2026年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系

第33页（共33页）2026年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系一．选择题（共10小题）1．（2025•宜昌校级模拟）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2） D．（0，2）2．（2025•德州模拟）若实数x，y，z满足x+y+z＝0，且x＞y＞z，则yxA．(-55，55C．(-12，12) 3．（2025•西城区一模）已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|lgx＞0}，那么集合A∪B＝（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）4．（2025•新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}5．（2025•金山区二模）已知a∈R，则下列结论不恒成立的是（）A．a+1＞a B．a+1a≥2 C．|1﹣a|+|a+2|≥3 D．a2+6．（2025•福州模拟）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，则3a+b的取值范围是（）A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5]7．（2025•北京）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．8．（2025•福州模拟）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，则xxA．3 B．52+6 C．3+69．（2025•新疆校级一模）已知x∈（0，+∞），则y=2A．3 B．4 C．32 D．10．（2025•浦东新区校级模拟）下列命题中正确的是（）A．若ac2＞bc2，则|a|＞|b| B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C．若a＞b，则1aD．若a＞b＞0，c＜d＜0，则a二．多选题（共6小题）（多选）11．（2025•重庆校级模拟）已知x，y均为正数，且x+4y＝xy，则下列选项正确的有（）A．xy≥16 B．4x+y≥25 C．1x-4+1y-（多选）12．（2025•浙江三模）已知a＞0，b＞0，则下列说法正确的是（）A．若ab＝a+b+3，则ab≥9 B．a2+4C．若a+b＝9，则36a+aD．若a+5b≤k（多选）13．（2025•辽宁模拟）设正实数m，n满足m+n＝2，则（）A．1m+2B．m+n的最大值为C．mn的最大值为14D．m2+n2的最小值为1（多选）14．（2025•丹东模拟）设正实数x，y满足x+y＝2，则（）A．xy有最大值为1 B．x2+y2有最小值为4 C．4yx+D．x+3+（多选）15．（2025•滨海县校级模拟）已知a＞b＞0，c为实数，则下列不等式正确的是（）A．a3＞b3 B．ac2＞bc2 C．ab+ba＞2 D．a﹣sin（多选）16．（2025•自流井区校级二模）设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（）A．nm+2n的最小值为3 B．C．m+n的最小值为2 D．m2+n2三．填空题（共5小题）17．（2025•历下区校级模拟）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），其中0＜a＜b＜c，若f（x﹣1）•f（4﹣x）≤0，则2ba+4ac的最小值18．（2025•浦东新区校级模拟）关于x的不等式x-1x-2≤019．（2025•黄浦区校级三模）不等式x-1x2-4x20．（2025•甘谷县校级模拟）若不等式|ax3+（a+b）x﹣a|≤x对x∈[1，2]恒成立，则8a+b的最大值为．21．（2025•河东区一模）已知a，b∈R+，a+2b＝1，则2a+2+1b+1的最小值为四．解答题（共4小题）22．（2022•花山区校级模拟）已知正数a，b，c满足a+b+c＝2．（1）若c＝1，证明：a+（2）求a223．（2022•建水县校级模拟）已知函数f（x）=|x+3|+|（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b+13a24．（2022•苏仙区校级模拟）阅读下列材料：对于两个正数a和b，我们有多种不同的方式来定义不同的平均值．利用加法，令a+b＝x+x，可得x=a+b2，称a+b2为a，b的算术平均值，这是因为我们可以在一条直线上顺次取三点A，B，C，使AB＝a，BC＝b，取A，C的中点O，则点O分别到A，C利用乘法，令a•b＝y•y，可得y=ab，称ab为a，b的几何平均值，这是因为我们可以作出一个正方形，使其与长和宽分别为a，b的矩形面积相等，这个正方形的边长就是ab．其实还有其他的方式来定义a，b的平均值，如将a，b先取倒数为1a和1b，求其算术平均值为1a+1b2，再取倒数得21a+1b，即2如图所示，以线段AB为直径作圆O，在线段AB上取点C使AC＝a，CB＝b，不妨设a≥b＞0．过C作AB的垂线交圆于点D，连接DO，作CE⊥DO于点E．其中表示算术平均值的线段为OA和OB，表示几何平均值的线段是CD．（1）通过计算判断在线段OC、CE、DE中表示a，b的调和平均值的线段是哪条？并由图直观比较a，b的调和平均值与几何平均值的大小；（2）类似地，对于三个正数a，b，c的算术平均数a+b+c3和几何平均数3abc，有不等关系：a+b+c3≥3abc成立，当且仅当a＝25．（2022•全国四模）已知不等式ax2﹣（a+2）x+b＞0的解集为A，a，b∈R．（1）若A＝{x|x＜1，或x＞2}，求|x﹣a|+|x+b|的最小值；（2）若b＝2，且2∈A，求3+a

