2026年菁优高考数学解密之解答题

第67页（共67页）2026年菁优高考数学解密之解答题一．解答题（共25小题）1．设F1，F2分别是椭圆C：x216+y2b2=1（4＞b＞0）的左、右焦点，点M在C上，MF2⊥x轴，|MF（1）求C的方程；（2）过F1且斜率为22的直线与C交于N，P两点，求△NPF22．（2025•绵阳校级模拟）已知函数f(（1）求函数f（x）的单调递增区间及在[0，（2）若θ为锐角且f(θ)=-23．（2025•沧州校级三模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，an2-2Sn+an（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an3n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：4．（2025•宿迁模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3sin（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面积为43，D为AC边上一点，满足AC①求△ABC的周长；②求BD的长．5．（2025•新余校级模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为平面内一点，线段F1M的中点在该双曲线右支上，N在x轴上，F1N（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知过A的直线l交该双曲线于A，B，D（0，3），△DAB的面积为6，求直线l的方程．6．（2025•银川校级二模）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x．（1）若m＝1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的极值点在区间（2，3）内，求m的取值范围；（3）若f（x）有两个零点，求m的取值范围．7．（2025•昌平区二模）已知函数f(x)=(x-2)e（Ⅰ）当a＝0，b＝0时，（i）若x≤3，求函数f（x）的最大值；（ii）若直线l是曲线y＝f（x）的切线，且l经过点（t，0），证明：|t|≥2；（Ⅱ）当b＞0时，若x＝1是函数f（x）的极小值点，求b的取值范围．8．（2025•道里区校级二模）设函数f（x）＝ax﹣2lnx+1，a∈R．（1）若f（x）在x＝1处切线为y＝b，求实数a+b的值；（2）是否存在实数a，使得当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．9．（2025•温州二模）已知函数f（x）＝ln（x+1）+axx+1（a（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个零点，求a的取值范围；（3）当a＞0时，解方程f′（x）﹣f（x）=510．（2025•阳西县模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2DC＝2，M是PB的中点，N是PC上的一点．（1）证明：平面AMD⊥平面PBC；（2）若异面直线NA和PB垂直，求二面角N﹣MA﹣C的正弦值．11．（2025•西城区二模）已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex﹣lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，2），求a的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值．12．（2025•襄城县三模）已知有穷正整数数列An：a1，a2，…an（n∈N*，n≥4）满足：ai∈{1，2，…，n}，且当i≠j（i，j∈N*，1≤i，j≤n）时，总有ai≠aj．定义数列An*：a1*，a2*，…，an*，其中a1*＝a1，a*k=ak-ak-1*，ak-1*＜ak，ak+ak-（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质P（1）；①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．（Ⅱ）已知数列A8具有性质P（m），求m的最小值；（Ⅲ）是否存在数列An具有性质P(n(n+1)2)，且a1*+a2*+…+an*＝2025？若存在，13．（2025•河北模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2S（1）证明：{an+1}是等比数列；（2）设bn=n(an+1)4，求数列{b14．（2025•顺义区一模）已知函数f(（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数f（x）存在且唯，确定．当f（x）在区间（0，a）（a＞0）上仅有一个零点时，求a的取值范围．条件①：f（x）在[π条件②：y＝f（x）图象的一个对称中心为(π条件③：对任意的x∈R，都有f(注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．15．（2025•嘉峪关校级模拟）“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息．某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M＝“了解村BA”，N＝“学生为女生”，据统计P(（1）根据已知条件，作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；（2）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2P（χ2＞k）0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.82816．（2025•全国模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，△PCD为等边三角形，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4．（1）求证：PB⊥CD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为43，求平面PAD与平面PBC17．（2025•宝山区三模）已知a∈R，函数f(（1）若a＝2，求函数f（x）的表达式及定义域；（2）若关于x的方程f(x218．（2025•沙河口区校级一模）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足btanBcosC+csinB＝2atanBcosA．（1）求A；（2）若a＝3，求2b19．（2025•德州模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB（acosC+ccosA）＝bcosB．（1）求B；（2）设D为边BC的中点，若cosC=35，△ABC的面积为1420．（2025•嘉峪关校级模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=∠PDC=π2（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求平面CPB与平面PBQ所成的夹角的大小．21．（2025•鞍山模拟）已知函数f(（1）当k＝0时，证明：f（x）≤0；（2）若f（x）存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．22．