2026届四川省部分高中高三上学期第一次联合质检考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省部分高中2026届高三上学期第一次联合质检考试数学试题一、单选题1．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（

）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4C．62.8，63.6 D．62.8，3.6【答案】D【解析】平均数是2.8+60=62.8，根据方差公式可知方差不变．故选：D.2．已知复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则zA．52 B．5 C．3 D．【答案】B【解析】由题设z=1+2ii故选：B.3．已知集合M=-1,0,1,2，N=x|-2<x-1<1，则M∩N=（A．0,1 B．-1,0 C．-1,0,1 D．0,1,2【答案】A【解析】因为M=-1,0,1,2，N=由交集定义可得，M∩N=0,1故选：A.4．若集合A=xx<4,B=x1A．-∞,1 B．0,1 C．-∞【答案】D【解析】由1x≥1得x-1x≤0，则所以B=0,1，则∁所以A∩∁故选：D.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a-bc-b=sinCsinA．π6 B．π3 C．2π3 D【答案】B【解析】因为a-bc-b=sinCsin由余弦定理得cosA=又因为A∈0,π，所以故选：B．6．抛物线x2=-4y的焦点到准线的距离为（A．4 B．2 C．12 D．【答案】B【解析】由题意知该抛物线的焦点为0,-1，准线方程为y=1，故焦点到准线的距离为2，故选：B.7．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1013=1，则A．1 B．20252 C．2025 D．【答案】C【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn，且则a1+a故选：C.8．若α，β为锐角，cosπ4+α=13，A．33 B．-33 C．-【答案】D【解析】因为0<α<π2，则π4可得π4<α+π又因为0<β<π2，则且cosπ4+所以cos=13×故选：D.二、多选题9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下a1尺，第二天截取剩下的一半后剩下a2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下a5A．a5a2C．a3-a【答案】BCD【解析】根据题意可得an是首项为12，公比为12a5a2=q3=1a3=18，a4a1+a故选：BCD．10．已知fx定义域为R，fx=f2-x，且fx=-f-x，当A．直线x=5是fxB．fx在[-2025,-2023]C．fD．设y=12025x与fx图象的第i个交点为xi,yi（i∈【答案】ACD【解析】由题可知：fx=f2-x，可知函数关于x=1所以fx=f2-x即f2+x=-fx⇒fx+4=f对A，由函数关于x=1对称，且4为函数fx的一个周期，故x=5是f对B，-2025=-506×4-1,-2023=-2024+1，所以函数在-2025,-2023的单调性与函数在-1,1单调性相同，由x∈0,1，fx=x，且函数为R上的奇函数，所以函数f对C,f0=0,f又f2025=f506×4对D，函数y=12025x为R上的奇函数，函数fx也为且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以x1+故选：ACD.11．“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于a×b=absina,b，其方向满足a⊥a×b，b⊥aA．S△ABC=1C．AB×AC=【答案】ABD【解析】对于A，根据外积定义可得AB×又S△ABC=1对于B，AB×AC=ABAC对于C，根据定义可得AB×AC，即AB×AC=-对于D，BC×BD=23，根据定义得BC×所以BC×BD=-故选：ABD.三、填空题12．已知a=(2,3)，b=(x,2)，若a⊥b【答案】-3【解析】向量a=(2,3)，b=(x,2)，且a⊥所以x=-3.故答案为：-3.13．若函数fx在R上可导，fx=2xf【答案】-【解析】因为f(x)=2xf'(把x=e代入得f'(故答案为：-114．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点.且BC1//平面AB1D，则A【答案】1；π【解析】取AC的中点为E，分别连接C1E和细查题意知，只有当D是A1当D是A1C1的中点时，AD//EBE//平面AB1E，∵BE∩EC∴平面BEC1//∵BC1⊂∴BC1//∵平面ADB1//又平面AA1CC1∩平面∴AD//C1∴四边形ADC∴AE=DC1=12所以A1球面与侧面AA∵AB=BC=1，AC=2∴AB2+BC2取A1B1的中点为D∵平面A1B1C1∩平面∴D'D⊥平面平面圆心距DD'=12截面圆半径D'又因为PQ=1，所以△PDPQ=故答案为：1，π3四、解答题15．已知fx（1）求fx（2）将函数fx的图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，求gx解：（1）fx由π2+2kπ≤2x-π∴fx的单调减区间为π3+k（2）由题意得gx∵π6≤x≤7π∴-3≤2cos∴gx在π6,16．