2025-2026学年浙江省舟山市五校联盟高二上学期10月调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月调研数学试题一、单项选择题：每小题5分，共40分．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，由直线方程可知直线的斜率，即，可得，所以直线倾斜角为.故选：D.2.已知圆的方程为，则该圆的半径为（）A. B.3 C. D.9【答案】B【解析】由配方，可得，故该圆的半径为3.故选：B.3.如图，在平行六面体中，若，与相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在平行六面体中，由，根据空间向量的线性运算法则，可得.故选：C.4.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，曲线的图像为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过，根据题意画出图形，如图所示．由图可知当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离，即，解得；当直线l过点时，直线l的斜率，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选：B.5.空间四边形中，，则的值是（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】在空间四边形中，，则，所以.故选：D.6.方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，或，由，直线，和直线的交点为，把代入中，得，显然直线，直线，直线是三条不同的直线，故选：A.7.在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因点Q在直线上运动，则，设，于是，因为，，所以，，因此，，于是得，当时，，此时点，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：D.8.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆心C的横坐标为a，得圆心C的坐标为，则圆的方程为，设，由，得，整理得，因此点在以为圆心，为半径的圆上，依题意，圆与圆有公共点，则，即，整理得，解得，所以圆心的横坐标的取值范围为.故选：C.二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，设直线在轴上的截距分别为，则方程为，且，又因为直线过点，所以，即，解得或，故所求直线的方程为或，即或.故选：BD.10.已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（）A.当时，直线l被圆截得的弦长为B.当时，圆上到直线的距离为1的点有3个C.存在实数，使得直线与圆相切D.若直线与圆相交，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】由得，所以圆的圆心为，半径为，对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确，对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又，则，，所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，对于C，由，得到，解得或，所以当或时，圆心到直线的距离等于半径，即存实数，使得直线与圆相切，所以C正确，对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到，解得，所以D正确，故选：ACD.11.已知四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.当时，三棱锥的体积为2C.若为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为D.若为的中点，当平面时，【答案】ABD【解析】若为的中点，为等边三角形，则，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，由底面为正方形，则，，平面，所以平面，平面，则，A对，当，故到平面的距离是到平面的距离的3倍，由平面，则，而等边的边长均为，则，所以，又底面为正方形的边长也为，则，所以，B对，当为的中点，连接交于，则是的中点，故且，如下图，所以异面直线与所成角为或其补角，而，由平面，平面，则，同理，而，所以，，则，则，则，C错，若为的中点，连接，则必过，即是的中点，若，连接，其中，且平面，平面，所以平面平面，而平面，平面，所以，而是的中点，则是中点，在中，则，，由，由，，而，则，D对.故选：ABD.三、填空题：每小题5分，共15分．12.已知向量，且与互相垂直，则_________．【答案】【解析】已知向量，则又与互相垂直，所以，解得.故答案为：.13.过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________．【答案】【解析】结合题意，作图如下：圆圆心，半径，，则，，由圆的对称性可知，则，解得.故答案为：.14.已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________．【答案】6【解析】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,可得，解得，即，则，且直线，联立的方程得，解得，即的交点坐标为，则点到直线的距离，所以这三条直线围成的三角形面积为．故答案为：6．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两直线，．（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；（2）已知两点，，①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系；②动点P在直线运动，求的最小值．解：（1）联立方程，解得；因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.（2）①以、为直径圆的方程为，整理得，故该圆的圆心为，半径为，故圆心到直线的距离为故直线与圆的位置关系为相离.②设点关于直线对称的点为，则，解得，即；则,故的最小值为.16.已知直线经过点．（1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程．解：（1）若截距为0，则该直线方程为；若截距不为0，不妨设轴上的截距为，则轴上的截距为，该直线方程为，将点代入解得，即，综上直线的方程为或.（2）由题意可设，则，且，由基本不等式可知，所以，则，当且仅当时取得最小值，此时.17.已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，、、分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的正弦值．（1）证明：取中点，连接，．因为P为中点，Q为中点，所以且，又因为M为中点，且直三棱柱中，，则，所以四边形为平行四边形，所以．由于平面，平面，可得平面．（2）证明：因为为等腰直角三角形，，为的中点，所以，因为直三棱柱中，平面，平面，所以．因为，平面，所以平面，因为平面，所以．设，则．在直角中，，在直角中，，在直角中，，所以，根据勾股定理得，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（3）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，则，．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．则．设二面角的平面角为，，所以．18.已知顶点坐标分别为．（1）求的外接圆的方程；（2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围；（3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点．（1）解：设圆的一般方程为：，依题意，有，解得，故的外接圆圆的方程为.（2）解：设，由代入点的坐标，可得，整理得，易得，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆).依题意，圆与圆有公共点.圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2，而，所以在圆外，所以，解得.即实数的取值范围为.（3）证明：依题意，设直线的方程为，由联立消去，可得，则由可得，设，则（*），则，即，将（*）式代入整理上式得：，故得或.