江苏省五校2025年高二上数学期末统考试题含解析

江苏省五校2025年高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（）A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)2．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.3．已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（）A.8 B.10C. D.124．已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面.设有两个命题：：若，则；：若，则.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.5．下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.7．某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（）A.20 B.40C.60 D.808．已知函数，则（）A. B.C. D.9．已知等差数列的前n项和为Sn，首项a1=1，若，则公差d的取值范围为（）A. B.C. D.10．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.611．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.12．用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数A.24 B.12C.81 D.64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______14．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是_____________15．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则__________，的最小值为__________16．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.18．（12分）已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和19．（12分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.20．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）如图，几何体中，平面，，，，E是中点，二面角的平面角为.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用中点坐标公式直接求解【详解】在空间直角坐标系中，点，1，，，1，，则线段的中点坐标是，，，1，故选：B.2、A【解析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围【详解】对任意都有恒成立，则时，，当时恒成立，

，当时恒成立，，故选：A3、B【解析】根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于【详解】因为，，所以，故的周长为故选：B4、B【解析】利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断2个命题的真假，再利用复合命题的真值表判断选项的正误即可【详解】，表示两条不同直线，，表示两个不同平面：若，，则也可能，也可能与相交，所以是假命题，为真命题；：令直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则，则，所以是真命题，所以为假命题；所以为假命题，是真命题，为假命题，是真命题，所以为假命题故选：5、D【解析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.故选：D6、D【解析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.7、C【解析】根据给定条件利用分层抽样的抽样比直接计算作答.【详解】依题意，三年级学生的总人数为，从1500人中用分层随机抽样抽取容量为300的样本的抽样比为，所以应抽取的三年级学生的人数为.故选：C8、B【解析】求出，代值计算可得的值.【详解】因为，则，故.故选：B.9、A【解析】该等差数列有最大值，可分析得，据此可求解.【详解】，故，故有故d取值范围为.故选：A10、D【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D11、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D12、A【解析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，故答案为：14、【解析】直接根据点到直线的距离公式即可求出【详解】线段最短时，与直线垂直，所以，的最小值即为点到直线的距离，则.故答案为：.15、①.②.【解析】首先确定的正负，分别在和两种情况下求得，代入即可求得；由可求得，分别在和两种情况下结合一次函数和对勾函数单调性得到最小值，综合可得最终结果.【详解】令，解得：，则当时，；当时，；当时，；当时，；；，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，，，当时，；综上所述：.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的数列前项和的求解问题，解题关键是能够确定数列的变号项，从而以变号项为分类基准进行分类讨论得到数列的前项和；求解数列中的最值问题的关键是能够利用数列与函数的关系，结合函数单调性和来进行求解.16、5【解析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.【详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，设二次函数的解析式为，所以，解得，即，则营运的年平均利润，当且仅当，即时取等号故答案为：5.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题设，原不等式等价于，分类讨论即可得出结论；（2）不等式对任意恒成立，即，即可求实数a的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式等价于，当时，，解得，即；当时，恒成立，即；当时，，解得，即；综上，不等式的解集为；（2），，即或，解得，∴a取值范围是.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件列式求出数列的首项即可作答.(2)由(1)的结论求出，再借助裂项相消法计算作答.【小问1详解】因为数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，则有，即，解得，所以.【小问2详解】由(1)知，，则，即有，所以.19、（1）（2）【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件分别表示“被评为等级”，由题意，事件两两互斥，所以，又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”概率为；【小问2详解】设事件表示“第单被评为等级”，，则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.20、（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角21、（1）证明见解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，从而可证平面；（2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量与的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值【小问1详解】证明：取中点，又是中点，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中点，，平面，，又，平面，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，