2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版）

第1页/共1页2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．注意事项：1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：A2.随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现朝上的面的点数是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子可能出现的结果有个，其中朝上的面的点数是偶数有种情况，所以出现朝上的面的点数是偶数的概率.故选：C3.若，，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案.【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合，由，可得的终边在第二象限或第四象限，因为，同时成立，所以是第二象限角.故选：B4.命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：.故选：D5.下列函数是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断.【详解】对于A，定义域为，因为，所以是奇函数，所以A正确，对于B，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以B错误，对于C，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以C错误；对于D，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以D错误.故选：A6.i为虚数单位，计算等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则运算即可.【详解】.故选：A.7.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是．为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法从中抽取容量为的样本，那么初中生应抽取的人数是（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.【详解】依题意初中生应抽取人.故选：C8.已知直线平面，直线平面，下列结论一定正确的是（）A. B. C.与是异面直线 D.与没有公共点【答案】D【解析】【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.【详解】因为直线平面，直线平面，所以或与是异面直线，则与没有公共点.故选：D9.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：C10.如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为，分别是，的中点，所以，，所以.故选：D11.不等式的解集是（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】不等式，解得或，所以不等式的解集为或.故选：A12.计算等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式计算可得.【详解】.故选：B13.三个数的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数性质判断即可.【详解】因为在定义域上单调递增，所以，又，所以.故选：A14.甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（）A.0.09 B.0.42 C.0.49 D.0.51【答案】C【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.【详解】因为每人成功破译密码的概率均为，且甲、乙两人独立破译某个密码，则密码不被破译的概率.故选：C15.若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得.【详解】因为，，所以，，所以.故选：D16.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误；对于B，当，时，满足，但是，故B错误；对于C，当，时，满足，但是，故C错误；对于D，因为，所以，即，故D正确.故选：D17.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到.故选：B18.已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得.【详解】因为向量与的夹角是，且，，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B19.某“定制班车”的票价按下列规则制定：①行程在以内的（含），票价2元；②行程在以上的，前票价2元，以后每增加票价增加1元（不足的按计算）．小明某天乘坐该“定制班车”，行程，票价4元，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据小明的票价分析行程最大值，即可判断.【详解】因为小明的票价为元，则小明的行程最大为，又当小明的行程为时，票价只需元，则小明的行程需大于且不超过，所以.故选：B第Ⅱ卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20.若球的表面积为，则该球的半径是___________．【答案】【解析】【分析】根据球的表面积公式计算可得.【详解】设球的半径为，依题意，解得（负值已舍去）.故答案为：21.函数的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得.【详解】因为，所以，所以函数的最小值是.故答案为：22.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】求得抛物线的对称轴方程为，可得，求解即可.【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为∵函数在上单调递增，∴，∴，则的取值范围为.故答案为：23.某市政府计划对居民生活用水实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准（单位：），用水量不超过部分按平价收费，超出的部分按议价收费，该市随机调查了10000户居民，获得了他们的月均用水量数据，整理得到频率分布直方图（如图）．如果要让该市的居民用户的月均用水量不超出标准，那么应为___________（单位：）．【答案】##【解析】【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为，，所以位于之间，所以，解得，所以应为.故答案为：三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.如图，正方体的棱长为2，E为的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据三棱锥体积计算公式即可；（2）通过证明，得平面即可.【小问1详解】由题意可知，为的中点，且正方体棱长为2，所以三棱锥体积为：.【小问2详解】因为正方体中平面，且平面，所以.连接，又因为底面为正方形，所以.因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以.25.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：为等腰三角形；（2）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证；（2）由余弦定理可求得，可求的面积.【小问1详解】因为，所以，化简得，即，所以是等腰三角形.【小问2详解】由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面积为.26已知函数且．（1）求实数a的值；（2）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分段函数解