浙江省绍兴一中2025年高二数学第一学期期末预测试题含解析

浙江省绍兴一中2025年高二数学第一学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是A.这天的的中位数是B.天中超过天空气质量为“优良”C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这天的的平均值为2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.3．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.4．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）A. B.3C. D.65．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（）A. B.C.2 D.48．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B.C. D.9．命题“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）A. B.C. D.11．双曲线的焦点坐标是（）A. B.C. D.12．运行如图所示程序后，输出的结果为（）A.15 B.17C.19 D.21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.14．已知两平行直线与间的距离为3，则C的值是________.15．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______16．已知为数列{}前n项和，若，且），则＝___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围18．（12分）设函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围19．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明20．（12分）已知函数在处的切线与直线平行（1）求值，并求此切线方程；（2）证明：21．（12分）已知函数，是的一个极值点.（1）求b的值；（2）当时，求函数的最大值.22．（10分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，O是BC的中点，（1）证明：平面平面BCD；（2）若三棱锥的体积为，E是棱AC上的一点，当时，二面角E－BD－C大小为60°，求t的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C2、A【解析】求出函数图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为，所以，，所以，函数图象的对称中心为，将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向下平移个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数为奇函数.故选：A3、C【解析】根据，，可以得到，从而得到与的关系式，再由，，的关系，进而可求双曲线的渐近线方程【详解】解：由，，则是圆的切线，，，，所以，因为双曲线的渐近线方程为，即为故选：C4、C【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设，，，由已知，得，，，，所以，所以.故选：C5、D【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，，解得：，，所以冬至的日影长为尺.故选：D6、D【解析】求出函数在时值的集合，函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，当时，，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则在上值的集合为，因函数的值域为，于是得，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7、B【解析】由题意可设，则，再由，可得，从而可求出的值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，故设，设，则，因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B8、A【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A9、D【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可【详解】命题“，”的否定是：，，故选：D.10、B【解析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.【详解】，，，令，解得：，而，故函数关于点对称，，，故选：B.11、B【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.12、D【解析】根据给出的循环程序进行求解，直到满足，输出.【详解】，，，，，，，，，，，，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据数列的通项公式可得答案.【详解】因为，所以数列的前5项为.故答案为：14、【解析】根据两条平行直线之间的距离公式即可得解.【详解】两平行直线与间的距离为3，所以，所以故答案为：15、2【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.16、2【解析】第一步找出数列周期，第二步利用周期性求和.【详解】,,,，，，可知数列{}是周期为4的周期数列，所以故答案为:2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求，解不等式，即可求出m的范围.【小问1详解】当时，,定义域为R，.所以，.所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，即.【小问2详解】不等式可化为：，即存在，使得不等式成立.构造函数，则.①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.综上所述：m的取值范围为：.18、（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，记，则，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】令，得，记，则，令得，列表得．x0↘极小值↗要使在上有两个零点，则，所以且函数在和上各有一个零点当时，，，，则，故上无零点，与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件所以，又因为，所以考虑，设，，则，则在上单调递减，故当时，，所以，且，因为，所以，由零点存在定理知在和上各有一个零点综上可知，实数a的取值范围为【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.19、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时，，即不等式成立.【小问1详解】解：函数的定义域为，，∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以.所以时，，所以当时，20、（1）；；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.【小问1详解】，，在处的切线与直线平行，即切线斜率为，，解得：，，，所求切线方程为：，即；【小问2详解】要证，即证；①当时，，，，即，；②当时，令，，，当时，，，，，即，在上单调递增，，在上单调递增，，即在上恒成立；综上所述：.【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.21、（1）；（2）【解析】（1）先求出导函数，再根据x=2是的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；（2）根据（1）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值.【小问1详解】由题设，.∵x=2是的一个极值点，∴x=2是的一个根，代入解得：.经检验，满足题意.【小问2详解】由（1）知：，则.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+递减递增∵当x∈(1,2)时，即在(1,2)上单调递减；当x∈(2,3)时，即在(2,3)上单调递增.∴当x∈[1,3]时，函数的最大值为与中的较大者.∴函数的最大值为.22、（1）证明见解析（2）3【解析】（1）证得平面BCD，结合面面垂直判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的公式可得，进而解方程即可求出结果.【小问1详解】因为，O是BC的中点，所以，又因为，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因为平面AB