2025-2026学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列人工智能APP图标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）点A（4，﹣2）与点A′关于原点对称，则点A′的坐标为（）A．（2，﹣4） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，﹣2）3．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，5）4．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A． B．x2+17＝8x C．5x2﹣3x＝x+1 D．16x2﹣24x+9＝05．（3分）如图，等腰△ABC，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，B的对应点分别为D，E，且点D在BC的延长线上（）A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．逆时针，75°6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径作圆，则r的值为（）A．2cm B．2.2cm C．2.4cm D．2.6cm7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，则∠BDC的度数为（）A．70° B．65° C．55° D．35°8．（3分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m），则推出铅球的水平距离为（）A．12m B．10m C．4m D．3m9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝50°，当点B′落在边BC上时，AC′∥BC（）A．50° B．65° C．70° D．80°10．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，则符合题意的方程是（）A．3（x+1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝621011．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧（）A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜012．（3分）正方形ABCD，AB＝4cm，对角线AC，动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．当t＝1s时，Q的位置如图所示．有下列结论：①当t＝3s时，△CPQ的面积为，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度所得的抛物线为．14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．15．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝．16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，则∠BCD的度数为（度）．17．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，得到△EBD，点A，D，延长AC与DE相交于点G，连接BG．（Ⅰ）∠EGA＝（度）；（Ⅱ）若EG＝2，AB的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以BC为直径作圆，在线段AC上有一点P，满足CP＝CB．请用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解下列方程；（Ⅰ）（x+6）2﹣9＝0；（Ⅱ）x2+4x+8＝2x+11．20．（8分）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，宽为24cm，在装裱后左右两边的边宽相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？21．（10分）已知AB是⊙O的直径，延长弦AC到点D，使CD＝AC（Ⅰ）如图①，若∠BEC＝32°，求∠ABC和∠D的大小；（Ⅱ）如图②，若CE⊥AB，求∠ABC和∠D的大小．22．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT＝10．（Ⅰ）如图①，若∠ATB＝45°，求直径AB的长；（Ⅱ）如图②，点C是OB上一点，若∠ATC＝45°，过点D作弦DE∥AT，与AB相交于点F，求AF和直径AB的长．23．（10分）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度），血药浓度yμg/mL与时间xh满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度y与时间x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x的几组对应值：xh012345…yμg/mL0712151615…请根据相关信息，回答下列问题：（Ⅰ）①填空：该患者第一次服用该药后h的血药浓度最高为μg/mL；②求该患者第一次服用该药后的血药浓度y关于时间x的函数解析式；（Ⅱ）两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过24μg/mL时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，直角△OAB的顶点，∠ABO＝30°，等腰直角△OCD，点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴（Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为，点C的坐标为；（Ⅱ）将等腰直角△OCD绕点O逆时针旋转，得到△OC′D′，点C，D′，记旋转角为α．