当时，直线经过原点，不合题意；当时，直线经过定点.19.定义：若一个四面体的两组对棱分别相等（即），则称该四面体为空间菱形．已知空间菱形中，．（1）若平面平面，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求该空间菱形的体积；（3）若，那么在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解：（1）设中点为点，连接，因为四面体为空间菱形．所以，根据等腰三角形的性质可知：，所以是二面角的平面角，当平面平面时，有由，，可得，因为，所以有；（2）由（1）可知，因为平面，所以平面，由（1）可知，所以，所以空间菱形的体积为；（3）把空间菱形放在长方体中，如下图所示：建立如图所示的空间直角坐标系，设，由长方体的性质可得：，于是，设棱上存在一点，使得平面与平面的夹角为，设，设，则有，所以，，设平面的法向量为，于是有，设平面的法向量为，于是有因为平面与平面的夹角为，所以，解得，因为，所以，因此棱上存在一点，使得平面与平面的夹角为，此时.浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月调研数学试题一、单项选择题：每小题5分，共40分．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，由直线方程可知直线的斜率，即，可得，所以直线倾斜角为.故选：D.2.已知圆的方程为，则该圆的半径为（）A. B.3 C. D.9【答案】B【解析】由配方，可得，故该圆的半径为3.故选：B.3.如图，在平行六面体中，若，与相等的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在平行六面体中，由，根据空间向量的线性运算法则，可得.故选：C.4.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，曲线的图像为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过，根据题意画出图形，如图所示．由图可知当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离，即，解得；当直线l过点时，直线l的斜率，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选：B.5.空间四边形中，，则的值是（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】在空间四边形中，，则，所以.故选：D.6.方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，或，由，直线，和直线的交点为，把代入中，得，显然直线，直线，直线是三条不同的直线，故选：A.7.在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因点Q在直线上运动，则，设，于是，因为，，所以，，因此，，于是得，当时，，此时点，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：D.8.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆心C的横坐标为a，得圆心C的坐标为，则圆的方程为，设，由，得，整理得，因此点在以为圆心，为半径的圆上，依题意，圆与圆有公共点，则，即，整理得，解得，所以圆心的横坐标的取值范围为.故选：C.二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，设直线在轴上的截距分别为，则方程为，且，又因为直线过点，所以，即，解得或，故所求直线的方程为或，即或.故选：BD.10.已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（）A.当时，直线l被圆截得的弦长为B.当时，圆上到直线的距离为1的点有3个C.存在实数，使得直线与圆相切D.若直线与圆相交，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】由得，所以圆的圆心为，半径为，对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确，对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又，则，，所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，对于C，由，得到，解得或，所以当或时，圆心到直线的距离等于半径，即存实数，使得直线与圆相切，所以C正确，对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到，解得，所以D正确，故选：ACD.11.已知四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.当时，三棱锥的体积为2C.若为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为D.若为的中点，当平面时，【答案】ABD【解析】若为的中点，为等边三角形，则，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，由底面为正方形，则，，平面，所以平面，平面，则，A对，当，故到平面的距离是到平面的距离的3倍，由平面，则，而等边的边长均为，则，所以，又底面为正方形的边长也为，则，所以，B对，当为的中点，连接交于，则是的中点，故且，如下图，所以异面直线与所成角为或其补角，而，由平面，平面，则，同理，而，所以，，则，则，则，C错，若为的中点，连接，则必过，即是的中点，若，连接，其中，且平面，平面，所以平面平面，而平面，平面，所以，而是的中点，则是中点，在中，则，，由，由，，而，则，D对.故选：ABD.三、填空题：每小题5分，共15分．12.已知向量，且与互相垂直，则_________．【答案】【解析】已知向量，则又与互相垂直，所以，解得.故答案为：.13.过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________．【答案】【解析】结合题意，作图如下：圆圆心，半径，，则，，由圆的对称性可知，则，解得.故答案为：.14.已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________．【答案】6【解析】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,可得，解得，即，则，且直线，联立的方程得，解得，即的交点坐标为，则点到直线的距离，所以这三条直线围成的三角形面积为．故答案为：6．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两直线，．（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；（2）已知两点，，①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系；②动点P在直线运动，求的最小值．解：（1）联立方程，解得；因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.（2）①以、为直径圆的方程为，整理得，故该圆的圆心为，半径为，故圆心到直线的距离为故直线与圆的位置关系为相离.②设点关于直线对称的点为，则，解得，即；则,故的最小值为.16.已知直线经过点．（1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程．解：（1）若截距为0，则该直线方程为；若截距不为0，不妨设轴上的截距为，则轴上的截距为，该直线方程为，将点代入解得，即，综上直线的方程为或.（2）由题意可设，则，且，由基本不等式可知，所以，则，当且仅当时取得最小值，此时.17.已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，、、分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的正弦值．（1）证明：取中点，连接，．因为P为中点，Q为中点，所以且，又因为M为中点，且直三棱柱中，，则，所以四边形为平行四边形，所以．由于平面，平面，可得平面．（2）证明：因为为等腰直角三角形，，为的中点，所以，因为直三棱柱中，平面，平面，所以．因为，平面，所以平面，因为平面，所以．设，则．在直角中，，在直角中，，在直角中，，所以，根据勾股定理得，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（3）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，则，．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．则．设