2026年菁优高考数学解密之相等关系与不等关系参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BAACBCCDAD二．多选题（共6小题）题号111213141516答案ABCACABACDACABD一．选择题（共10小题）1．（2025•宜昌校级模拟）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2） D．（0，2）【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解．【解答】解：因为集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝（0，1）．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．（2025•德州模拟）若实数x，y，z满足x+y+z＝0，且x＞y＞z，则yxA．(-55，55C．(-12，12) 【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】A【分析】将y换成用x，z表示，从而将yx2+z2平方表示成(yx2+z2)2=1+2zx【解答】解：因为x＞y＞z，x+y+z＝0，所以y＝﹣（x+z）且x＞﹣（x+z）＞z，故-2＜zx＜所以-5故-1≤所以(y所以yx故选：A．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．3．（2025•西城区一模）已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|lgx＞0}，那么集合A∪B＝（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）【考点】指、对数不等式的解法；求集合的并集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】A【分析】解出集合A，B，再结合并集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|lgx＞0}＝{x|x＞1}，则A∪B＝（﹣2，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．4．（2025•新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}【考点】分式不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】移项通分化简后转化为一元二次不等式，求解即可．【解答】解：因为x-4x-所以x-4-2(x所以(x+2)(x-1)≤0x所以x-4x-1≥2的解集为{x|故选：C．【点评】本题考查分式不等式的求解，属于基础题．5．（2025•金山区二模）已知a∈R，则下列结论不恒成立的是（）A．a+1＞a B．a+1a≥2 C．|1﹣a|+|a+2|≥3 D．a2+【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，绝对值三角不等式，即可求解．【解答】解：a+1＞a显然成立，故A不符合题意，当a＜0时，a+1a＜0，故|1﹣a|+|a+2|≥|1﹣a+a+2|＝3，当且仅当（1﹣a）（a+2）≥0时，等号成立，故C不符合题意，a2+a故选：B．【点评】本题主要不等式的应用，属于基础题．6．（2025•福州模拟）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，则3a+b的取值范围是（）A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5]【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】C【分析】根据不等式的性质求解．【解答】解：因为3a+b＝2（a+b）+（a﹣b），又﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，所以﹣6≤2（a+b）≤﹣4，即﹣5≤2（a+b）+a﹣b≤0，所以3a+b的取值范围是[﹣5，0]．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．7．（2025•北京）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据重要不等式及基本不等式，即可求解．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a=b=13，则1a因为a+b≥2因为1a+1故选：C．【点评】本题考查重要不等式及基本不等式的应用，属基础题．8．（2025•福州模拟）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，则xxA．3 B．52+6 C．3+6【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式；运算求解．【答案】D【分析】先把x+y＝xy转化为1x+1y=1，再将x【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y＝xy，∴1x+∴xx-1+2yy-1=xy-x+2xy-2y(当且仅当2xy=yx，即x＝1+2故xx-1+故选：D．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．9．（2025•新疆校级一模）已知x∈（0，+∞），则y=2A．3 B．4 C．32 D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】A【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．【解答】解：因为x∈（0，+∞），y=2当且仅当2x+1=4故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．