新高考数学专项研究：高考题型归纳（13）计数原理与二项式定理

新高考数学专项研究：高考题型归纳（13）计数原理与二项式定理一、计数原理(一)计数原理（1）分类加法计数原理:完成一件事有n类方案,第1类方案中有m1种方法,第二类方案中有m2种方法,第n类方案中有mn种方法,那么完成这件事共有N注:分类明确,不重不漏。（2）分步乘法计数原理:完成一件事有n个步骤,做第1个步骤有m1种不同方法,做第2个步骤有m2种不同方法,⋯⋯,做第n个步骤有mn注:各步骤连续且独立,无法单独完成该事件,因而步骤要完整.1.分类加法计数原理【例】用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数个数是?解:当个位为0时,百位和十位取法为8×个位不为0时,百位也不能为0,首先个位在2,4,6,8中选取一个;百位在排除0和个位已经取的偶数的余下8个中选取;十位就在百位和个位未选取的余下8个中选取,共4×2.分步乘法计数原理【例】如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A)24(B)18(C)12(D)9解:由题意可知E→F有6种走法,F→(二)排列组合1.阶乘:一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积,规定0n2.排列(Arrangement)（1）定义:从n个不同元素中不重复地取出mm≤n个元素,按照一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,简称m排列,记为Anm(2)排列数:Anm证明:排第1个位置的元素有n个选择,排第2个位置的元素有n−1个选择,……,排第m个位置有A种排法.例:如A（3）全排列数公式:An3.组合(Combination)（1）定义:从n个不同元素中不重复地取出mm≤n个元素合成一组,不考虑其顺序,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,简称(2)组合数公式:Cnm证明:一般地,从n个不同元素中取出m个元素的排列数Anm,这个步骤可以分成两步来考虑,即首先从n个不同元素中取出m个元素的组合数为Cnm,然后每一个组合中m个元素的全排列数A（3）组合数性质:C（4）规定:C4.思考（1）类型要清楚：有序是排列,无序是组合.（2）两思考方法:元素选位置,位置选元素.（3）排列与组合:先选定元素,再进行排列.（4）思维要活跃:正向如果难,反向来思考.（1）先选再排排列数Anm是指从n个元素中取出m个元素,再将这例:从4名男生和3名女生中选3人,分别从事3项不同的工作,若这3人中只有一名女生,则选派方案有多少种。解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步第一步:确定选哪些学生,共有C42所以共有C42C（2）正难则反如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。【例】在10件产品中,有7件合格品,3件次品。从这10件产品中任意抽出3件,至少有一件次品的情况有多少种.解:如果从正面考虑,则“至少1件次品”包含1件,2件,3件次品的情况,需要进行分类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简单。N【同源练习10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,至少有1人中奖的概率是()方法一(直接法):本题考察古典概型。由题意知试验所包含的所有基本事件数为C至少有一人中奖包括:一人中奖,两人中奖,三人中奖其基本事件数为C31方法二(正难则反):所求事件的对立事件是没有人中奖,其基本事件数为C75，【例1:位置分析法】六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有【名师解析】当最左端为甲时,则其他位置共有A55种。当最左端为乙时,则最右端有四种排法即C41,其余四个位置有A4【例2:元素分析法】将A,B,C,【名师解析】从左往右,若C排第一位,则有A55=120种排法;若C排在第二位,则有A42⋅A33=72排法。若C【例3:捆绑法】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___种.【名师解析】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,∴先取2名同学看作一组,选法有:C42=6.现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:【例4:插空法】6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为()【名师解析】3人中每两人之问恰有一个空座位,有A33×2=二、二项式定理【知识归纳】1.二项式定理a其中,右边叫做二项式的展开式,系数Cnr特点:二项展开式具有n+1项,a,注意:二项式系数为Cn例1:(2019年衡水金卷)二项式ax+bxna>0,b>0解:依题得2n=256,所以n=8,在ax+bxn的展开式中令x8−2r=0⇒r=4.所以得到C84例2:二项式ax+1bx展开式中只有第6项的二项式系数最大,故n=ax+1bx故C102⋅2.二项展开式的通项公式a+bn的二项展开式第r注意:a+bn展开式的通项是第r3.常用结论结论①结论②结论③a+b(I)a−bn(II)a+ba−bn【例1】若1−2x1+ax4【名师解析】∵1−2x1+ax4