第十三章-能量法

Chapter13EnergyMethod第十三章能量方法1

第十三章能量方法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

杆件应变能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-4

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-5

卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-3

应变能的普遍表达式（Generalformulaforstrainenergy)2§13-8

计算莫尔积分的图乘法

(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)§13-7

单位载荷法

莫尔定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-6

虚功原理(Principleofvirtualwork)

第十三章能量法

(EnergyMethods)3§13-1

概述（Introduction）在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能,简称应变能。一、能量方法（Energymethods)三、应变能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则称为外力功。利用功能原理Vε=W

来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法。4可变形固体在受外力作用而变形时,外力将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

5§13-2

杆件应变能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、杆件应变能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）

1.轴向拉压的应变能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量为：当拉力为F1

时,杆件的伸长为Δl1

当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)F

lFO

l

l1dl1dF1F16FF

llF

lFO

l

l1dl1dF1F1积分得:7根据功能原理当轴力或截面发生变化时:

Vε=W,可得以下应变能表达式8（单位J/m3)应变能密度（strainenergydensity）:

单位体积的应变能.记作u

当轴力或截面连续变化时：92.扭转应变能（Strainenergyfortorsionalloads）或l

MeMe

Me10dxdydzxyzabd因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功.只有右侧面的外力（

dydz）对相应的位移

dx

作了功.

dx

当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为：纯剪切应力状态下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动

dx.11

将

=G

代如上式得dxdydzxyzabd

dx比能为12纯弯曲（purebending)横力弯曲（nonuniformbending）3.弯曲应变能（Strainenergyforflexuralloads）θMe

MeMe

Me13

一、应变能的普遍表达式（Generalformulaforstrainenergy）F--广义力(包括力和力偶)δ--广义位移(包括线位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增至最终值，对应的广义位移也由零增至最终值.§13-3

应变能的普遍表达式(Generalformulaforstrainenergy)14对于线性结构,位移与载荷之间是线性关系，任一广义位移,例如

2可表示为F3ABCF1F2B'

C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C

点引起的竖向位移.

C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和

2与

F2之间的关系是线性的.同理,

1与F1,

3与F3之间的关系也是线性的.15在整个加载过程中结构的应变能等于外力的功

iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fi

i注意：式中δ1、δ2、δ3为所有外力F1、F2、F3……共同作用引起的位移。16关于应变能的计算计算应变能时能不能应用叠加原理

M

和F

引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？

如果将

M

换为扭转力偶Mx

,Mx

和F引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？17试分别计算图示各梁的变形能18解：求各梁的变形能从例1可看出abc19dxFN(x)FN(x)M(x)T(x)T(x)M(x)组合变形的变形能（Strainenergyforcombinedloads)积分上式可得注意:内力为所有外力共同作用下引起的内力,而不是某一个外力引起的内力20二、应变能的应用（Applicationofstrainenergy）

1.计算应变能（Calculatingstrainenergy）

2.利用功能原理计算变形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例题1试求图示悬臂梁的应变能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得21例题2试求图示梁的应变能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得22例题3试求图示四分之一圆曲杆的应变能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI为常量.解：ABFORθ由Vε=W得23例题4拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI,受到F1和F2两个力作用.若先在B

截面加F1,

然后在C

截面加F2;若先在C

截面加F2,

然后在

B

截面加F1.分别计算两种加载方法时拉杆的应变能.ABCabF1F224（1）先在B

截面加F1,然后在C

截面加F2ABCabF1（a）在B

截面加F1,B截面的位移为外力作功为（b）再在C上加F2F2

C截面的位移为

F2作功为25（c）在加F2

后,B截面又有位移在加F2过程中F1作功（常力作功）所以应变能为ABCabF1F226（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2

后,F2

作功（b）

在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F227（c）加

F1引起C

截面的位移在加F1过程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以应变能为注意：（1）计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.（2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.28

2解:梁中点的挠度为:梁右端的转角为:MeACBFl/2l/2梁的变形能为:

1例题5以弯曲变形为例证明应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.29先加力F

后,再加力偶Me（1）先加力F后,C

点的位移力F所作的功为（2）力偶由零增至最后值Me

B

截面的转角为力偶Me

所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me

1

30先加上的力F所作的功为

C截面的位移为

3ACBl/2l/2

F与力偶Me所作的功为ACBFl/2l/2

1

Me31两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,F2（1）设在线弹性结构上作用力

1,

2一、功的互等定理（Reciprocalworktheorem）§13-4

互等定理（ReciprocalTheorems)

1

2F1F232F1F2

1

2

F1和F2完成的功应为（2）在结构上再作用力F3,F4

沿F3和F4方向的相应位移为

3,

4F3

3

4F4

F3和F4完成的功应为33（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移

F1和F2在

1´和

2´上完成的功应为F1F2

1

2F3

3

4F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为

1´和

2´34F1F2

1

2

3

4F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加载的次序无关,故35功的互等定理（reciprocalworktheorem）:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第一组力只有F1,第二组力只有F3,则如果F1=

F3,则有36位移互等定理（reciprocalworktheorem）：

F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿

F3方向因作用F1而引起的位移.（ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、注意（Notice）

（1）力和位移都应理解为广义的.

（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.37

2

1

3设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力:

F1,F2,,Fi

,

相应的位移为：

1,

2,

,

i

,

§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3结构的变形能38只给Fi

一个增量

Fi

.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为

2

1

3F1F2F3在作用

Fi

的过程中,

Fi

完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为39如果把原来的力看作第一组力,而把

Fi

看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者当

Fi

趋于零时,上式为这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem）（卡氏定理）（Castigliano’sTheorem）40（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明（Directions）：（3）用卡氏定理求结构某处位移时,该处需要有与所求位移相应的载荷,如果没有则采用附加力法.一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移（2）Fi

为广义力，

i为相应的位移41（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉伸与压缩（b）扭转（c）弯曲42（4）平面桁架（5）组合变形43卡氏定理求解位移过程总结(1)查看结构,在所求广义位移处是否存在相应的广义力,若没有则附加一个相应的广义力,方向任意假定(2)列出结构每一部分的内力方程,如弯矩,扭矩,轴力等,对所要求的广义位移对应的广义力求偏导数方程.(4)将内力方程和偏导数方程代入卡氏定理积分求解位移,若所求结果为正则与所加力方向相同,否则相反.(3)如果有附加广义力,令内力方程和偏导数方程中的附加广义力等于0.44例题6外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.FABCMelaFRA45AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me46ABClaFRAFx1x2Me（）47例题7刚架结构如图所示.弹性模量EI已知。材料为线弹性.不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虚设一力偶

Ma,

在D截面虚设一水平力F.FRDFRAxFRAyMaF48CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF492axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF50例题8圆截面杆ABC,（

ABC=90°）位于水平平面内,已知杆截面直径d

及材料的弹性常数E,G.求C

截面处的铅垂位移.不计剪力的影响.ABCllq51BC:弯曲变形ABlQMBxABCllqFxxAB:弯曲与扭转的组合变形（扭转变形）（弯曲变形）5253例题9图示刚架各段的抗弯刚度均为EI.不计轴力和剪力的影响.用卡氏第二定理求截面D

的水平位移

D

和转角

D

.MaxF1FABCDll2l解:在D点虚设一力偶矩Ma

CD:弯曲变形54但是轴力不计,因此横截面上的内力只计弯矩.F1ABCF2FlMa将力F

向C

简化得：力F（产生拉伸变形）力偶矩2Fl（产生弯曲变形）

Ma（产生弯曲变形）

AC产生拉伸与弯曲的组合变形.横截面上的内力有轴力和弯矩.F1xFABCDll2lMa将Ma向C简化得:55xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa56§13-7

单位载荷法

莫尔定理（Unit-loadmethod&mohr’stheorem）一、莫尔定理的推导（Derivationofmohr’stheorem）求任意点A的位移wA