已知椭圆C：x2a2+y2b（1）求C的方程：（2）过点M0,1直线l与椭圆有两个交点A，B，已知y轴上点N0,3，求证：（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b由椭圆C过点(1,32)，得1所以椭圆C的方程为x2（2）证明：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程l：y=kx+1，由x24+y2设A(x1,则x1+x所以kNA+k17．已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60∘，△PBD（1）求证：AC⊥PD；（2）求二面角P-BC-A的平面角的正切值；（3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点E此时所在的位置.（1）证明：因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，所以PO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PO∩BD=O，PO、BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．（2）解：如图，过P在平面PBC内作PH⊥BC于H，连接OH，因为OP⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩PH=P，PO、PH⊂平面POH，所以BC⊥平面POH，又OH⊂平面POH，所以BC⊥OH，故∠PHO为二面角P-BC-A的平面角，因菱形ABCD中，∠BAD=60∘，则BD=2，又△PBD是等边三角形，故PO=3由S△OBC=1在Rt△POH中，tan∠PHO=POOH=2（3）解：因为AD//BC，且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC，所以AD//所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h，因为VD-PBC=V即h⋅PH⋅BC=OP⋅BC⋅BDsin所以h=OP⋅BD设直线PE与平面PBC所成的角为θ，则θ∈[0,π2]因正弦函数在第一象限单调递增，故要使sinθ最大，即使θ最大，则需使PE此时PE⊥AD，由对称性知，PE=PH=(所以DE=PD2故当点E在线段AD上靠近D点的14处时，直线PE与平面PBC所成的角最大，且最大角的正弦值为418．设函数ux=ln（1）求m的取值范围；（2）若fa=fb，且a>b>-m（1）解：函数ux=ln因为u'故ux在0,+由um>0=u1（2）证明：因为fa=fb即lna+m即lna+m由（1）可知对任意x∈1,+∞，有lnx-2因为a+m>b+m>0，所以a+mb+m令x=a+mb+m>1即lna+m则lna+m即1u即a+b+2m>u故a+b+m>um19．设an是项数为mm≥3,m∈N*且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列bn称为an的“m-等比关联数列”：①数列bn的项数为mm-12m≥3,m∈N（1）已知数列bn是an的“3-等比关联数列”，且a1=1，a2（2）已知数列bn是an的“4-等比关联数列”，且an的前3项成等比数列的概率为P（3）证明：an不存在“5-等比关联数列”b（1）解：因为a1=1，a2由定义可知，b1故数列bn的通项公式为b（2）解：因为an中4项均不相同，所以an有A44=24假设a1<a2<a3<a设bn的公比为qq>1，则又数列bn的第三项b3=或第三项b3=a所以b3且b4=b3q=或b3且b4=b3q=这两种情况，不能同时成立，使得an的前3项为等比数列有4故P=4（3）证明：当n=5时，假设an的各项从小到大排列，此时数列bn有则b1=a1a2，因为bn是等比数列，所以b1b10=设bn的公比为qq>1，则q=a所以b3=b剩余四项为a1a5，a2a又公比q=a3a2=a4a3，所以a2a当b4=a1a5时，当b7=a1a5时，因此当n=5时，an不存在“5-等比关联数列”b四川省部分高中2026届高三上学期第一次联合质检考试数学试题一、单选题1．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（

）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4C．62.8，63.6 D．62.8，3.6【答案】D【解析】平均数是2.8+60=62.8，根据方差公式可知方差不变．故选：D.2．已知复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则zA．52 B．5 C．3 D．【答案】B【解析】由题设z=1+2ii故选：B.3．已知集合M=-1,0,1,2，N=x|-2<x-1<1，则M∩N=（A．0,1 B．-1,0 C．-1,0,1 D．0,1,2【答案】A【解析】因为M=-1,0,1,2，N=由交集定义可得，M∩N=0,1故选：A.4．若集合A=xx<4,B=x1A．-∞,1 B．0,1 C．-∞【答案】D【解析】由1x≥1得x-1x≤0，则所以B=0,1，则∁所以A∩∁故选：D.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a-bc-b=sinCsinA．π6 B．π3 C．2π3 D【答案】B【解析】因为a-bc-b=sinCsin由余弦定理得cosA=又因为A∈0,π，所以故选：B．6．抛物线x2=-4y的焦点到准线的距离为（A．4 B．2 C．12 D．【答案】B【解析】由题意知该抛物线的焦点为0,-1，准线方程为y=1，故焦点到准线的距离为2，故选：B.7．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1013=1，则A．1 B．20252 C．2025 D．【答案】C【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn，且则a1+a故选：C.8．