2023年江苏省南京外国语特长生选拔考试数学试题含答案

第1页/共20页2023年南外特长生选拔考试数学试题考试时间：70分钟满分：100分1.足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有种不同的可能性.3.正方形ABCD的边长为4，M，N两点为对角线AC上的动点，且MN=2，0≤AM≤4·2-2，P为正方形ABCD边上的一点，且△PMN为等腰三角形，则：（1）这样的点P最少有_____个；（2）这样的点P最多有______个.4.VABC中，AB=AC=5，BC=45，边AB上有动点P，以PC为边作正方形PCDE，则：（1）当BP=时，△BPE的面积最大；（2）△BPE的面积最大值为.5.如图，AM=BM=CM，AM丄BC，三个菱形ADME，BFMG，CHMI全等，菱形短对角线长为2，G在AD延长线上，VABC的周长为.第2页/共20页6.已知菱形ABCD中，上DAB=45。，AB=4，P为边AD上一动点（不与点A重合过P作PE丄AB于点E，作A关于PE的对称点F，当VCDF为等腰三角形时，将AE长度的可能值小到大排列为27.如图，VABC中，M为BC中点，过M作MD丄AB于点D，ME丄AC于点E，且S△BDM=S△CEM，8已知抛物线y=mx2一mx4交x轴于A且x2x1=..第3页/共20页（1）m的值为______；,则a的取值范围是（写成区间的形式（3）有点D(1,-5)，抛物线交y轴于点C，过B，D作直线BD交y轴于E．M为线段BD上一点，当9.有两个正整数x，y(x≥y)，其最大公约数与最小公倍数之和等于这两个数的积与和的差，则：（1）满足条件的数组(x,y)共有______个；（2）在所有满足条件的数组(x,y)中，x+y的最大值为.10.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为一动点，沿B→A→C方向运动，速度为1单位长度每秒，过E作EF丄BC于F（F可与B，C重合以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH.经过t秒后，直线AH将矩形ABCD的面积划分成1:3的两部分．将满足要求的t从小到大排列为23第4页/共20页（请勿填写成小数形式或带分数形式）答案与解析1.足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有种不同的可能性.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解题的关键.设该球队胜x场，平y场，则负(15-x-y)场，根据足球队共赛了15场，共得33分列出二元一次方程，然后确定符合题意的解即可解答.【详解】解：设该球队胜x场，平y场，则负(15-x-y)场，整理得，∴15-x-y=2或0或4，即该队得胜、负、平场数情况共有3种不同的可能性.第5页/共20页故答案为：3.2.已知实数x，y满足(x-2)2+y2=3，则的最大值为.【答案】【解析】【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的最值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.∴y2当且仅当，时等号成立，故答案为：. 3.正方形ABCD的边长为4，M，N两点为对角线AC上的动点，且MN=2，0≤AM≤42-2，P为正方形ABCD边上的一点，且△PMN为等腰三角形，则：（1）这样的点P最少有_____个；（2）这样的点P最多有______个.【答案】①.4②.8【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质等知识点，根据题意画出不同情况的图形成为解题的关键.先说明点N在AC上，然后根据等腰三角形的定义画出不同情况的图形即可解答.第6页/共20页∴点N在AC上，∴①当如图1，当AM=0(即M、A两点重合)时，P点有6个;②如图2，当△PMN为等腰三角形时，P点都有8个.③如图3，当△PMN是等边三角形时，P点有4个；综上，点P最少有4个，最多有8个.故答案为：4，8.（1）当BP=时，△BPE的面积最大；第7页/共20页（2）△BPE的面积最大值为 .【答案】①.4②.8【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的最值、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，用BP表示出△BPE的面积成为解题的关键.过C、E分别作A8的垂线，垂足分别为M、N．作AH丄BC于H，根据等腰三角形的性质、勾股定理可得次函数的性质解答即可.【详解】解：过C、E分别作A8的垂线，垂足分别为M、N．作AH丄BC于H，∴S△ABC=BC.AH=AB.CM，即×5CM，解得：CM=4，∵四边形PCDE是正方形，第8页/共20页故答案为：4，8.5.如图，AM=BM=CM，AM丄BC，三个菱形ADME，BFMG，CHMI全等，菱形短对角线长为2，G在AD延长线上，VABC的周长为.【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、、等腰直角三角形的判定及勾股定理在计算中的应用，明确菱形的性质及根据勾股定理构建方程是解题的关键．连接FG,DG，FG交BC于点K，FM交GD于点J，证明=BG2x，即可解答.【详解】解：连接FG,DG，FG交BC于点K，FM交GD于点J，∵三个菱形ADME，BFMG，CHMI全等，菱形短对角线长为2，∴△GMD是等腰直角三角形.第9页/共20页设三个菱形边长为x.21x2x2—1∵G在AD延长线上， 所以VABC的周长为12+82. 于点E，作A关于PE的对称点F，当VCDF为等腰三角形时，将AE长度的可能值小到大排列为2 【答案】①.2②.