2026届北京市东城五中数学高二上期末预测试题含解析

2026届北京市东城五中数学高二上期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“若”为真命题，那么p是（

）A. B.C. D.2．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A.3 B.C. D.3．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是1，且，.记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.54．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A. B.2C.2 D.46．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.17．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.48．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．执行下图所示的程序框图，则输出的值为（）A.5 B.6C.7 D.810．已知向量，，且，则实数等于（）A1 B.2C. D.11．①直线在轴上的截距为；②直线的倾斜角为；③直线必过定点；④两条平行直线与间的距离为.以上四个命题中正确的命题个数为（）A. B.C. D.12．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在单位正方体中，点E为AD的中点，过点B，E，的平面截该正方体所得的截面面积为______.14．抛物线的焦点坐标是______.15．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.16．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距离点为米.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？18．（12分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中个零件方可通过．道备选题中，考生甲有个零件能正确加工完成，个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是，且每个零件正确加工完成与否互不影响（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力19．（12分）已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值20．（12分）已知椭圆的上下两个焦点分别为，，过点与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△的面积为，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围21．（12分）已知数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若数列，，求前项和.22．（10分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：年份201220132014201520162017201820192020年份代码x123456789盈利y（百万）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）参考数据及公式：，，，，，统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求不等式的解集，根据解集判断p.【详解】由解得-2<x<4，所以p是.故选：A.2、D【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，所以，则，所以，所以故选：D.3、C【解析】先利用序列的所有项都是1，得到，整理后得到是等比数列，进而求出公比和首项，从而求出和，利用，列出不等式，求出，从而得到的最小值【详解】因为，，所以，又序列的所有项都是1，所以它的第项，所以，所以数列是等比数列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值为4.故选：C.4、C【解析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.【详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.5、B【解析】如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)，圆半径|AM|=，圆心M(−1,0)到直线x+y−1=0的距离：|，∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长：.故选B.点睛:本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大.2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.6、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.7、B【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆，圆，所以，，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B8、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A9、C【解析】直接按照程序框图运行即可得正确答案.【详解】当时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，成立，输出的值为，故选：C.10、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C11、B【解析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.【详解】对于①，直线，令，则，直线在轴上的截距为-，则①错误；对于②，直线的斜率为，倾斜角为，则②正确；对于③直线，由点斜式方程可知直线必过定点，则③正确；对于④，两条平行直线与间的距离为，则④错误.故选：B.12、B【解析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，取的中点，连接、、、，分析可得四边形为平行四边形，则要求的截面就是四边形，进而可得为菱形，连接、，求出、的长，计算可得答案【详解】根据题意，取的中点，连接、、、，易得，，则四边形为平行四边形，过点，，的截面就是，又由正方体为单位正方体，则，则为菱形，连接、，易得，，则，即要求截面的面积为，故答案为：14、【解析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为：.15、.【解析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，则，，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:.故答案为：.16、##30°【解析】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则于是，,.在中，，取DE的中点F，则，所以，即，于是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）没有.【解析】（1）设机器鼠位置为点，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，分析取值，即得解双曲线的方程，由可得P点坐标.（2）转化机器鼠与直线最近的距离为与直线平行的直线与双曲线相切时，平行线间的距离，设的方程为，与双曲线联立，求出的值，再利用平行线间的距离公式，即得解【详解】（1）设机器鼠位置为点，、，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，设其方程为：（，），则、、，则的轨迹方程为：（），时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）由题意，直线，设直线的平行线的方程为，联立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.18、（1）分布列见解析（2）甲的试验操作能力较强，理由见解析【解析】（1）设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，计算出两个随机变量在不同取值下的概率，可得出这两个随机变量的概率分布列；（2）计算出、、、的值，比较、的大小，以及、的大小，由此可得出结论.【小问1详解】解：设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示：【小问2详解】解：，，，，所以，，从做对题的数学期望分析，两人水平相当；从通过考查的概率分析，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的试验操作能力较强.19、（1）；（2）最大值与最小值分别为与【解析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果；（2）利用导数研究函数的单调性，进而结合函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）因为，所以所以所以的图象在点处的切线方程为，即（2）由（1）知令，则；令，则所以在上单调递减，在上单调递增．所以又，所以所以在上的最大值与最小值分别为与20、（1）；（2）或或.【解析】（1）根据已知条件，求得的方程组，解得，即可求得椭圆的方程；（2）对的取值进行分类讨论，当时，根据三点共线求得，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合直线交椭圆两点，代值计算即可求得结果.【小问1详解】对椭圆，令，故可得，则，故，则，又，，故可得，则椭圆的方程为：.【小问2详解】直线与y轴交于点P，故可得的坐标为，当时，则，由椭圆的对称性可知：