3.2.1 单调性与最大（小）值 课件 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值（第二课时）第三章函数的概念与性质学习目标3.2函数的基本性质1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（重点）2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重难点)3.掌握二次函数在区间上的最值问题．（难点）情景导学3.2函数的基本性质问题如何判定函数的单调性？(1)图象法(形象直观)(2)定义法(推导证明)①∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递减②∀x1，x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上单调递增情景导学3.2函数的基本性质科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？气温从0时逐渐降低，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。典例精析3.2函数的基本性质探究1函数的最大值与最小值

5

1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，说明它体现函数值的什么特点？典例精析知识点1函数的最大值3.2函数的基本性质知识点2函数的最小值典例精析考点1图像法求函数最值3.2函数的基本性质例1(1)在直角坐标系中画出f(x)的图象；(2)根据函数图象写出函数的单调区间和最值.典例精析3.2函数的基本性质考点1图像法求函数最值变式1

典例精析考点1图像法求函数最值3.2函数的基本性质例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)=-4.9t²+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?典例精析考点2利用单调性求最值3.2函数的基本性质例3

典例精析考点2利用单调性求最值3.2函数的基本性质变式2

典例精析考点2利用单调性求最值3.2函数的基本性质变式3已知函数f(x)=x²-x+1.(1)画出函数的图象；(2)根据图象求函数在区间[-1,1]上的最大值.典例精析考点2利用单调性求最值3.2函数的基本性质变式4

课堂小结3.2函数的基本性质函数的最大（小）值解实际应用题的四个步骤审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系；建模：建立数学模型，列出函数关系式；求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法（一定要注意自变量的取值范围）；回归：数学问题回归实际问题，写出答案。二次函数在闭区间上最值的求法先判断函数图象的对称轴在闭区间内还是在闭区间外。当函数图象的对称轴在闭区间内时，函数在图象顶点处取得一个最值，另一个最值在距对称轴较远的端点处取得（有时需要讨论图象的对称轴在闭区间左侧、右侧、或过中点的情况）。当函数图象的对称轴不在闭区间内时，最值在两个端点处取得。函数最值与单调性的关系若函数f(x)在区间[a,b]单调递增（减），则函数f(x)在区间[a,b]上的最小（大）值为f(a)，最大（小）值为f(b)。若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），在区间[b,c]上单调递减（增），则函数f(x)在区间[a,c]上的最大（小）值是f(b)，最小（大）值是f(a)与f(c)中较小（大）的一个；求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大（小）值。课堂小结3.2函数的基本性质函数的最大（小）值利用图象求函数最值的方法画出函数f(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值。函数的最大值的概念及其几何意义一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：(1)x∈D，都有f(x)≤M；(2)x0​∈D，使得f(x0​)=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。函数的最小值的概念及其几何意义一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：(1)x∈D，都有f(x)≥M；(2)x0​∈D，使得f(x0​)=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值。课堂小结3.2函数的基本性质函数的最大（小）值利用单调性求最值的一般步骤①判断函数的单调性；②利用单调性写出最值。函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a,b]上单调递减，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；②若函数在闭区间[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，不一定有最大（小）值。求函数最