（2025•嘉峪关校级模拟）已知函数f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx，a≠0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若a＞2，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求（3）证明：当a∈[1，+∞）时，f（x）≥cosx．23．（2025•陆丰市校级三模）设正整数n≥2，对于数列A：a1，a2，…，an，定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a1a2，a2a3，…，an﹣1an，ana1．已知数列A0：a1，a2，…，an满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n）．记Ak+1＝T（Ak）（k＝0，1，2，…）．（Ⅰ）若A0：﹣1，1，1，写出数列A1，A2；（Ⅱ）若n为奇数且A0不是常数列，求证：对任意正整数k，Ak都不是常数列；（Ⅲ）求证：当且仅当n＝2m（m∈N*）时，对任意A0，都存在正整数k，使得Ak为常数列．24．（2025•扬州校级模拟）已知函数f(（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；（3）若f（x）＞e2﹣1当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．25．（2025•嘉峪关校级模拟）已知A（﹣2，0），B(1，32)两点在椭圆C：x2a2+y2b2=1上，直线l交椭圆C于（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1+k2＝1时，①求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；②求|OH|的最小值．

2026年菁优高考数学解密之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．设F1，F2分别是椭圆C：x216+y2b2=1（4＞b＞0）的左、右焦点，点M在C上，MF2⊥x轴，|MF（1）求C的方程；（2）过F1且斜率为22的直线与C交于N，P两点，求△NPF2【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的定义．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）x2（2）8．【分析】（1）依题意求出a、b、c的值，即可求解椭圆方程；（2）求出直线NP的方程，设出点N、P的坐标，联立直线NP与椭圆C的方程，由韦达定理及三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）设椭圆C半焦距为c，则F1（﹣c，0），F2（c，0），因为点M在C上，MF2⊥x轴，|MF1|＝7|MF2|，所以点M的横坐标为c，则|MF2由椭圆定义得|MF1|+|MF2|＝2a＝8，即7b24+b2所以椭圆C的方程为x2（2）由（1）得c2＝a2﹣b2＝16﹣4＝12，即c=23，所以所以过F1且斜率为22的直线方程为y联立y=22(x设N（x1，y1），P（x2，y2），则x1+x所以y1y1=1则S=23即△NPF2的面积为8．【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题．2．（2025•绵阳校级模拟）已知函数f(（1）求函数f（x）的单调递增区间及在[0，（2）若θ为锐角且f(θ)=-2【考点】三角函数中的恒等变换应用；求两角和与差的三角函数值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）单调递增区间为[-π3+kπ，π6（2）-6【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，可得f（x）＝2sin（2x+π（2）根据（1）的信息，利用同角三角函数的基本关系与两角差的余弦公式算出cos2θ的值．【解答】解：（1）由题意得f（x）＝2（sin2xcosπ6+cos2xsinπ6）＝2sin（2由-π解得f（x）的单调递增区间为[-π当0≤x≤π可知当x=π2时，f（x）的最小值为2sin7π6=-1；当x=π6时，f所以f（x）在[0，π2]上的值域为[﹣（2）由（1）知f(根据f(θ)=-由θ∈(0，π所以2θ+π可得cos=-2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．3．（2025•沧州校级三模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，an2-2Sn+an（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an3n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an＝n；（2）证明过程见解析．【分析】（1）由已知数列递推式可得数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，由此可得数列的通项公式；（2）直接利用错位相减法求和．【解答】解：（1）由an2-2Sn+an＝取n＝1，得a1∵a1＞0，∴a1＝1，当n≥2时，有an-①﹣②得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，又an＞0，∴an﹣an﹣1＝1，即数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则an＝1+1×（n﹣1）＝n；证明：（2）由（1）知an＝n，且bn=a则Tn=113可得23∴Tn【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了错位相减法求和，是中档题．4．（2025•宿迁模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3sin（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面积为43，D为AC边上一点，满足AC①求△ABC的周长；②求BD的长．【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）B=（2）①△ABC的周长为a+b+c＝12，②BD=【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角．（2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得a＝c＝4，可得△ABD为等边三角形，进而求得周长；②根据余弦定理求BD．【解答】解：（1）因为3sin所以3sinB-cosB即sin(因为B∈（0，π），所以B-π6（2）①因为S△ABC=12因为b＝4，所以由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accosB，即16＝a2+c2﹣ac，所以（a+c）2＝64，则a+c＝8，所以a＝c＝4，即△ABC为等边三角形，则△ABC的周长为a+b+c＝12．②因为b＝4，且AC→=3AD在△ABD中，由余弦定理得：BD所以BD=【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．5．（2025•新余校级模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为平面内一点，线段F1M的中点在该双曲线右支上，N在x轴上，F1N（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知过A的直线l交该双曲线于A，B，D（0，3），△DAB的面积为6，求直线l的方程．