①如图②，当点D′在边AB上时，求旋转角α的大小和BD′的长；②连接AC′，点Q为AC′的中点，点P为AB的中点，求PQ的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，c＞0）与x轴交于点A和点B（c，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（点B除外）上运动，将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到线段OH．（Ⅰ）当c＝4时．①若点A的坐标为（﹣1，0），求该抛物线顶点的坐标；②若，且点H在抛物线上，求抛物线的解析式；（Ⅱ）当时，点P为第一象限的动点，∠OPB＝90°，且点H在抛物线上时，求c的值．

2025-2026学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BBBCACCBBDD题号12答案B一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列人工智能APP图标中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：B．2．（3分）点A（4，﹣2）与点A′关于原点对称，则点A′的坐标为（）A．（2，﹣4） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，﹣2）【解答】解：由条件可知点A′的坐标为（﹣4，2）．故选：B．3．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，5）【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x+3）2﹣7，∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）．故选：B．4．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A． B．x2+17＝8x C．5x2﹣3x＝x+1 D．16x2﹣24x+9＝0【解答】解：根据一元二次方程根的判别式逐项分析判断如下：选项A：方程，∵a＝2，，c＝1，∴，∴方程有两个相等的实数根；选项B：方程x2+17＝2x化为标准形式x2﹣8x+17＝7，∵a＝1，b＝﹣8，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×17＝64﹣68＝﹣4＜0，∴方程无实数根；选项C：∵a＝6，b＝﹣4，∴Δ＝（﹣4）8﹣4×5×（﹣6）＝16+20＝36＞0，∴方程有两个不相等的实数根；选项D：∵a＝16，b＝﹣24，∴Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝576﹣576＝0，∴方程有两个相等实数根．故选：C．5．（3分）如图，等腰△ABC，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，B的对应点分别为D，E，且点D在BC的延长线上（）A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．逆时针，75°【解答】解：将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，旋转方向为顺时针，在等腰△ABC，AB＝AC，∴，∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，∴∠DCE＝∠ACB＝75°，∴∠ACE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝30°+75°＝105°，∴将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，旋转方向为顺时针，旋转角可能为105°．故选：A．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径作圆，则r的值为（）A．2cm B．2.2cm C．2.4cm D．2.6cm【解答】解：由勾股定理可得，AB＝＝5，如图，当⊙C与AB相切于点D时，由三角形的面积公式可得，AC•BC＝AB•CD，即3×4＝4×CD，∴＝2.6cm，即半径为2.4cm，故选：C．7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，则∠BDC的度数为（）A．70° B．65° C．55° D．35°【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∵，∴∠ADB＝∠BDC，∵∠ADC＝∠BDC+∠ADB，∴．故选：C．8．（3分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m），则推出铅球的水平距离为（）A．12m B．10m C．4m D．3m【解答】解：当x＝0时，，令y＝0，得方程，﹣x4+8x+20＝0，x5﹣8x﹣20＝0，（x﹣10）（x+6）＝0，解得x1＝10，x5＝﹣2（水平距离为正，舍去负根），综上，推出铅球的水平距离为10m，故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝50°，当点B′落在边BC上时，AC′∥BC（）A．50° B．65° C．70° D．80°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，当点B'落在边BC上，∴AB＝AB'，∠B'AC'＝∠BAC，∴∠B＝∠AB'B，∵AC'∥BC，∴∠B'AC'＝∠AB'B，∴∠B'AC'＝∠BAC＝∠B，∵∠C＝50°，∴∠B＝×（180°﹣∠C）＝65°，故选：B．