10．（2025•浦东新区校级模拟）下列命题中正确的是（）A．若ac2＞bc2，则|a|＞|b| B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C．若a＞b，则1aD．若a＞b＞0，c＜d＜0，则a【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据不等式的性质可解．【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，不能得到|a|＞|b|，故A错，对于B，若a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，则不能得到a﹣c＞b﹣d，故B错，对于C，若a＞b，取a＝0时，1a无意义，故C对于D，若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd，两边同时除以bc＞0，则ad＜b故选：D．【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题，二．多选题（共6小题）（多选）11．（2025•重庆校级模拟）已知x，y均为正数，且x+4y＝xy，则下列选项正确的有（）A．xy≥16 B．4x+y≥25 C．1x-4+1y-【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ABC【分析】利用基本不等式逐项判断可得答案．【解答】解：对于A，因为x，y均为正数，且x+4y＝xy，可得xy≥2x⋅4y，解得当且仅当x＝4y即x＝8，y＝2时等号成立，故A正确；对于B，由x+4y＝xy可得y=xx-4＞0所以4x+y＝4x+4x-4+1＝4（x﹣4）+4x-当且仅当4(x-4)=4x-4对于C，由x+4y＝xy得xy﹣x﹣4y+4＝4，即（x﹣4）（y﹣1）＝4，可得14（x﹣4）（y﹣1）＝1由于x＞4，所以x﹣4＞0，y﹣1＞0，所以1x-4+1y-1=（1x-4=14（2+y-1x-4当且仅当y-1x-4=x-4y-对于D，x+y＝x+4x-4+1＝（x﹣4）+4当且仅当x-4=4x-4即故选：ABC．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用及基本不等式形式的化简，属于基础题．（多选）12．（2025•浙江三模）已知a＞0，b＞0，则下列说法正确的是（）A．若ab＝a+b+3，则ab≥9 B．a2+4C．若a+b＝9，则36a+aD．若a+5b≤k【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AC【分析】选项A直接用基本不等式即可判断对错；B用对勾函数性质判断；C常数代换再用基本不等式判断；D不等式恒成立转化为求函数最值确定对错．【解答】解：分析A选项，由已知a+b＝ab﹣3，因为a＞0，b＞所以ab-3≥2ab，不等式变形(所以ab≥3，即ab≥9，故A分析B选项，a2+4而a2+3=4a2+3无解，故分析C选项，由a+b＝9，得36=4+(4当且仅当4ba=ab即a=2b时等号成立（有最小值8，故选项C正确．分析D选项，a+5b≤ka+b恒成立，a＞0即k≥(a+=1+4令t=ab（t＞0再令m＝4+25t（m＞4），则t=m-=1+20mm2-8m+36=1+20m+36m-8，由基本不等式m+36故选：AC．【点评】本题考查基本不等式求最值，属于基础题．（多选）13．（2025•辽宁模拟）设正实数m，n满足m+n＝2，则（）A．1m+2B．m+n的最大值为C．mn的最大值为14D．m2+n2的最小值为1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AB【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解．【解答】解：设正实数m，n满足m+n＝2，则1m当且仅当nm=2mn由(m当且仅当m＝n＝1时等号成立，则m+n的最大值为2，故由mn≤(m+n2)则mn的最大值为1，故C错误；由m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn≥4﹣2×1＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则m2+n2的最小值为2，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查基本不等式相关知识，属于中档题．（多选）14．（2025•丹东模拟）设正实数x，y满足x+y＝2，则（）A．xy有最大值为1 B．x2+y2有最小值为4 C．4yx+D．x+3+【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ACD【分析】由基本不等式结合题意可判断选项正误．【解答】解：对于A，因为正实数x，y满足x+y＝2，由基本不等式可得2＝x+y≥2xy，可得xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，因为x2+可得x2+y2≥(x+y)22=222=对于C，因为正实数x，y满足x+y＝2可得，4yx+则x＝2y，即x=43对于D，(x又(x+3)(y+4)≤(x+y+7)24=814，则、当且仅当（x故选：ACD．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于中档题．（多选）15．（2025•滨海县校级模拟）已知a＞b＞0，c为实数，则下列不等式正确的是（）A．a3＞b3 B．ac2＞bc2 C．ab+ba＞2 D．a﹣sin【考点】不等关系与不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式；运算求解．【答案】AC【分析】对A，由不等式的性质可得；对B，取c＝0即可得；对C，由基本不等式可得；对D，设f（x）＝x﹣sinx，根据函数的单调性可得．