2026届重庆市部分学校高三上学期9月开学调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市部分学校2026届高三上学期9月开学调研考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】1-i故选：C.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知B=-1,3，所以.故选：B3.已知向量，若，则实数（）A.7 B.5 C.3 D.2【答案】A【解析】，由可得，解得．故选：A．4.已知，则（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】已知，所以.已知，所以，.结合α+β∈0,π4可得，.根据两角差的正弦公式可得.故选：A.5.利用一只小白鼠进行的一项记忆功能试验中，训练次数与完成任务的时间（单位：分）的一元线性回归方程为：，则这只小白鼠完成任务的平均时长约为（）A.23分 B.25分 C.26分 D.28分【答案】C【解析】训练次数的平均值，由于在线性回归方程上，则.故选：C.6.将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为，所以，.故选：B.7.已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由f-x=2所以当fa<-5时，故选：D.8.若函数fx=sin2x+φ(0≤φ<2π)的图象关于对称，且在上单调递增，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由于的图象关于对称，所以f5π因为4≤φ<2π，所以或.若，则2x+π4所以在上单调递减，不合题意；若，则2x+5π4所以fx=sin2x+故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某年级某班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么（）A.若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生B.若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为C.若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为D.若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同【答案】AC【解析】因为抽签法是简单随机抽样，抽样是随机的，班里有30名男生，所以存在抽到9名男生的可能性，故A正确；总共有名学生，采用抽签法时，男生甲被抽到的概率为，故B错误；在按比例分层随机抽样中，女生应抽取的人数为名，女生乙被抽到的概率为，故C正确；在按比例分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于，所以男生甲和女生乙被抽到的概率相同，故D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.当时，B.的图象关于点对称C.是的极大值D.在上单调递增【答案】ABD【解析】对于A选项，当时，，，则，故A正确；对于B选项，，，，，关于对称，故B正确；对于C选项，，，故不是极值点，即不是的极大值，故C错误；对于D选项，，当时，，即在上单调递增，故D正确.故选：ABD.11.已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，经过的直线与相交于两点，则（）A.的长轴长与短轴长之比为B.C.当时，的面积为D.若，则【答案】BCD【解析】由，可得，A错误，当点为上（或下）顶点时，，易知，所以为等边三角形，则∠F1当点为左（或右）顶点时，则∠F1PF2min当时，点为上（或下）顶点，，，不妨设点在轴上方，则直线为y=3x+a2令，联立，则，所以，得到，则对应，则S△PQF2=12×a×32由题意，设直线为，联立，整理得3m2+4y2若，则yP=2yQ所以-yQ=3ma3所以直线的斜率为，均有sin∠PF1F2=故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的焦点到准线的距离是__________.【答案】1.【解析】由已知，抛物线的焦点为，准线为，故抛物线的焦点到准线的距离是1.故答案为：1.13.函数在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】，，，则切线方程为，即.故答案为：.14.口袋中有5个相同的球，分别标有数字.从中有放回地随机抽取次，每次取1个球.当时，每个球恰都被取到1次的概率为__________；记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的平均值为__________.【答案】①.②.【解析】①当时，总的取球方法数为，每个球恰都被取到1次的情形有，所以每个球恰都被取到1次的概率为.②若有放回地随机抽取次，记这5个球至少被取出1次的球的个数为，记Xi则，且，从而.故答案为：；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，且，.（1）证明：是等差数列；（2）求的前项和.【答案】（1）证明：由，两边除以得，，又，所以是首项为，公差为1的等差数列，（2）解：由（1）可得，所以，故，所以.16.已知是正四棱柱.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明：由题意，平面，因为平面，所以，在正方形中，⊥，因为平面且，所以平面，又平面，所以有平面平面；（2）解：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，所以有，则有，设平面的法向量为，则有AD取法向量为，又平面的法向量，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知中，内角的对边分别为，，.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】解：（1）由正弦定理，，因为，所以或，当时，；当时，，所以或.（2）由题意，则，所以，因为，又因为，所以，又由正弦定理，所以，所以的面积.18.已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）已知是上的三个不同点.①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求；②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值.【答案】解：（1）由题意，且，所以，故曲线的方程为.（2）如图，①若，设Qx2因为，所以x2-2因为在双曲线上，所以.以上三个方程联立，解得或.当时，则，由PQ=QR，得x2再由，可解得x2=14,此时QR=当时，因为在同一支上，则不满足条件，舍，所以QR=8②根据条件均存在知均不为零，设点，三角形外心，则有，两两相减可得：k1则的中垂线为y-y1将代入则：y-y1+y又点在直线上，所以有①同理有的中垂线为，又点在直线上，所以有②由①②得，，整理得：，即，则有.19.