【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程；求双曲线的渐近线方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）y=±（2）x＝2或3x﹣2y＝0或3x+(1+7【分析】（1）根据中位线的几何性质，结合双曲线的定义，即可求解双曲线方程，并求渐近线方程；（2）首先设直线l的方程为x＝t（y﹣3）+2，与双曲线方程联立，利用韦达定理求弦长，并表示△DAB的面积，即可求解．【解答】解：（1）设线段F1M的中点为P，P在该双曲线的右支上，连接PF2，∵F1N→=2F1F2→∴|P由双曲线的定义知，|P∴a＝1，∴双曲线C的标准方程为x2把A（2，3）代入上式，可得22-3∴双曲线C的渐近线方程为y=±（2）由题知，双曲线C的标准方程为x2-y23=1，设直线l的方程为x＝t（联立x=t(y-3)+2x2-y23=1，得（3t2﹣1）y2+（12t﹣18t由根与系数的关系可得3yB=∴|AB又D到直线l的距离为d=|-3∴S△解得t＝0，或t=23，或t∴直线l的方程为x＝2，或3x﹣2y＝0，或3x+(1+7【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查三角形面积公式，是中档题．6．（2025•银川校级二模）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x．（1）若m＝1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的极值点在区间（2，3）内，求m的取值范围；（3）若f（x）有两个零点，求m的取值范围．【考点】由函数的极值求解函数或参数；函数的零点与方程根的关系；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；（2）(1（3）（0，1）．【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断函数f（x）的单调性．（2）先求出导函数f'(x)=-(mx-1)(2x+1)x；再根据函数f（x）的定义域为（0，+∞），以及函数f（x）的极值点在区间（2，3）内，得出mx﹣（3）先对m进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，求出最值f(x)max=f(1m)；再将题目条件转化为f(1m)＞0恒成立；最后构造函数g（x）＝lnx+x﹣1，x＞0，利用导函数判断【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝﹣x2+x+lnx，f（x）的定义域为（0，+∞）．则f'(令f′（x）＞0，可得0＜x＜1，令f′（x）＜0，可得x＞1．∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（2）由f（x）＝lnx﹣mx2+（2﹣m）x可得：f（x）的定义域为（0，+∞），f'(要使函数f（x）的极值点在（2，3）内，需满足f′（x）＝0在（2，3）上有解．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴mx﹣1＝0在（2，3）上有解，则m≠02＜即m的取值范围为(1（3）由（2）知f'(x)=-(mx则2x+1＞0．当m≤0时，有mx﹣1＜0，则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；当m＞0时，令f′（x）＝0，得x=当0＜x＜1m时，f′（x）＞0；当x＞1m∴函数f（x）在(0，1m则f(又∵当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴要使f（x）有两个零点，须满足f(1令g（x）＝lnx+x﹣1，x＞0，则g(1m)=∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵g（1）＝0，∴1m＞1，解得0＜m综上所述，m取值的范围为（0，1）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数零点个数问题，考查运算求解能力，属于难题．7．（2025•昌平区二模）已知函数f(x)=(x-2)e（Ⅰ）当a＝0，b＝0时，（i）若x≤3，求函数f（x）的最大值；（ii）若直线l是曲线y＝f（x）的切线，且l经过点（t，0），证明：|t|≥2；（Ⅱ）当b＞0时，若x＝1是函数f（x）的极小值点，求b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】应用题；综合法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1）①e3；②证明见解析；（2）(0，【分析】（1）把a＝0，b＝0代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证．（2）求出导数，由给定的极小值点可得a＝2b，且f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣2bx），构造函数g（x）＝ex﹣2bx，按g（x）最小值不小于0和小于0分类讨论求解．【解答】解：（1）（i）当a＝0，b＝0时，函数f（x）＝（x﹣2）ex求导得f'（x）＝（x﹣1）ex，当x＜1时，f'（x）＜0；当1＜x≤3时，f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，且f（x）＜0，在（1，3]上单调递增，又f（3）＝e3，所以当x≤3时，函数f（x）的最大值为f（3）＝e3．（ii）证明：设切点为（x0，f（x0）），而f(x0曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l方程为y-由l经过点（t，0），得-(整理得x0由Δ＝（t+2）2﹣4（t+2）≥0，得t2≥4，所以|t|≥2．（2）函数f(x)=(求导得f'（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+2bx，由x＝1是函数f（x）的极小值点，得f′（1）＝﹣a+2b＝0，即a＝2b，则f'（x）＝（x﹣1）ex﹣2bx2+2bx＝（x﹣1）（ex﹣2bx），令g（x）＝ex﹣2bx求导得g'（x）＝ex﹣2b，令g'（x）＝0，即ex﹣2b＝0，b＞0，得x＝ln（2b），当x∈（﹣∞，ln（2b））时，g'（x）＜0，当x∈（n（2b），+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）在（﹣∞，hn（2b））上单调递减，在（ln（2b），+∞）上单调递增，则g（x）min＝g（ln（2b））＝eln（2b）﹣2bln（2b）＝2b（1﹣ln（2b）），①当g（ln（2b））≥0时，即1﹣ln（2b）≥0时，得0＜b≤e2，此时g当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）≤0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以x＝1是函数f（x）的极小值点，符合题意；②当g（n（2b））＜0时，即1＜ln（2b）时，则b＞而g（1）＝e﹣2b＜0，g（0）＝e0﹣0＞0，则存在x1∈（0，1），使g（x1）＝0，当x∈（x1，1）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，因此x＝1不是函数f（x）的极小值点，不符合题意，所以b的取值范围为(0，【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．