【解答】解：对于A，因为a＞b＞0，所以a3＞b3，故A正确；对于B，若c＝0，所以ac2＝bc2，故B错误；对于C，因为a＞b＞0，所以ab+b对于D，设f（x）＝x﹣sinx，f′（x）＝1﹣cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，又a＞b＞0，所以a﹣sina＞b﹣sinb，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查不等关系和不等式，属于基础题．（多选）16．（2025•自流井区校级二模）设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（）A．nm+2n的最小值为3 B．C．m+n的最小值为2 D．m2+n2【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】由已知结合基本不等式及相关变形，结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为m＞0，n＞0，所以nm+2n当且仅当nm=mn且m+n＝2即m＝n＝1时取等号，此时取得最小值由mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m＝n＝1(m+n)2=m+n+2mn=2+2mn≤2+m+n＝故m+n≤2即最大值为2m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn≥4-2×(m+n2)2=2，当且仅当m＝n故选：ABD．【点评】本题主要考查了基本不等式及结论的应用，属于基础试题．三．填空题（共5小题）17．（2025•历下区校级模拟）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），其中0＜a＜b＜c，若f（x﹣1）•f（4﹣x）≤0，则2ba+4ac的最小值【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】5【分析】构建g（x）＝﹣f（4﹣x），根据题意分析可知y＝f（x﹣1）的零点与y＝g（x）的零点相同，进而可得2b＝a+c＝3，结合基本不等式即可得结果．【解答】解：令g（x）＝﹣f（4﹣x）＝﹣（4﹣x﹣a）（4﹣x﹣b）（4﹣x﹣c）＝（x+a﹣4）（x+b﹣4）（x+c﹣4），因为f（x）的零点为a，b，c，可知y＝f（x﹣1）的零点为a+1，b+1，c+1，y＝g（x）的零点为4﹣a，4﹣b，4﹣c，又0＜a＜b＜c，则1＜a+1＜b+1＜c+1，4＞4﹣a＞4﹣b＞4﹣c，若f（x﹣1）•f（4﹣x）＝f（x﹣1）•[﹣g（x）]≤0，则f（x﹣1）•g（x）≥0，可知y＝f（x﹣1）的零点与y＝g（x）的零点相同，则a+1=4-cb+1=4-bc+1=4-a，可得2则2b当且仅当ca=4ac，即c＝故答案为：5．【点评】本题主要考查了函数性质在零点求解中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．18．（2025•浦东新区校级模拟）关于x的不等式x-1x-2≤0的解集为【考点】分式不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】应用分式不等式转化为一元二次不等式计算求解．【解答】解：x-则(x-1)(x-2)≤0所以不等式的解集为[1，2）．故答案为：[1，2）．【点评】本题主要考查分式不等式的求解，属于基础题．19．（2025•黄浦区校级三模）不等式x-1x2-4x+5＞【考点】分式不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可求解．【解答】解：因为x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0恒成立，由x-1x2-4x+5＞1可得x即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．20．（2025•甘谷县校级模拟）若不等式|ax3+（a+b）x﹣a|≤x对x∈[1，2]恒成立，则8a+b的最大值为3．【考点】等式与不等式的性质；绝对值不等式．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】3．【分析】根据已知条件，先对原式变形，再结合换元法，即可求解．【解答】解：由|ax3+（a+b）x﹣a|≤x可得|a令t=x2+1-1x，x∈所以﹣1≤a+b≤1，-1≤故8a+b=2(9故8a+b的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．21．（2025•河东区一模）已知a，b∈R+，a+2b＝1，则2a+2+1b+1的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】85【分析】由a+2b＝1可得（a+2）+（2b+2）＝5，整理得2a+2+1b【解答】解：因为a+2b＝1，所以（a+2）+（2b+2）＝5．所以2=1当且仅当a=12，b故答案为：85【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．四．解答题（共4小题）22．（2022•花山区校级模拟）已知正数a，b，c满足a+b+c＝2．（1）若c＝1，证明：a+（2）求a2【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）详见解答过程；（2）22．【分析】（1）由题意可得a+b＝1，结合不等式(a+b)22≤【解答】证明：（1）因为正数a，b，c满足a+b+c＝2，若c＝1，则a+b＝1，可得(a当且仅当a=b，即所以a+解：（2）因为a2即a2同理可得a2+c所以a2当且仅当a=所以a2+b【点评】本题主要考查了基本不等式在不等式证明及最值求解中的应用，属于中档题．23．