·2+1③.22【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、分类讨论等知识点；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.第10页/共20页分DF=CD、CF=CD=4、FD=FC三种情况，分别根据轴对称的性质和直角三角形的性质求解即可.【详解】解：如图1，当DF=CD时，点F与A重合或在点F’处.作DN丄AB于N，由折叠的性质得：此时点E与N重合，在Rt△ADN中，当点F与B重合，∴PE是AB的垂直平分线，∵E在AB上，第11页/共20页 综上所述：当VCDF为等腰三角形时，AE的长为-2十1或2或22，7.如图，VABC中，M为BC中点，过M作MDTAB于点D，METAC于点E，且S△BDM=S△CEM，【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的面积、点到直线的距离，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用勾7DBM=7EMC,7BMD=7MCE，从而证明7DME=90O，进而证明四边形ADME是矩形，利用勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式求出A到BC的距离即可.【详解】解：∵M为BC中点，∵MDTAB，METAC，2,CM2=ME22，∴BD22=ME22第12页/共20页1+EM2，∵S△BDM=S△CEM，即BD.MD=ME.CE，∴MD=1或MD=1（不符合题意，舍去ME=2，在Rt△BDM和Rt△MEC中，∴Rt△DM≌Rt△MEC(HL)，∴四边形ADME是矩形，根据三角形面积公式，A到BC的距离为AB.AC÷故答案为：8.已知抛物线y=mx2mx4交x轴于A且x2x1=第13页/共20页（1）m的值为______；则a的取值范围是（写成区间的形式（3）有点D(1,-5)，抛物线交y轴于点C，过B，D作直线BD交y轴于E．M为线段BD上一点，当③.【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与二元一次方程的关系、二次函数与不等式、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键.（1）根据二次函数的性质可得函数的对称轴为再与x2-x1=联立可得x1=-、x2=4，再根据根与系数的关系可得求解即可；（2）先求得函数的对称轴为根据二次函数的对称性可得和x=-2关于对称轴对称，故其函数值相等，从而得到时，均有n1≤n2；然后根据函数图像列不等式组求解即可；切函数的定义可得tan上MCE=4，然后求出直线BD的表达式为即设点第14页/共20页,过点M作MF丄CE于点F，再根据正切的定义列方程求解即可.【详解】解1）函数的对称轴为：x=-而且x2-x1=，将上述两式联立并解得：x1=-，x2=4，抛物线y=mx2-mx-4交x轴于A故答案为：（2）由（1）知，抛物线的表达式为x-4，∴函数的对称轴为：，和x=-2关于对称轴对称，故其函数值相等，结合函数图象可得，解得：故答案为（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG丄OE于点G，第15页/共20页,将点B、D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n则有解得第16页/共20页∴直线BD的表达式为点，设点，过点M作MF丄CE于点F，则∴tanLECM=解得的横坐标为.故答案为：.9.有两个正整数x，y(x≥y)，其最大公约数与最小公倍数之和等于这两个数的积与和的差，则：（1）满足条件的数组(x,y)共有 个；（2）在所有满足条件的数组(x,y)中，x+y的最大值为 .【答案】①.3②.10【解析】【分析】本题主要考查有理数的减法、最大公因式、最小公倍数等知识点，掌握两个正整数的最大公约数和最小公倍数以及分类讨论思想是解题的关键.（1）设这两个正整数分别是ad，bd(a≥b)，其中d为它们的最大公约数，则a,b互质，根据题意得到abd+d=abd2-ad-bd.然后分三种情况分别求得这两个整数并求其和即可解答；第17页/共20页（2）根据（1）求得各种情况的这两个整数的和，即可确定x+y的最大值.【详解】解1）设这两个正整数分别是ad，bd(a≥b)，其中d为它们的最大公约数，则a,b互质，由已知可得：abd+d=abd2-ad-bd，即ab(d-1)=a+b+1，①若d=2，则ab-a-b=1，即(a-1)(b-1)=2，综上，满足条件的数组(x,y)共有3个.故答案为3，10.10.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为一动点，沿B→A→C方向运动，速度为1单位长度每秒，过E作EF丄BC于F（F可与B，C重合以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH.经过t秒后，直线AH将矩形ABCD的面积划分成1:3的两部分．将满足要求的t从小到大排列为23第18页/共20页（请勿填写成小数形式或带分数形式）【答案】①.②.③.##10④.12【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理．分四种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理即可求解.【详解】解：如图，设直线AH交BC于点M，当BM=CM=BC=4时，直线AH将矩形ABCD的面积划分成1:3的两部分.∵正方形EFGH，∴VAEH∽VABM，解得；如图，设直线AH交CD于点M，交BC延长线于点K，当DM=CM=CD=3时，直线