8．（2025•道里区校级二模）设函数f（x）＝ax﹣2lnx+1，a∈R．（1）若f（x）在x＝1处切线为y＝b，求实数a+b的值；（2）是否存在实数a，使得当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）5；（2）存在实数a＝2，当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3．【分析】（1）由函数解析式，求其导函数，得到f′（1）＝0，再由f（1）＝b，可得b的值，即可求得a+b；（2）求函数f（x）＝ax﹣2lnx+1的导函数，然后分a≤1，a＞1两种情况求解a的值得答案．【解答】解：（1）函数f（x）＝ax﹣lnx+1的定义域为（0，+∞），f'(x)=a-2x，f′（1）＝a﹣2＝0，a＝2f（1）＝∴a+b＝5；（2）由函数f（x）＝ax﹣2lnx+1，求导得f'(由x∈（0，2]，得2x当a≤1时，f（x）≤0，函数f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（2）＝2a﹣2ln2+1＝3，解得a＝1+ln2＞1，不成立；当a＞1时，由f'（x）＜0，得0＜由f′（x）＞0，得2a函数f（x）在(0，2a)上单调递减，在(2a，所以存在实数a＝2，当x∈（0，2]时，函数f（x）的最小值是3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，是中档题．9．（2025•温州二模）已知函数f（x）＝ln（x+1）+axx+1（a（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个零点，求a的取值范围；（3）当a＞0时，解方程f′（x）﹣f（x）=5【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求导，分a≥0，a＜0讨论导函数的符号，判断函数的单调性．（2）结合（1）的结论，根据函数零点所在区间求参数a的取值范围．（3）明确f'（x）﹣f（x）的解析式，分析其单调性，得到方程f(【解答】解：（1）因为f(所以f'(当a≥0时，因为x＞﹣1，所以x+1+a≥x+1＞0，即f′（x）＞0，f（x）在定义域内（﹣1，+∞）单调递增；当a＜0时，由f（x）＜0＝﹣1＜x＜﹣1﹣a；由f′（x）＞0⇒x＞﹣1﹣a．所以f（x）在（﹣1，﹣1﹣a）上单调递减，在（﹣1﹣a，+∞）上单调递增．综上，当a≥0时，f（x）在定义域内单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣1，﹣1﹣a）上单调递减，在（﹣1﹣a，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，当a≥0时，f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增，且注意到f（0）＝0，因此f（x）在区间（﹣1，0）上无零点；当a＜0时，考虑到f（0）＝0，为使（﹣1，0）内有零点，则极小值点小于零，即﹣1﹣a＜0⇒a＞﹣1，结合a＜0，则a的取值范围为（﹣1，0）．（3）由题，f'(x)-f(则g'(因此g(注意到待求方程g(对g（x）中含a的部分单独考察，即a（﹣x2﹣x+1），其中关于x的多项式的解为x1因此x＝x1，2时可消去a．当x=5-当x=-5综上，原方程的解为x=【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．10．（2025•阳西县模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2DC＝2，M是PB的中点，N是PC上的一点．（1）证明：平面AMD⊥平面PBC；（2）若异面直线NA和PB垂直，求二面角N﹣MA﹣C的正弦值．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）77【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，结合等腰三角形三线合一，得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）根据题目建立空间直角坐标系，设出N点坐标，根据NA和PB垂直以及N在PC上，即可得到N点坐标，然后利用向量法求解面面角的余弦值，即可根据平方关系求得结果．【解答】解：（1）证明：由题知，BA⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，又PA＝AB，M是PB中点，所以AM⊥PB，又AM∩AD＝A，AM，AD⊂平面AMD，所以PB⊥平面AMD，又PB⊂平面PBC，所以平面AMD⊥平面PBC．（2）由题知，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，过C作CE⊥AB，因为∠ABC＝60°，所以CE=则A(0，0，0)，M(1，则PB→⋅AN→=(2又PN→=λ所以a=所以a=c=则AM→设平面AMN的一个法向量m→平面AMC的一个法向量n→则AM→⊥m取z1＝1，可得m→则AM→⊥n取x2=3令平面AMN与平面AMC的夹角为θ，则cosθ=所以sinθ=即二面角N﹣MA﹣C的正弦值为77【点评】本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．11．（2025•西城区二模）已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex﹣lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，2），求a的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程；利用导数求解函数的极值．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（Ⅰ）a=（Ⅱ）证明见解答．（Ⅲ）0．【分析】（Ⅰ）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解；（Ⅱ）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到g(a)=【解答】解：（Ⅰ）求导，得f'(所以f（1）＝0，f'（1）＝ae﹣1，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（ae﹣1）（x﹣1），将点（2，2）代入切线方程，得a=（Ⅱ）证明：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'(设函数m（x）＝ax2ex﹣1，则m'（x）＝a（x2+2x）ex，由x＞0，得m′（x）＞0，所以函数m（x）在（0，+∞）上单调递增，因为m（0）＝﹣1＜0，m(所以存在唯一的x0∈(0，1a)，使得m（x0）＝0，即f'当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：x（0，x0）x0（x0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↓极小值↑所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故函数f（x）存在极小值f（x0）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数f（x）有最小值f（x）min＝f（x0）＝g（a），由f'(x0所以g(设函数h(x)=x-1x2-lnx，则h'(x)=-(x当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）h′（x）+0﹣h（x）↑极大值↓所以函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．