（2022•建水县校级模拟）已知函数f（x）=|x+3|+|（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b+13a【考点】基本不等式及其应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）m∈（﹣∞，6]；（2）4a+7b的最小值为32【分析】（1）由题意，得|x+3|+|x﹣3|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣3|）min，利用绝对值不等式的几何意义可得实数m的范围；（2）由（1）知n＝6，4a+7b=16（4a+7b）（【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴|x+3|+|x﹣3|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣3|）min，∵|x+3|+|x﹣3|≥|（x+3）﹣（x﹣3）|＝6，∴（|x+3|+|x﹣3|）min＝6，∴m≤6，即m∈（﹣∞，6]；（2）由（1）知n＝6，4a+7b=16（4a+7b）（=16[（a+5b）+（3a+2b）]（=16（4+1≥16（4+1+24(3a+2b)a+5b∴4a+7b的最小值为32【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2022•苏仙区校级模拟）阅读下列材料：对于两个正数a和b，我们有多种不同的方式来定义不同的平均值．利用加法，令a+b＝x+x，可得x=a+b2，称a+b2为a，b的算术平均值，这是因为我们可以在一条直线上顺次取三点A，B，C，使AB＝a，BC＝b，取A，C的中点O，则点O分别到A，C利用乘法，令a•b＝y•y，可得y=ab，称ab为a，b的几何平均值，这是因为我们可以作出一个正方形，使其与长和宽分别为a，b的矩形面积相等，这个正方形的边长就是ab．其实还有其他的方式来定义a，b的平均值，如将a，b先取倒数为1a和1b，求其算术平均值为1a+1b2，再取倒数得21a+1b，即2如图所示，以线段AB为直径作圆O，在线段AB上取点C使AC＝a，CB＝b，不妨设a≥b＞0．过C作AB的垂线交圆于点D，连接DO，作CE⊥DO于点E．其中表示算术平均值的线段为OA和OB，表示几何平均值的线段是CD．（1）通过计算判断在线段OC、CE、DE中表示a，b的调和平均值的线段是哪条？并由图直观比较a，b的调和平均值与几何平均值的大小；（2）类似地，对于三个正数a，b，c的算术平均数a+b+c3和几何平均数3abc，有不等关系：a+b+c3≥3abc成立，当且仅当a＝【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用作图法求出几何平均数和调和平均数．（2）直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果【解答】解：（1）设AC＝a，BC＝b，利用射影定理：CD=利用三角形的面积12解得：CE=所以：DE=所以：CD是a和b的几何平均值，ED是a和b的调和平均值．（2）数y＝x2+2x（x＞=x＝3，当且仅当x＝1时等号成立．故函数的最小值为3．【点评】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．25．（2022•全国四模）已知不等式ax2﹣（a+2）x+b＞0的解集为A，a，b∈R．（1）若A＝{x|x＜1，或x＞2}，求|x﹣a|+|x+b|的最小值；（2）若b＝2，且2∈A，求3+a【考点】基本不等式及其应用；一元二次不等式及其应用；等式与不等式的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）|x﹣a|+|x+b|的最小值为3；（2）3+a33【分析】（1）不等式的解可转化为方程ax2﹣（a+2）x+b＝0的两个根为1，2，由根与系数的关系求a，b，再利用绝对值的性质求解|x﹣a|+|x+b|的最小值即可；（2）由b＝2，且2∈A，可得a＞1，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由于不等式的解集为{x|x＜1，或x＞2}，所以1+2=a+2a1×2=ba，可得a＝1，b＝2，即∴|x﹣a|+|x+b|≥|x﹣a﹣（x+b）|＝|a+b|＝3（当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时，等号成立），（2）当b＝2时，不等式为ax2﹣（a+2）x+2＞0，（x﹣1）（ax﹣2）＞0，因为2∈A，b＝2，所以可得a＞1，所以3+a（当且仅当a=36时，等号成立），所以3+【点评】本题考查了二次不等式及二次方程的性质应用，基本不等式的应用，属于中档题．

考点卡片1．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{解：依题意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．3．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且4．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．5．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．6．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．7．分式不等式【知识点的认识】分式不等式指的是含有分式的数学不等式．解分式不等式时，关键是注意分母不为零．【解题方法点拨】将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出最终解集．【命题方向】典型的命题包括解简单的分式不等式，结合实际应用题解分式不等式，以及分式不等式在函数单调性、最值问题中的应用．求不等式3x解：3x+13-x＞-1可化为2x+4x-3解得