2025年惠州市重点中学数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

2025年惠州市重点中学数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是A. B.C. D.2．已知向量，则（）A.5 B.6C.7 D.83．正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.35．圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.6．已知等差数列满足，，则（）A. B.C. D.7．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（）A. B.C. D.8．设，，且，则等于（）A. B.C. D.9．已知为定义在R上的偶函数函数，且在单调递减.若关于的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.11．已知直线与平行，则a的值为（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣212．已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（）A.3 B.6C.9 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为______14．在等差数列中，，那么等于______.15．已知等差数列满足，请写出一个符合条件的通项公式______16．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线方程为（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程18．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）当时，证明：存在最大值，且恒成立.19．（12分）已知函数在处的切线与直线平行（1）求值，并求此切线方程；（2）证明：20．（12分）在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.（1）求三角形ABC的外接圆M方程；（2）求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.21．（12分）已知空间三点.（1）求以为邻边平行四边形的周长和面积;（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标.22．（10分）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选2、A【解析】利用空间向量的模公式求解.【详解】因向量，所以，故选：A3、C【解析】建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即为与的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.有图知，由题得、、、.，，.设平面的一个法向量，则，，令，得，，.设直线与平面所成的角为，则.故选：C.【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题.4、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.5、A【解析】根据题意，设圆心为坐标为，，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线的距离，解得的值，即可得答案【详解】根据题意，设圆心为坐标为，，圆的半径为4，且与直线相切，则圆心到直线的距离，解得：或13（舍，则圆的坐标为，故所求圆的方程为，故选：A6、D【解析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合即可得的值.【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，即，所以，所以，故选：D.7、A【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可【详解】解：由已知得,，则，故选：A【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题8、A【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.9、C【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，转化为且对恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得的范围【详解】定义在上的函数为偶函数，且在上递减，在上单调递增，若不等式在上恒成立，即在上恒成立在上恒成立，即在上恒成立，即且在上恒成立令，则，，，，在上递增，上递减，令，当时，，在上递减，故可知，解得，所以实数m的取值范围是故选：C10、A【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】依题意，，设平面的法向量，则，令，得，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为.故选：A11、A【解析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：因为直线与平行，所以，解得.故选：A.12、C【解析】根据双曲线的渐近线求得的值.【详解】依题意可知，双曲线的渐近线为，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上，x，，，从而故答案为2方法二：，而，则答案2故答案为2【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考查转化思想以及计算能力14、14【解析】根据等差数列的性质得到，求得，再由，即可求解.【详解】因为数列为等差数列，且，根据等差数列的性质，可得，解答，又由.故答案为：14.15、3（答案不唯一）【解析】由已知条件结合等差数列的性质可得，则，从而可写出数列的一个通项公式【详解】因为是等差数列，且，所以，当公差为0时，；公差为1时，；…故答案为：3（答案为唯一）16、①.3②.5【解析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.又平均数相同，则，解得x=3.故答案为：3；5.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）面积的最小值为，此时直线的方程为.【解析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：由题意可得.【小问2详解】解：在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.18、（1）的单增区间为，；单减区间为，，；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出函数的定义域，求出，由，结合函数的定义域可得出函数的单调区间.(2)当时，定义域R,求出，从而得出单调区间，由当时，，当时，，以及极值点与2的大小关系可得出当时，函数有最大值，然后再证明即可.【详解】解：（1）定义域，可得且且，，可得且3无0无0减无减增无增减所以，的单增区间为，；单减区间为，，.（2）当时，定义域R因为，当时，，当时，，所以的最大值在时取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，，且，由所以当时，函数有最大值.所以，因为，所以,设，则所以化为由，则，则，所以所以19、（1）；；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.【小问1详解】，，在处的切线与直线平行，即切线斜率为，，解得：，，，所求切线方程为：，即；【小问2详解】要证，即证；①当时，，，，即，；②当时，令，，，当时，，，，，即，在上单调递增，，在上单调递增，，即在上恒成立；综上所述：.【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.20、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.【小问1详解】根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，故三角形ABC的外接圆M方程为.【小问2详解】因为D为AC的中点，所以易求.故直线BD的方程为，圆心到直线的距离，故相交弦的长度为.21、（1）周长为，面积为7.（2）或.【解析】（1）根据点，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距离，可以求出周长，再利用向量的夹角公式求出夹角的余弦值，根据平方关系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先设出，根据题意可得出的方程组，解出满足条件所有的值即可求解.【小问1详解】由题中条件可知，，,，.所以以为邻边的平行四边形的周长为.因为，因为，所以.所以.故以以为邻边的平行四边形的面积为：.【小问2详解】设，则，，因为，且分别与垂直，得，解得或所以向量的坐标为或.22、条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】（1）若选择①，先利用正弦定理进行边角互化，再结合正余弦的和差角公式化简可得，得出；若选择②，利用余弦定理及面积公式可得，