所以当x＝1时，h（x）max＝h（1）＝0，即当x0＝1时，f（x0）max＝0．结合a=1ex0x02由函数y=1exx2(故当且仅当a=1e时，x0所以当a=1e时，g（a【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．12．（2025•襄城县三模）已知有穷正整数数列An：a1，a2，…an（n∈N*，n≥4）满足：ai∈{1，2，…，n}，且当i≠j（i，j∈N*，1≤i，j≤n）时，总有ai≠aj．定义数列An*：a1*，a2*，…，an*，其中a1*＝a1，a*k=ak-ak-1*，ak-1*＜ak，ak+ak-（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质P（1）；①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．（Ⅱ）已知数列A8具有性质P（m），求m的最小值；（Ⅲ）是否存在数列An具有性质P(n(n+1)2)，且a1*+a2*+…+an*＝2025？若存在，【考点】数列的应用．【专题】整体思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；新定义类．【答案】（Ⅰ）①数列不具有性质P（1）；②数列具有性质P（1）；（Ⅱ）m的最小值为2；（Ⅲ）A18：18，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，5，3，2，10．【分析】（Ⅰ）①求出a4即可求解；②求出a；即可求解；（Ⅱ）证明a8*=m2为偶数，根据a（Ⅲ）证明an≤an+an-1*≤an+an-1【解答】解：（Ⅰ）①由题意得a1*=4，a2*因为a4*≠1，所以数列不具有性质P②由题意得a1*=1，a2*=1，a3（Ⅱ）由已知ak*＞0，设ak*=ak+λk-1ak-1*，其中λk﹣1又a1*=即an因为λk﹣1∈{﹣1，1}，所以λk﹣1﹣1∈{﹣2，0}（k＝2，3，…，n），所以an*与an+an﹣1+⋯+a因为a1+a2+⋯+a8＝36，所以a8又a8*＞0又数列A8：1，2，3，4，5，6，8，7，此时A8*：1，1，2，2，3，3，5，2，m＝综上，m的最小值为2；（Ⅲ）由已知，0＜ak则an因为数列An具有性质P(n(所以ak记Sn所以Sn＝na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an，因为{a1，a2，⋯，an}＝{1，2，⋯，n}，所以Sn＝na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an≤n2+（n﹣1）2+…+22+12，当n≤17时，Sn所以n≥18，当n＝18时，数列A18：18，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，5，3，2，10，此时A18*：18，35，51，66，80，93，105，116，117，125，134，140，147，151，156，159，161，n(n+1)2=18×192=171，S18＝2025，所以数列A18：18，17，16，15，14，13，12，11，1，8，9，6，7，4，【点评】本题考查数列的综合应用，属于较难题．13．（2025•河北模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2S（1）证明：{an+1}是等比数列；（2）设bn=n(an+1)4，求数列{b【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）Tn【分析】（1）由an与Sn的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案；（2）由（1）可得{bn}的通项，利用错位相减法，可得答案．【解答】（1）证明：∵2S∴当n＝1时，2a1＝3a1﹣2﹣1，解得a1＝3；当n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣2n+1，∴2（Sn﹣Sn﹣1）＝3（an﹣an﹣1）﹣2，即an＝3an﹣1+2，∴an+1＝3（an﹣1+1）（n≥2），又a1+1＝4．∴数列{an+1}是以4为首项，3为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得an+1=4×3n则Tn3T两式相减有-2∴Tn【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14．（2025•顺义区一模）已知函数f(（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数f（x）存在且唯，确定．当f（x）在区间（0，a）（a＞0）上仅有一个零点时，求a的取值范围．条件①：f（x）在[π条件②：y＝f（x）图象的一个对称中心为(π条件③：对任意的x∈R，都有f(注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解；结构不良题．【答案】（Ⅰ）32（Ⅱ）(π【分析】（Ⅰ）将x＝0代入即可求解；（Ⅱ）将f（x）进行化简，根据所给条件，求出解析式，再根据f（x）在区间（0，a）上仅有一个零点，即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f(所以f(0)=（Ⅱ）f=sinωxcos=1选择条件①②：因为f（x）在[π所以最小正周期T满足：12T≥712所以2πω≥π，又ω＞0，所以0又因为y＝f（x）图象的一个对称中心为(π所以ωπ3+π3=kπ，k∈Z，即所以ω＝2，所以f(因为x∈（0，a），所以2x又因为f（x）在区间（0，a）上仅有一个零点，所以π＜2a所以a的取值范围是(π选择条件①③：因为f（x）在[π所以最小正周期T满足：12T≥712所以2πω≥π，又ω＞0，所以0又对任意的x∈R，都有f(所以x=π12为y＝f（x所以ωπ12+π3=π2+2kπ，所以ω＝2，所以f(因为x∈（0，a），所以2x又因为f（x）在区间（0，a）上仅有一个零点，所以π＜2a+π3≤2【点评】本题考查了三角函数的性质，属于中档题．15．（2025•嘉峪关校级模拟）“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息．某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M＝“了解村BA”，N＝“学生为女生”，据统计P(（1）根据已知条件，作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；（2）现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2P（χ2＞k）0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）2×2列联表为：了解不了解总计男生305080女生57580总计35125160有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；（2）X的分布列如下：X01234P114821374351210E（X）=8【分析】（1）先根据条件概率求得人数填写列联表：再代入公式求出χ2，将该值与临界值比较即可求解；（2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．