10．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，则符合题意的方程是（）A．3（x+1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210【解答】解：根据题意得：3（x﹣1）x＝6210．故选：D．11．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧（）A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝（﹣2a）3﹣4a（a﹣3）＞5，解得a＞0，∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大；∵当x＝3时，y＝ax2﹣2ax+a﹣7＝a﹣2a+a﹣3＝﹣5，∴二次函数的最小值为﹣3，所以C选项不符合题意；∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴a﹣3＜5，∴x＝2时，y＝ax2﹣5ax+a﹣3＝4a﹣8a+a﹣3＝a﹣3＜4，所以D选项符合题意．故选：D．12．（3分）正方形ABCD，AB＝4cm，对角线AC，动点P从点O出发，以的速度沿OC、边CB向终点B运动，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．当t＝1s时，Q的位置如图所示．有下列结论：①当t＝3s时，△CPQ的面积为，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①动点P从点O出发，以的速度沿OC；动点Q从点C同时出发．规定其中一个动点到达终点时．由题意可得：；当t＝3s时，点P此时，CQ＝5cm，∴，故此序号正确；②由题意知，t＝4s时，此时点P在CB上距离C处；∴两动点的运动时间为0＜t≤2s；当0＜t≤2s时，点P此时，，CQ＝tcm，过点P作PE⊥CD交CD于点E，则有△PEC为等腰直角三角形，∴，∴，当1＜t≤8时，△CPQ的面积随t值的增大而减小；③由②知，当0＜t≤2s时，令，解得：；当2＜t≤6时，点P此时，CQ＝tcm，∴，令，化简得：，解得：（负值舍去）；综上，t有三个不同的值满足△CPQ的面积为． 故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度所得的抛物线为y＝3x2﹣2．【解答】解：将抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度所得的抛物线为：y＝3x2﹣2，故答案为：y＝3x2﹣2．14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是1．【解答】解：∵x2﹣4x+6＝0，∴x2﹣2x＝﹣3，∴x2﹣3x+4＝﹣3+7，∴（x﹣2）2＝6，∵一元二次方程x2﹣4x+4＝0配方为（x﹣2）2＝k，∴k＝1，故答案为：1．15．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝﹣3．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x4+2x﹣m＝0的两个实数根，∴x5+x2＝﹣2，又∵x8＝1，∴x2＝﹣5﹣x1＝﹣2﹣3＝﹣3．故答案为：﹣3．16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，则∠BCD的度数为110（度）．【解答】解：连接AD，由条件可知△AOD为等腰三角形，∵∠AOD＝40°，∴，∵AB是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠OAD＝70°，由条件可知∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．17．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，得到△EBD，点A，D，延长AC与DE相交于点G，连接BG．（Ⅰ）∠EGA＝60（度）；（Ⅱ）若EG＝2，AB的长为．【解答】解：（Ⅰ）∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DEB，∠A＝30°，∴∠ABE＝60°、∠E＝∠A＝30°，∵∠A+∠ABE＝∠E+AGE∴∠AGE＝∠ABE＝60°，故答案为：60；（Ⅱ）由旋转的性质得：∠ABE＝60°、AB＝BE，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE，∠EAB＝60°，∵∠GAB＝30°，∴∠EAG＝30°，∵∠AGE＝60°，∴∠AEG＝90°，∴，∴，故答案为：．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以BC为直径作圆，在线段AC上有一点P，满足CP＝CB．请用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）根据圆的对称性，作另一条直径DE，与BC相交于O，即为圆心，设线段AB与竖直格线的交点为点M，连接OM与⊙O相交于点N，作射线BN与AC交于点P．【解答】解：（1）∵在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，由勾股定理得，，故答案为：；（2）如图，点P即为所求作的点．作法：根据圆的对称性，作另一条直径DE，即为圆心，连接OM与⊙O相交于点N，故答案为：根据圆的对称性，作另一条直径DE，即为圆心，连接OM与⊙O相交于点N．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解下列方程；（Ⅰ）（x+6）2﹣9＝0；（Ⅱ）x2+4x+8＝2x+11．