第四章第五节等腰三角形

第四章三角形第五节等腰三角形节前复习导图等边三角形性质判定面积等腰三角形等腰三角形性质判定面积定义教材知识逐点过考点1等腰三角形(6年4考)★重点

定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做

腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角性质1.等腰三角形的两腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等(简述“等边对等角”)；3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简记

为“三线合一”)；4.等腰三角形是轴对称图形，有

条对称轴.(等边三角形除外)注：等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行1判定1.有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积S＝

ah(其中a是底边长，h是底边上的高)

图①图②考点2等边三角形(6年2考)性质1.等边三角形的三条边相等；2.等边三角形的三个内角相等，且每个角都等于60°；3.等边三角形的三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重

合；4.等边三角形是轴对称图形，有

⁠条对称轴判定1.三边都相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个内角是

⁠的等腰三角形是等边三角形面积S＝

ah

＝

a2

(其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高)360°

基础题对点练1.

[北师八下习题改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC

交BC于点D，AD＝5，CD＝3，则△ABC的面积为

⁠.15

2.

[人教八上例题改编]等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该

三角形的周长为

⁠.15或18

3.

[北师八下习题改编]如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，

点D在BC上，连接AD，若AB＝BD，则∠CAD的度数为

⁠.30°

4.

[人教八上习题改编]等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝60°，则

该等腰三角形的面积是

⁠.

5.

[人教八上习题改编]如图，等边三角形ABC的周长为18，则BC边上的

高AD的长为

⁠.

教材变式过重点等腰三角形的证明与计算教材原题例

人教八上P93第13题如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝

CD.

求证：DB＝DE.

图①证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠DBC＝30°(等边三角形三线合一)，

图①拓展设问(1)如图②，过点A作AH∥BC，交ED的延长线于点H，连接BH，求

证：AB垂直平分DH；图②(1)证明：∵AH∥BE，∴∠AHD＝∠CED，∠HAB＝∠ABC＝60°，∵CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE，∵∠ADH＝∠CDE，∴∠ADH＝∠CED，∴∠ADH＝∠AHD，∴AH＝AD，又∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠HAB＝60°，∴AB垂直平分DH；(2)如图③，延长ED与AB交于点F，且DF＝2，求EF的长.图③

在△ADF中，∠A＝60°，且∠A＋∠ADF＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°－∠A－∠ADF＝180°－60°－30°＝90°，即

EF⊥AB，在Rt△BDF中，∠ABD＝30°，DF＝2，∴BD＝2DF＝2×2＝4，在△BDE中，∠EBD＝∠E＝30°，∴DE＝BD＝4，∴EF＝DF＋DE＝2＋4＝6.图③河北中考真题精选等腰三角形的性质与判定(6年6考)命题点1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线

DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为(

A

)A.

14B.

16C.18D.

20A2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作

DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为(

B

)A.

2.5B.

3C.3.5D.

4B

3.

如图，∠AOB＝108°，P是射线OB上一点.按以下步骤作图：

①以点O为圆心，OP长为半径作弧，交OA于点Q，连接PQ；②以点P

为圆心，PQ长为半径作弧，与PO延长线交于点M，连接QM.

若QM＝

1，则OP的长度为(

A

)AA.

1B.

2C.3D.

4

4.如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝

30°，OM＝a，MN＝4，若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是

等腰三角形，则a的取值范围是？甲答：a＞8；乙答：a＝4，则关于甲

和乙的说法(

C

)A.只有甲对B.只有乙对C.甲、乙答案合一起才完整D.甲、乙答案合一起也不对C【解析】如解图，①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，则PM＝PN，此时△PMN是等腰三角形，过点M作MH⊥OB于点H，当MH＞MN时，满足条件的点P恰好只有一个，∵MN＝4，

∠AOB＝30°，当MH＝4时，OM＝2MH＝8，∴当a＞8时，满足条件的点P恰好只有一个；②当△PMN