【解答】解：（1）因为P(所以对“村BA”了解的女生人数为116×80=5，了解“村BA”的学生人数为5×7＝结合男生和女生各80名，作出2×2列联表为：了解不了解总计男生305080女生57580总计35125160χ2因此有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为5050+75×10=4，女生人数为随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(P(故随机变量X的分布列如下：X01234P114821374351210则E(【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．16．（2025•全国模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，△PCD为等边三角形，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4．（1）求证：PB⊥CD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为43，求平面PAD与平面PBC【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取CD的中点E，连接PE，BE，易证四边形ABED是平行四边形，进而证BE⊥CD，结合PE⊥CD，应用线面垂直的判定及性质证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，BE．因为CD＝2AB，AB∥CD，所以DE∥AB且DE＝AB，所以四边形ABED是平行四边形，则BE∥AD，因为CD⊥AD，所以BE⊥CD，又△PCD为等边三角形，所以PE⊥CD，因为PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PBE，所以CD⊥平面PBE，因为PB⊂平面PBE，所以PB⊥CD．（2）设四棱锥P﹣ABCD的高为h，由题设，得V=13由题设知PE=2所以PE⊥底面ABCD．如图所示，以点E为坐标原点，直线EB为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P(0，0，23)，A（2，﹣2，0），D所以PB→=(2，0，-2设平面PBC的法向量为m→则m→⊥PB令z1＝1，则x1=3，y设平面PAD的法向量为n→则n→⊥DP令z2＝1，则y2=-3，x2＝0设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，因为cos＜所以sinθ=即平面PAD与平面PBC的夹角正弦值为427【点评】本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．17．（2025•宝山区三模）已知a∈R，函数f(（1）若a＝2，求函数f（x）的表达式及定义域；（2）若关于x的方程f(x2【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法．【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）f(x)=（2）(1，【分析】（1）用换元法可得f(x)=log（2）将问题转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0只有一个解，分a＝2、a≠2求解即可．【解答】解：（1）f(令x+1＝t，则f(t)=因为a＝2，所以f(又2+1定义域为(-∞，（2）由（1）得f(方程f(即log可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0，且2x①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；②当a﹣2≠0，即a≠2时，x1（i）当-2=1a（ii）当-2≠1a-2时，即要满足题意，则有-1+或-1+综上可得，a的取值范围(1，【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想，考查了对数函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．18．（2025•沙河口区校级一模）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足btanBcosC+csinB＝2atanBcosA．（1）求A；（2）若a＝3，求2b【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π（2）(2【分析】（1）由正弦定理整理得等式，根据同角三角函数的商式关系，结合正弦函数，可得答案；（2）由正弦定理以及三角函数恒等式，整理函数解析式，换元，结合二次函数性质，可得答案．【解答】解：（1）由btanBcosC+csinB＝2atanBcosA，根据正弦定理，得sinBtanBcosC+sinCsinB＝2sinAcosAtanB，由tanB=sinBcosB，sinB＞0，则sinBcosC+sinCcosB＝2sinA即sin（B+C）＝sinA＝2sinAcosA，而sinA＞0，故cosA=又A∈（0，π），所以A=（2）由正弦定理，且asinA=23，则b由sinC=则2b-c+2sin(2B+π6)=33＝6sin（B-π6）+2cos2（B＝﹣4sin2（B-π6）+6sin（B-π在锐角三角形中，则0＜解得π6＜B可得sin(令t=sin(B-π6)，则﹣4sin2（B-π6）+6sin（B-π6）+2＝﹣4t2易知函数f(t)=-4(tf（0）＝2，f(34所以2b【点评】本题考查正弦定理的应用，锐角三角形的性质的应用，换元法的应用，二次函数的性质的应用，属于中档题．19．（2025•德州模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB（acosC+ccosA）＝bcosB．（1）求B；（2）设D为边BC的中点，若cosC=35，△ABC的面积为14【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）B=（2）AD=【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解；（2）先由题设求出sinA，接着由正弦定理求出b=57a，进而由面积公式S△ABC=12absinC求出a＝7，再在三角形ACD中由余弦定理AD2＝CD2+【解答】解：（1）根据题意可知，sinB（acosC+ccosA）＝bcosB，根据正弦定理可得sinB（sinAcosC+sinCcosA）＝sinBcosB，即sinBsin（A+C）＝sinBcosB，在△ABC中，由A+B+C＝π，得sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，所以sin2B＝sinBcosB，又B∈（0，π），sinB≠0，所以tanB＝1，所以B=（2）因为cosC=35所以sinA=所以ab=sinA因为S△ABC=12absinC=12×在三角形ACD中，由余弦定理可得AD所以AD=【点评】本题考查了两角和正弦公式和诱导公式，属于中档题．20．（2025•嘉峪关校级模拟）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=∠PDC=π2（Ⅰ）求证：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求平面CPB与平面PBQ所成的夹角的大小．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（1）证明见解答；（2）π6【分析】（1）先证平面QAB∥平面PDC，再利用面面平行的性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系．