若α，β为锐角，cosπ4+α=13，A．33 B．-33 C．-【答案】D【解析】因为0<α<π2，则π4可得π4<α+π又因为0<β<π2，则且cosπ4+所以cos=13×故选：D.二、多选题9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下a1尺，第二天截取剩下的一半后剩下a2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下a5A．a5a2C．a3-a【答案】BCD【解析】根据题意可得an是首项为12，公比为12a5a2=q3=1a3=18，a4a1+a故选：BCD．10．已知fx定义域为R，fx=f2-x，且fx=-f-x，当A．直线x=5是fxB．fx在[-2025,-2023]C．fD．设y=12025x与fx图象的第i个交点为xi,yi（i∈【答案】ACD【解析】由题可知：fx=f2-x，可知函数关于x=1所以fx=f2-x即f2+x=-fx⇒fx+4=f对A，由函数关于x=1对称，且4为函数fx的一个周期，故x=5是f对B，-2025=-506×4-1,-2023=-2024+1，所以函数在-2025,-2023的单调性与函数在-1,1单调性相同，由x∈0,1，fx=x，且函数为R上的奇函数，所以函数f对C,f0=0,f又f2025=f506×4对D，函数y=12025x为R上的奇函数，函数fx也为且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以x1+故选：ACD.11．“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于a×b=absina,b，其方向满足a⊥a×b，b⊥aA．S△ABC=1C．AB×AC=【答案】ABD【解析】对于A，根据外积定义可得AB×又S△ABC=1对于B，AB×AC=ABAC对于C，根据定义可得AB×AC，即AB×AC=-对于D，BC×BD=23，根据定义得BC×所以BC×BD=-故选：ABD.三、填空题12．已知a=(2,3)，b=(x,2)，若a⊥b【答案】-3【解析】向量a=(2,3)，b=(x,2)，且a⊥所以x=-3.故答案为：-3.13．若函数fx在R上可导，fx=2xf【答案】-【解析】因为f(x)=2xf'(把x=e代入得f'(故答案为：-114．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为棱A1C1上的点.且BC1//平面AB1D，则A【答案】1；π【解析】取AC的中点为E，分别连接C1E和细查题意知，只有当D是A1当D是A1C1的中点时，AD//EBE//平面AB1E，∵BE∩EC∴平面BEC1//∵BC1⊂∴BC1//∵平面ADB1//又平面AA1CC1∩平面∴AD//C1∴四边形ADC∴AE=DC1=12所以A1球面与侧面AA∵AB=BC=1，AC=2∴AB2+BC2取A1B1的中点为D∵平面A1B1C1∩平面∴D'D⊥平面平面圆心距DD'=12截面圆半径D'又因为PQ=1，所以△PDPQ=故答案为：1，π3四、解答题15．已知fx（1）求fx（2）将函数fx的图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，求gx解：（1）fx由π2+2kπ≤2x-π∴fx的单调减区间为π3+k（2）由题意得gx∵π6≤x≤7π∴-3≤2cos∴gx在π6,16．已知椭圆C：x2a2+y2b（1）求C的方程：（2）过点M0,1直线l与椭圆有两个交点A，B，已知y轴上点N0,3，求证：（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b由椭圆C过点(1,32)，得1所以椭圆C的方程为x2（2）证明：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程l：y=kx+1，由x24+y2设A(x1,则x1+x所以kNA+k17．已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60∘，△PBD（1）求证：AC⊥PD；（2）求二面角P-BC-A的平面角的正切值；（3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点E此时所在的位置.（1）证明：因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，所以PO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PO∩BD=O，PO、BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．（2）解：如图，过P在平面PBC内作PH⊥BC于H，连接OH，因为OP⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩PH=P，PO、PH⊂平面POH，所以BC⊥平面POH，又OH⊂平面POH，所以BC⊥OH，故∠PHO为二面角P-BC-A的平面角，因菱形ABCD中，∠BAD=60∘，则BD=2，又△PBD是等边三角形，故PO=3由S△OBC=1在Rt△POH中，tan∠PHO=POOH=2（3）解：因为AD//BC，且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC，所以AD//所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h，因为VD-PBC=V即h⋅PH⋅BC=OP⋅BC⋅BDsin所以h=OP⋅BD设直线PE与平面PBC所成的角为θ，则θ∈[0,π2]因正弦函数在第一象限单调递增，故要使sinθ最大，即使θ最大，则需使PE此