分线上.定理的作用：新知探究XINZHITANJIU思考

(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上

点到这个角两边的距离相等．

(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；

判定定理反映只要是到角两边距离

相等的点，都应在角的

平分线上．角的平分线的性质与判定定理有何关系？新知探究XINZHITANJIU角平分线的性质角平分线的判定图形条件结论PCPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E解决问题如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.DC典例精析D

E

F

A

B

C

P

N

M

例、

如图，△ABC的角平分线

BM，CN相交于点

P，求证：点

P到三边

AB，BC，CA

的距离相等.证明：过点

P作

PD，PE，PF分别垂直于

AB，BC，CA，垂足分别为

D，E，F.∵BM是△ABC

的角平分线，点

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即点

P到三边

AB，BC，CA的距离相等.课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()

A．110°B．120°C．130°

D．140°2.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC(

)的交点．A．角平分线 B．高线C．中线

D．边的垂线AA课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.4.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=______.655°6.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC

于点F，且DE＝DF，则下列结论中正确的有__________(填序号).①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③BD＝CD；④∠EDA＝∠BDE.①②③【典例导引】7.【例1】如图，∠AOB＝40°，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE＝PF，则∠POE＝_________．20°【变式训练】8.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠BPC的度数为________．90°9.【例2】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB.∴∠BFD＝∠CED＝90°.∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴AD平分∠BAC1.如图，在△ABC

中，AD

是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证EB=FC.【教材P52习题14.3第1题】复习巩固证明：∵AD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.BD=CD，DE=DF，在Rt△DEB

和Rt△DFC

中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.2.如图，在△ABC

中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD，CE

相交于点F.求证：FA

平分∠DFE.【教材P52习题14.3第2题】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°.在△ADB

和△AEC

中，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，

AB=AC，∴△ADB≌△AEC（AAS）.∴AD=AE.又AB⊥CE，AC⊥BD，∴FA

平分∠DFE.3.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD

相交于点O，OB=OC.求证∠1=∠2.【教材P52习题14.3第3题】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°.在△BDO

和△CEO

中，∠BDO=∠CEO，∠DOB=∠EOC，OB=OC，∴△BDO≌△CEO（AAS）.∴OD=OE.∴AO

是∠BAC

的平分线.∴∠1=∠2.5.如图,BF⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为F,E,BF与CE相交于点D,BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上.

第5题1234567891011126.

如图,在△ABC中,P是BC上一点,PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R,S,PR=PS,Q是AC上一点,且∠CAP=∠APQ.(1)求证:QP∥AR.(2)AR和AS相等吗?请说明理由.

第6题1234567891011127.

如图,△ABC的外角平分线BD,CE相交于点P.若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 (

)A.1

B.2 C.3 D.48.

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=15cm,AC=17cm,P是到△ABC的三边距离相等的点,则点P到△ABC的三边的距离为

cm.C31234567891011129.

如图,△ABC的三边AB,BC