分别求出平面CPB与平面PBQ的法向量，利用向量法求解即可．【解答】解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，因为四边形ADPQ是梯形，QA∥PD，又QA⊄平面DCP，PD⊂平面PDC，所以QA∥平面PDC，又QA∩AB＝A，QA，AB⊂平面QAB，故平面QAB∥平面PDC，又因为QB⊂平面QAB，所以QB∥平面PDC．（2）因为∠PDA=∠PDC=∠ADC=π故以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则有C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），所以PB→=(2，2，-2)设平面PBQ的一个法向量m→则m→⊥PB令x＝1，则y＝1，z＝2，所以m→设平面CPB的一个法向量n→则n→⊥BC令y＝1，则z＝1，所以n→设平面CPB与平面PBQ的夹角为θ，则cosθ=因为0≤θ≤π所以平面CPB与平面PBQ的夹角的大小为π6【点评】本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题．21．（2025•鞍山模拟）已知函数f(（1）当k＝0时，证明：f（x）≤0；（2）若f（x）存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的极值．【专题】应用题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解；新定义类．【答案】（1）证明见解析；（2）k∈（﹣2，0）．【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；（2）求导后，分k≤﹣2和k＞﹣2讨论单调性和极值，当k＞﹣2时，构造函数g（x），由导数分析单调性解抽象函数不等式可得．【解答】解：（1）证明：根据已知：函数f(k＝0时，f（x）＝2lnx﹣x2+1，f'(0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）＝0．（2）f'(k≤﹣2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；k＞﹣2时，0＜x＜2k+2时，f′（x）＞0；x＞2所以f（x）在区间(0，2k所以f（x）的极大值为f(令g（x）＝2lnx+x﹣1（x＞0），则g'(所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，由已知g(所以2k+2＞1，解得综上，k∈（﹣2，0）．【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中等题．22．（2025•嘉峪关校级模拟）已知函数f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx，a≠0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若a＞2，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求（3）证明：当a∈[1，+∞）时，f（x）≥cosx．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）6x﹣y+1＝0；（2）a∈[2，+∞）；（3）证明见解析．【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）先确定f′（x）是（0，+∞）上的增函数．再由f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，得到f′（0）≥0，即可求解；（3）由cosx≤1，将问题转化成f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx≥1，构造函数g（a）＝exa2﹣3xa+2sinx﹣1，确定其在[1，+∞）上单调递增．进而转化成g（1）≥0恒成立，进而可求证．【解答】解：（1）因为f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx（a≠0），所以，当a＝﹣1时，f（x）＝ex+3x+2sinx，f′（x）＝ex+3+2cosx，则f′（0）＝6，又f（0）＝1，故曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝6x，即6x﹣y+1＝0；（2）令t（x）＝f′（x）＝a2ex﹣3a+2cosx，x＞0，则t′（x）＝a2ex﹣2sinx，由a＞2，x＞0，得a2ex＞2所以t′（x）＝a2ex﹣2sinx＞0恒成立，所以f′（x）是（0，+∞）上的增函数．因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以∀x∈（0，+∞），f′（x）＝a2ex﹣3a+2cosx≥0恒成立，所以只需f′（0）＝a2﹣3a+2≥0，解得a≥2或a≤1，又a＞故a≥2，即a∈[2，+∞）．（3）证明：因为cosx≤1，所以要证f（x）≥cosx，只需证f（x）＝a2ex﹣3ax+2sinx≥1，令g（a）＝exa2﹣3xa+2sinx﹣1，该二次函数的图象的对称轴为直线a=令h(x)=令h′（x）＞0，则x＜1，h′（x）＜0，则x＞1，所以h（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以h(x)max=h(1)=32e问题可转化为证明g（1）≥0，即证ex﹣3x+2sinx﹣1≥0，即证3x令F(则F'(令φ（x）＝2﹣3x+2sinx﹣2cosx，则φ'(所以φ（x）在R上单调递减，且φ（0）＝0，所以当x＜0时，F′（x）＞0，当x＞0时，F′（x）＜0，所以函数F（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以F（x）≤F（0）＝1，即3x【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，考查推理论证能力与综合运算能力，属于中档题．23．（2025•陆丰市校级三模）设正整数n≥2，对于数列A：a1，a2，…，an，定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a1a2，a2a3，…，an﹣1an，ana1．已知数列A0：a1，a2，…，an满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n）．记Ak+1＝T（Ak）（k＝0，1，2，…）．（Ⅰ）若A0：﹣1，1，1，写出数列A1，A2；（Ⅱ）若n为奇数且A0不是常数列，求证：对任意正整数k，Ak都不是常数列；（Ⅲ）求证：当且仅当n＝2m（m∈N*）时，对任意A0，都存在正整数k，使得Ak为常数列．【考点】数列的应用．【专题】应用题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（I）由题意，直接写出答案；（II）利用反证法，假设存在常数列，并建立方程，可证矛盾；（III）首先证明，若n＝2m（2s﹣1），其中m∈N*s≥2，s∈N*则存在n项的数列A0使得对任意的正整数k，Ak都不是常数列．其次证明：若n＝2m其中m∈N*对任意A0都存在正整数k，Ak是常数列．【解答】解：（I）由题意可得A1：﹣1，1，﹣1；A2：﹣1，﹣1，1．（II）证明：设n＝2t﹣1，其中t∈N*假设存在正整数k，使得Ak是常数列，由A0不是常数列，不妨设A0，A1，…，Ak﹣1，不为常数列且Ak为常数列，记Ak﹣1：b1，b2，⋯，b2t﹣2，b2t﹣1，则Ak：b1b2，b2b3，⋯，b2t﹣2b2t﹣1，b2t﹣1b1.