【解答】解：（Ⅰ）∵（x+6）2﹣3＝0，∴（x+6）4＝9，则x+6＝4或x+6＝﹣3，解得x6＝﹣3，x2＝﹣7；（Ⅱ）整理，得：x2+2x﹣7＝0，∴（x+3）（x﹣3）＝0，则x+3＝3或x﹣1＝0，解得x4＝﹣3，x2＝2．20．（8分）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，宽为24cm，在装裱后左右两边的边宽相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？【解答】解：设装裱后左右两边的边宽均为xcm，则天头长与地头长均为5xcm，由题意得：60×24＝（60+5x+5x）（24+x+x），整理得：x2+18x﹣88＝4，解得：x1＝4，x6＝﹣22（不符合题意，舍去），答：装裱后左右两边的边宽均为4cm．21．（10分）已知AB是⊙O的直径，延长弦AC到点D，使CD＝AC（Ⅰ）如图①，若∠BEC＝32°，求∠ABC和∠D的大小；（Ⅱ）如图②，若CE⊥AB，求∠ABC和∠D的大小．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AD，由条件可得BC垂直平分AD，∴BA＝BD，∴∠BAD＝∠D；∵∠BEC＝32°，∴∠BAD＝32°＝∠D；∴∠ABC＝58°；（2）由条件可知∠BCE+∠ACE＝∠BAC+∠ACE，∴∠BCE＝∠BAC；∵∠BEC＝∠BAC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC，△BEC是等腰三角形，∴∠EBA＝∠CBA；由（1）可知：∠DBC＝∠CBA，∴∠EBA＝∠CBA＝∠DBC，∵∠EBA+∠CBA+∠DBC＝180°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°＝∠D．22．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT＝10．（Ⅰ）如图①，若∠ATB＝45°，求直径AB的长；（Ⅱ）如图②，点C是OB上一点，若∠ATC＝45°，过点D作弦DE∥AT，与AB相交于点F，求AF和直径AB的长．【解答】解：（1）∵AT是⊙O的切线，∴AB⊥AT，即∠BAT＝90°；∵∠ATB＝45°，∴∠ABT＝45°，∴AB＝AT＝10；（2）如图②，点C是OB上一点，点C是OB上一点，连接OD，∴∠BAT＝90°，∴∠ACT＝45°＝∠ATC，∴AC＝AT＝10，∵DE∥AT，∴AB⊥DE，即∠CFD＝90°，∵∠ACT＝45°，∴∠CDF＝45°＝∠ACT，∴CF＝DF，∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，∴，∴AF＝AC﹣CF＝4，设半径为r，则OF＝r﹣4，在直角三角形DOF中，由勾股定理得：OF2+DF2＝OD2，∴（r﹣3）2+64＝r2，解得：，∴AB＝6r＝13．23．（10分）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度），血药浓度yμg/mL与时间xh满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度y与时间x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x的几组对应值：xh012345…yμg/mL0712151615…请根据相关信息，回答下列问题：（Ⅰ）①填空：该患者第一次服用该药后4h的血药浓度最高为16μg/mL；②求该患者第一次服用该药后的血药浓度y关于时间x的函数解析式；（Ⅱ）两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过24μg/mL时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）①由表格可知二次函数的顶点坐标为（4，16）；故答案为：4，16；②由①知y与x的函数关系式为y＝a（x﹣5）2+16，将点（1，3）代入得7＝a（1﹣7）2+16，解得a＝﹣1，则第一次服药后y与x的函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+16；（Ⅱ）患者存在中毒风险，理由如下：∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为3h，∴血药总浓度为y＝﹣（x﹣2）2+16+[﹣（x﹣7）6+16]，整理得，∵﹣2＜0，∴当时，y有最大值为，∵，∴该患者第一次和第二次服药间隔的时间为3h，存在中毒风险．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，直角△OAB的顶点，∠ABO＝30°，等腰直角△OCD，点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴（Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣）；（Ⅱ）将等腰直角△OCD绕点O逆时针旋转，得到△OC′D′，点C，D′，记旋转角为α．①如图②，当点D′在边AB上时，求旋转角α的大小和BD′的长；②连接AC′，点Q为AC′的中点，点P为AB的中点，求PQ的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）∵点，∴．∵∠ABO＝30°，∴，在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，∵点B在x轴的正半轴，∴B（8，0）．∵等腰直角△OCD中，∠COD＝90°，CD＝OB＝6，∴，∵点C在y轴的负半轴，∴，故答案为：（6，0），；（Ⅱ）①如图②，过点D′作D′E⊥OB于点E，交OB于点F．设D′E＝a，由（1）知，，在直角三角形OD′E中，由勾股定理得：．∵∠ABO＝30°，∴BD′＝2D′E＝6a．在直角三角形BD′E中，由勾股定理得：，∵OB＝OE+BE＝6，∴，化简，得：，解得：（不合题意，∴，，，∵OF＝D′F，∴∠OD′F＝∠D′OF，∴∠D′FE＝2∠D′OE＝6α，