系数符号变化对形如微分方程y‘’+ay=bx+csinx通解的影响详解A3

微分方程y''±361y=±225x±53sin52x符号变化对通解的影响主要内容：根据二阶常系数非齐次线性方程的求解法则，本文以y''+361y=225x+53sin52x,y''+361y=225x-53sin52x,y''-361y=225x-53sin52x，y''-361y=225x+53sin52x,y''+361y=-225x+53sin52x,y''+361y=-225x-53sin52x,y''-361y=-225x-53sin52x，y''-361y=-225x+53sin52x,共八个微分方程为例，介绍运算符号对微分方程通解的影响。微分方程y''+361y=225x+53sin52x通解的计算解：微分方程y''+361y=225x+53sin52x的特征方程为：r2+361=0，即：r=±19i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+361y=0的通解y1为：y1=C1cos19x+C2sin19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=225x+53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=225x+53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=225，a2=0，(361-522)a3=53,解出：a1=eq\f(225,361)，a2=0，a3=-eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos19x+C2sin19x+eq\f(225,361)x-eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''+361y=225x-53sin52x通解的计算解：微分方程y''+361y=225x-53sin52x的特征方程为：r2+361=0，即：r=±19i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+361y=0的通解y1为：y1=C1cos19x+C2sin19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=225x-53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=225x-53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=225，a2=0，(361-522)a3=-53,解出：a1=eq\f(225,361)，a2=0，a3=eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos19x+C2sin19x+eq\f(225,361)x+eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''-361y=225x-53sin52x通解的计算解：微分方程y''-361y=225x-53sin52x的特征方程为：r2-361=0，即：r=±19，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-361y=0的通解y1为：y1=C1e19x+C2e-19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=225x-53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=225x-53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=225，a2=0，(361-2704)a3=-53,解出：a1=eq\f(225,361)，a2=0，a3=eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e19x+C2e-19x+eq\f(225,361)x+eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''-361y=225x+53sin52x通解的计算解：微分方程y''-361y=225x+53sin52x的特征方程为：r2-361=0，即：r=±19，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-361y=0的通解y1为：y1=C1e19x+C2e-19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=225x+53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=225x+53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=225，a2=0，(361-2704)a3=53,解出：a1=eq\f(225,361)，a2=0，a3=-eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e19x+C2e-19x+eq\f(225,361)x-eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''+361y=-225x+53sin52x通解的计算解：微分方程y''+361y=-225x+53sin52x的特征方程为：r2+361=0，即：r=±19i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+361y=0的通解y1为：y1=C1cos19x+C2sin19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=225x+53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=-225x+53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=-225，a2=0，(361-522)a3=53,解出：a1=-eq\f(225,361)，a2=0，a3=-eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos19x+C2sin19x-eq\f(225,361)x-eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''+361y=-225x-53sin52x通解的计算解：微分方程y''+361y=-225x-53sin52x的特征方程为：r2+361=0，即：r=±19i，则二阶常系数齐次线性微分方程y''+361y=0的通解y1为：y1=C1cos19x+C2sin19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=-225x-53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=-225x-53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=-225，a2=0，(361-522)a3=-53,解出：a1=-eq\f(225,361)，a2=0，a3=eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1cos19x+C2sin19x-eq\f(225,361)x+eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''-361y=-225x-53sin52x通解的计算解：微分方程y''-361y=-225x-53sin52x的特征方程为：r2-361=0，即：r=±19，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-361y=0的通解y1为：y1=C1e19x+C2e-19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=225x-53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=-225x-53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=-225，a2=0，(361-522)a3=-53,解出：a1=-eq\f(225,361)，a2=0，a3=eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e19x+C2e-19x-eq\f(225,361)x+eq\f(53,2343)sin52x。微分方程y''-361y=-225x+53sin52x通解的计算解：微分方程y''-361y=-225x+53sin52x的特征方程为：r2-361=0，即：r=±19，则二阶常系数齐次线性微分方程y''-361y=0的通解y1为：y1=C1e19x+C2e-19x.设所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos52x+a3sin52x,则：y´=a1-52a2sin52x+52a3cos52x,y''=-522a2cos52x-522a3sin52x,代入微分方程得：-522a2cos52x-522a3sin52x+361a1x+361a2cos52x+361a3sin52x=-225x+53sin52x，361a1x+(361-522)a2cos52x+(361-522)a3sin52x=-225x+53sin52x，根据对应系数相等，得：361a1=-225，a2=0，(361-522)a3=53,解出：a1=-eq\f(225,361)，a2=0，a3=-eq\f(53,2343)，所以微分方程的通解为：y=y1+y2=C1e19x+C2e-19x-eq\f(225,361)x-eq\f(53,2343)