令b2t＝b1，b2t+1＝b2，当i＝1，2，…，2t﹣1时，因为bibi+1＝bi+1bi+2且bi+1∈{﹣1，1}，所以bi＝bi+2．故b1＝b3＝b5＝⋯＝b2t﹣1＝b2＝b4＝⋯＝b2t﹣2.此时Ak﹣1为常数列，矛盾．（III）证明：首先证明，若n＝2m•（2s﹣1），其中m∈N*，s≥2，s∈N*，则存在n项的数列A0使得对任意的正整数k，Ak都不是常数列．证明：构造2s﹣1项的数列C0：c1，c2，⋯，c2s﹣1，其中c1＝c2＝⋯＝c2s﹣2＝1，c2s﹣1＝﹣1，构造n项的数列A0：c1，c2，⋯，c2s﹣1，c1，c1，⋯，c2s﹣1，⋯，c1，c2，⋯，c2s﹣1，对任意的正整数k，设∁k：d1，d2，…，d2s﹣1，则Ak：d1，d2…d2s﹣1，d1，d1，⋯，d2s﹣1，⋯，d1，d2，⋯，d2s﹣1，由于∁k不是常数列，故Ak不是常数列．其次证明：若n＝2m其中m∈N*，对任意A0，都存在正整数k，Ak是常数列．证明：假设存在n＝2m，其中m∈N*，使得存在数列A0使得对任意的正整数k，Ak都不是常数列，不妨设m的最小值为m0，情形一：m0＝1，则n＝2，记A0：a1，a2，则A1：a1a2，a1a2为常数列，矛盾．情形二：m0≥2对任意的数列A0：a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an，则A1：a1a2，a2a3，a3a4，⋯，an﹣2an﹣1，an﹣1an，ana1，A2：a1a3，a2a4，a3a5，…，an﹣2an，an﹣1a1，ana2，记A0：α其中n2=2m-1．则E1：a1a2，a2a3，⋯，an2a1，F1：β1β则依此类推，对任意正整数k，记Ek：u1，存在正整数k1，k2，使得Ek1，Fk2为常数列，记k0＝max{k1，则数列Ek0，Fk0均为常数列，设A2k0α，β，α，β则A2k0+1的各项均为αβ．即k＝2k0+l综上，当且仅当n＝2m（m∈N*）时，对任意A0，都存在正整数k，使得Ak为常数列．【点评】本题考查数列的应用，属于难题．24．（2025•扬州校级模拟）已知函数f(（1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值；（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；（3）若f（x）＞e2﹣1当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）﹣2e；（2）证明见解析；（3）[23(e【分析】（1）求出导函数，利用f′（x）≥0列不等式求解即可．（2）先判断y＝f（x）定义域关于原点对称，再设P（m，n）为y＝f（x）图象上任意一点，然后利用指数运算判断点Q（2﹣m，2a﹣n）也在y＝f（x）图象上，即可证明．（3）由题意，x＝2为f（x）＝e2﹣1的一个解，可得a=-b2，设t＝x﹣1∈（0，1），则有g(t)=e(et-e-【解答】解：（1）当b＝0时，f（x）＝ex﹣e2﹣x+ax，则f'(∵ex+e2e故f′（x）min＝2e+a，而f′（x）≥0成立，故2e+a≥0，即a≥﹣2e，∴a的最小值为﹣2e．（2）证明：f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．设P（m，n）为y＝f（x）图象上任意一点，P（m，n）关于（1，a）的对称点为Q（2﹣m，2a﹣n），∵P（m，n）在y＝f（x）图象上，故n=而f(2-∴Q（2﹣m，2a﹣n）也在y＝f（x）图象上，由P的任意性可得y＝f（x）图象为中心对称图形，且对称中心为（1，a）．（3）∵f（x）＞e2﹣1当且仅当1＜x＜2，故x＝2为f（x）＝e2﹣1的一个解，∴f（2）＝e2﹣1，可得a=-b2，依题意f（x）＞e2﹣1在（1，2设t＝x﹣1∈（0，1），则f(则有g(t)=e(et∵g'(t)=∴φ'(当b＝0时，∴g（t）＝e1+t﹣e1﹣t在（0，1）上单调递增，则g（t）＜g（1）＝e2﹣1，∴舍去；当b＜0时，y＝e1+t﹣e1﹣t与y=-b2t+∴g（t）在（0，1）上单调递增，则g（t）＜g（1）＝e2﹣1，∴舍去；当b＞0时，由t∈（0，1）知et﹣1＞0，2bt3＞0，∴φ′∴φ（t）在（0，1）单调递增．1．当φ(1)=e2+1-b2-b≤0，即b≥23(e2∴g（t）在（0，1）上单调递减，则g（t）＞g（1）＝e2﹣1；2．当φ(1)=e2+1-b2-b＞0，即0＜b∴∃t0∈（0，1），使φ（t0）＝0，∴g（t）在（0，t0）上单调递减，在（t0，1）上单调递增，∴g(t0综上，b≥23(e2+1)，即【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．25．（2025•嘉峪关校级模拟）已知A（﹣2，0），B(1，32)两点在椭圆C：x2a2+y2b2=1上，直线l交椭圆C于（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1+k2＝1时，①求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；②求|OH|的最小值．【考点】椭圆的定点及定值问题；根据椭圆上的点求椭圆的标准方程．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（1）x24+y23=1；（2）①证明见解析，（﹣【分析】（1）将A（﹣2，0），B(1，32)（2）①设直线l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合k1+k2＝1，解出k，m的关系即可求解；②由AH⊥PQ可得点H在以AS为直径的圆上，利用圆的性质求解即可；【解答】解：（1）由题意可得(-2)2所以椭圆C的标准方程为：x2（2）①证明：由条件k1+k2＝1，可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组：y=kx+mx24+y23=1⇒（3+4k2）其中Δ＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0⇒m2﹣4k2＜3（▲），所以x1+x由条件k1+k2＝1，即y1由于直线l不过点A，故m≠2k，化简可得1x所以1⇒3+4代入（▲）式，k＜-12，此时直线l：y＝kx+2k+3恒过定点S（﹣②因为AH⊥PQ，所以点H在以AS为直径的圆上，圆心为G(-2，3所以|OH此时H的坐标为(-45，35故|OH|的最小值为1．【点评】本题考查椭圆方程的应用，属于难题．

考点卡片1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．3．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．若α为锐角，sinα=45，则解：若α为锐角，sinα=45，则cossin(α+π3)=14．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=25．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．6．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．7．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．8．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．9．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1n≥2s（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．10．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数