2025年湖北省武汉市华中师大一附中数学高二第一学期期末调研试题含解析

2025年湖北省武汉市华中师大一附中数学高二第一学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，且与互相垂直，则（）A. B.C. D.2．已知函数（其中）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.3．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线4．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是A. B.C. D.5．函数区间上有（）A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值6．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于（）A. B.2C. D.48．已知数列满足，且，则（）A.2 B.3C.5 D.89．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.110．直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（）A B.C. D.11．已知是定义在上的函数，其导函数为，且，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.12．已知F为椭圆的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图将自然数，…按到箭头所指方向排列，并依次在，…等处的位置拐弯．如图作为第一次拐弯，则第33次拐弯的数是___________，超过2021的第一个拐弯数是____________14．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，则＋B－C的最小值为________15．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______16．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?18．（12分）已知圆经过，且圆心C在直线上（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆存在公共点，求实数的取值范围19．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；（2）求四棱锥的体积.20．（12分）三棱锥各棱长为2，E为AC边上中点（1）证明：面BDE；（2）求二面角的正弦值21．（12分）已知双曲线及直线（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长22．（10分）已知数列，，其中，是各项均为正数的等比数列，满足，，且（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据垂直关系可得，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，，又与互相垂直，，解得：.故选：D.2、B【解析】根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式.【详解】由图知：且，则，所以，则，即，又，可得，，则，，又，即有.综上，.故选：B3、C【解析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：设是界限上的一点，则，所以，即，在中，，所以点的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线.故选：C.4、C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.5、B【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.【详解】当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.故选：B6、D【解析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，则，令坐标原点为O，中，，又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，所以双曲线的离心率为故选：D7、A【解析】由正弦定理求解即可.【详解】因为，所以故选：A8、D【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.【详解】因为所以，，，.故选：D9、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.10、D【解析】根据题意作出示意图，根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度，再根据椭圆的定义求解出的关系，则椭圆离心率可求.【详解】设椭圆的左右焦点分别为，如下图：因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，所以且，所以，又因为的倾斜角为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：D.11、B【解析】令，再结合，和已知条件将问题转化为，最后结合单调性求解即可.【详解】解：令，则，因为，所以，即函数为上的增函数，因为，不等式可化为，所以，故不等式的解集为故选：B12、D【解析】根据题意表示出点的坐标，再由直线AB的斜率为，列方程可求出椭圆的离心率【详解】由题意得，，当时，，得，由题意可得点在第一象限，所以，因为直线AB的斜率为，所以，化简得，所以，，得（舍去），或，所以离心率，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据题意得到拐弯处的数字与其序数的关系，归纳得到当为奇数为；当为为偶数为，分别代入，即可求解.【详解】解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表：拐弯的序数012345678拐弯处的数1235710131721观察拐弯处的数字的规律：第1个数；第3个数；第5个数；第7个数；，所以当为奇数为；同理可得：当为为偶数为；第33次拐弯的数是，当时，可得，当时，可得，所以超过2021第一个拐弯数是.故答案为：；.14、2【解析】因为{an}为等差数列，设公差为d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.15、##2.9375【解析】先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.【详解】①，当时，；当时，②，①-②得：，即又满足，所以由，得令，则，两式相减得，则所以新数列的前70项和为故答案为：16、24【解析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.【详解】依题意，，，又，解得，，则有，即，连接，如图，因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，因此，四边形是平行四边形，，所以的面积为24.故答案为：24三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价为268800元.【解析】（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米可得底面积为1600，池壁面积s=.（2）同时池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元设池底长方形长为x米，则可知总造价s=,x=40时，则.故可知当x=40时，则有可使得总造价最低,最低造价是268800元.考点：不等式求解最值点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题.18、（1）（2）【解析】（1）因为圆心在直线上，可设圆心坐标为，利用圆心到圆上两点的距离相等列出等式求解即可.（2）直线与圆存在公共点，即圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等关系求解即可.【小问1详解】解：因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为，因为圆经过，，所以，即：，解方程得，圆心坐标为，半径为，圆的标准方程为：【小问2详解】圆心到直线的距离且直线与圆有公共点即19、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，因为，分别为，的中点，所以且因为且，所以，且，所以四边形为平行四边形，可得，因为面，面，所以平面；（2）过点作于点，因为平面，面，所以平面面，因为，面，平面面，所以面，因为，，所以，，所以，即，所以，即为四棱锥的高，所以.20、（1）证明见解析（2）【解析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图所示坐标系，则，易知平面BCD的法向量，利用空间向量法求出面BDE的法向量，结合向量的数量积计算即可得出结果.【小问1详解】正四面体中各面分别是正三角形，E为AC边上中点，，又平面，且，所以面BDE【小问2详解】建立如图所示坐标系，于是，，，，，易知平面BCD的法向量设面BDE的法向量，于是，令，则，，所以，所以，得所以二面角的正弦值为.21、（1）且；（2）【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与