F1F2A57

A图b应变能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1

（1）先在A点作用单位力F0,再作用力F1、F258（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:应变能:M(x)与坐标系相同59（Mohr’sTheorem）桁架：二、普遍形式的莫尔定理（Generalformulaformohr’stheorem）注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.60三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）61使用莫尔定理的解题过程(1)在要求的广义位移处加一广义的单位力,若要求的是相对位移则加一对反向单位力,方向任意假定.(2)分别列出结构各段的原有载荷和单位力作用下的弯矩方程注意二者的坐标系一致.(3)在全结构上运用莫尔定理分段进行积分,求得结果为正则与所加单位力方向相同,否则相反.62A例题10抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布载荷作用,用单位载荷法求梁中点的挠度wC

和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解:在实际载荷作用下,任一x

截面的弯矩为63AAB11/21/2C（1）求C

截面的挠度在C点加一向下的单位力,任一x

截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/264ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的转角在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/265B例题11图示外伸梁,其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2a66BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在C

处加一单位力“1”）CqF=qaa2aFRAx1/267BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx168BABC:AB:（2）求C

截面的转角（在C处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA69例题12刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出.不计剪力和轴力对位移的影响.计算A点的垂直位移及B截面的转角.aABCFlEI1EI2解:（1）计算A点的垂直位移,在A点加垂直向下的单位力BClEI1EI2a170AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa71（2）计算B截面的转角,在B上加一个单位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）172例题13图示为一水平面内的曲杆，B

处为一刚性节点，

ABC=90°在C

处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是

EI

和GIp

，求C点竖向的位移.ABCFab73xx解:在C点加竖向单位力BC:ABCFabABC1abxxAB:74xxABCFabABC1abxx75例14求图示结构C点的竖直位移。aqEIaABCDEAaEIx3x2x11111x3x2x1q（1）在C点加单位力如图。解：（2）建立坐标系如图。荷载系统与单位力系统坐标系要一致。76（3）列内力方程荷载系统：x3x2x1qx3x2x11111单位力系统：单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。77（4）应用莫尔定理符号为正表明的指向与单位力的指向相同。78例题15由三杆组成的刚架,B,C为刚性节点,三杆的抗弯刚度都是EI,试用单位载荷法求A1,A2两点的相对位移.A1A2BCllFF79x解：在A1,A2处加一对水平单位力.

B,C

两支座的反力均为零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1180例题16求图示桁架结点D的水平位移和BE杆的转角，各杆EA

相同。ABCDEFaaaP123456789ACEF123456789123456789Nl－P0000P/2P/2000011/21/2aaaaaaaBD解：81ABCDEFaaaP123456789ACEF123456789123456789Nl－P0000P/2P/20000-1/2a-1/2aaaaaaaaBD0082ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF加单位荷载求结点D的水平位移求结点D的竖向位移求杆BD的转角lBD求结点D、E的相对位移83例17：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、μ。84解：85例题18计算图（a）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量ΔAB.EI=常数.BAORFF(a)86BARPF(b)BARP1(c)解：OO87加单位荷载PABCDPABCD求结点C的竖向位移求B截面的转角PABCDPABCD求C、E两点的相对位移求铰C两侧截面的相对转角E88§13-8

计算莫尔积分的图乘法

(Themethodofmomentareasforthemohr’sintegration)等直杆的情况下,莫尔积分中的EI为常量,可提到积分号外面只需计算:89

因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)lxCxCM(x)M(x)MCMMdx90M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积w

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC91b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线注意:此处的顶点一定是剪力为0的点,即其切线平行于x轴或与x轴重合92lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4注意:此处的顶点一定是剪力为0的点,即其切线平行于x轴或与x轴重合93图乘法注意要点：（1）直杆方能图乘。（2）和图绘制原则为同时画在受压边。（3）图必须为一条直线，为折线时应分段。（4）尽量将图绘成面积及形心位置已知的图形（使用迭加法绘制弯矩图）。（5）与在基线同一侧时，为正，反之为负。注意有时M(x)图为连续光滑曲线,

而

为折线,则应以折线的转折点为界,

把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)(6)对于轴力图和扭矩图图