设函数.（1）讨论的单调性和极值；（2）证明：；（3）已知为常数，且，若∀x1,x2【答案】（1）解：的定义域为，当时，时，.所以在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值.（2）证明：要证明，即证明，令，则，当时，单调递减；时，单调递增，所以，得证.（3）证明：不妨设，令，则有，，因为，故，故，又，所以，则，令，其中，，因为，所以，故，所以在上是增函数，其中当时，由洛必达法则可知，故，当时，，要使成立，则需满足-Ct对于②式，由（2）知，有，即，则，则要使②恒成立，只需，即，两边取对数得，解得，，又，，故；对于①式，则有，取对数有，则有，令，则，令，则，令，则有，令得s∈eC,+∞，令得s∈所以在单调递减，在单调递增，，所以，综上，.重庆市部分学校2026届高三上学期9月开学调研考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】1-i故选：C.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知B=-1,3，所以.故选：B3.已知向量，若，则实数（）A.7 B.5 C.3 D.2【答案】A【解析】，由可得，解得．故选：A．4.已知，则（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】已知，所以.已知，所以，.结合α+β∈0,π4可得，.根据两角差的正弦公式可得.故选：A.5.利用一只小白鼠进行的一项记忆功能试验中，训练次数与完成任务的时间（单位：分）的一元线性回归方程为：，则这只小白鼠完成任务的平均时长约为（）A.23分 B.25分 C.26分 D.28分【答案】C【解析】训练次数的平均值，由于在线性回归方程上，则.故选：C.6.将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为，所以，.故选：B.7.已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由f-x=2所以当fa<-5时，故选：D.8.若函数fx=sin2x+φ(0≤φ<2π)的图象关于对称，且在上单调递增，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由于的图象关于对称，所以f5π因为4≤φ<2π，所以或.若，则2x+π4所以在上单调递减，不合题意；若，则2x+5π4所以fx=sin2x+故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某年级某班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么（）A.若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生B.若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为C.若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为D.若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同【答案】AC【解析】因为抽签法是简单随机抽样，抽样是随机的，班里有30名男生，所以存在抽到9名男生的可能性，故A正确；总共有名学生，采用抽签法时，男生甲被抽到的概率为，故B错误；在按比例分层随机抽样中，女生应抽取的人数为名，女生乙被抽到的概率为，故C正确；在按比例分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于，所以男生甲和女生乙被抽到的概率相同，故D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.当时，B.的图象关于点对称C.是的极大值D.在上单调递增【答案】ABD【解析】对于A选项，当时，，，则，故A正确；对于B选项，，，，，关于对称，故B正确；对于C选项，，，故不是极值点，即不是的极大值，故C错误；对于D选项，，当时，，即在上单调递增，故D正确.故选：ABD.11.已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，经过的直线与相交于两点，则（）A.的长轴长与短轴长之比为B.C.当时，的面积为D.若，则【答案】BCD【解析】由，可得，A错误，当点为上（或下）顶点时，，易知，所以为等边三角形，则∠F1当点为左（或右）顶点时，则∠F1PF2min当时，点为上（或下）顶点，，，不妨设点在轴上方，则直线为y=3x+a2令，联立，则，所以，得到，则对应，则S△PQF2=12×a×32由题意，设直线为，联立，整理得3m2+4y2若，则yP=2yQ所以-yQ=3ma3所以直线的斜率为，均有sin∠PF1F2=故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的焦点到准线的距离是__________.【答案】1.【解析】由已知，抛物线的焦点为，准线为，故抛物线的焦点到准线的距离是1.故答案为：1.13.函数在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】，，，则切线方程为，即.故答案为：.14.口袋中有5个相同的球，分别标有数字.从中有放回地随机抽取次，每次取1个球.当时，每个球恰都被取到1次的概率为__________；记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的平均值为__________.【答案】①.②.【解析】①当时，总的取球方法数为，每个球恰都被取到1次的情形有，所以每个球恰都被取到1次的概率为.②若有放回地随机抽取次，记这5个球至少被取出1次的球的个数为，记Xi则，且，从而.故答案为：；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，且，.（1）证明：是等差数列；（2）求的前项和.【答案】（1）证明：由，两边除以得，，又，所以是首项为，公差为1的等差数列，（2）解：由（1）可得，所以，故，所以.16.已知是正四棱柱.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明：由题意，平面，因为平面，所以，在正方形中，⊥，因为平面且，所以平面，又平面，所以有平面平面；（2）解：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，所以有，则有，设平面的法向量为，则有AD取法向量为，又平面的法向量，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知中，内角的对边分别为，，.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】解：（1）由正弦定理，，因为，所以或，当时，；当时，，所以或.（2）由题意，则，所以，因为，又因为，所以，又由正弦定理，所以，所以的面积.18.已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）已知是上的三个不同点.①若，