2025年天津市高考数学试卷

第58页（共58页）2025年天津市高考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2025•天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4}2．（5分）（2025•天津）设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2025•天津）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=x1-|x| B．f（C．f（x）=|x|1-x2 D4．（5分）（2025•天津）若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2025•天津）下列说法中错误的是（）A．若X∼N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X∼N（1，22），Y∼N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相关性越强 D．|r|越接近0，相关性越弱6．（5分）（2025•天津）Sn＝﹣n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（）A．112 B．48 C．80 D．647．（5分）（2025•天津）函数f（x）＝0.3x-xA．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）8．（5分）（2025•天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[-5π12，π12]上单调递增，且x=π12为它的一条对称轴，（π3，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，A．-32 B．-12 C．19．（5分）（2025•天津）双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|+|PF2|＝A．2 B．5 C．2+12 D二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。10．（5分）（2025•天津）已知i是虚数单位，则|3+ii|＝11．（5分）（2025•天津）在（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为（用数字作答）．12．（5分）（2025•天津）l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝．13．（5分）（2025•天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E（X）＝．14．（5分）（2025•天津）△ABC中，D为AB边中点，CE→=13CD→，AB→=a→，AC→=b→，则AE→=（用a→15．（5分）（2025•天津）若a，b∈R，对∀x∈[﹣2，2]，均有（2a+b）x2+bx﹣a﹣1≤0恒成立，则2a+b的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）（2025•天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB=3bcosA，c﹣2b＝1，a=（I）求A的值；（Ⅱ）求c；（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．17．（15分）（2025•天津）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1中点，CG＝3C1G．（I）求证：GF⊥平面EBF；（Ⅱ）求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥D﹣BEF的体积．18．（15分）（2025•天津）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，P为x＝a上一点，且直线PF的斜率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB．19．（15分）（2025•天津）{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3．（I）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）∀n∈N*，I＝{0，1}，有Tn＝{p1a1b1+p2a2b2+⋯+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn|p1，p2，⋯，pn﹣1，pn∈I}．（i）求证：∀t∈Tn，均有t＜an+1bn+1；（ii）求Tn所有元素之和．20．（16分）（2025•天津）已知函数f（x）＝ax﹣（lnx）2．（I）a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）f（x）有3个零点x1，x2，x3，且（x1＜x2＜x3）．（i）求a的取值范围；（ii）证明：（lnx2﹣lnx1）•lnx3＜4

2025年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案DADCBCBAA一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2025•天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】对应思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】由集合的运算计算即可求得．【解答】解：因为A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，所以A∪B＝{1，2，3，5}，因为U＝{1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）＝{4}．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．2．（5分）（2025•天津）设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】任意角的三角函数的定义；充分条件必要条件的判断．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】利用正弦函数的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义求解．【解答】解：x∈R，则“x＝0”⇒“sin2x＝0”，“sin2x＝0”⇒“2x＝kπ，k∈Z”，∴“x＝0”是“sin2x＝0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查正弦函数的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义等基础知识，是基础题．3．（5分）（2025•天津）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=x1-|x| B．f（C．f（x）=|x|1-x2 D【考点】由函数图象求解函数或参数．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】由函数的性质和特殊值法排除即可．【解答】解：由图象可得f（x）为偶函数，因为A，B选项的函数为奇函数，故排除A，B；因为C，D选项的函数为偶函数，且对于C，f(12)=1故选：D．【点评】本题考查函数的图象与性质，属于基础题．4．（5分）（2025•天津）若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【考点】直线与平面垂直．【专题】分类讨论；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；空间想象．【答案】C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断．【解答】解：对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n可能平行也可能异面，故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，C正确；对于D，若m⊂α，α⊥β，则m可能平行于β，也可能与β斜交，也可能垂直于β，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查直线和平面间的位置关系，属于中档题．5．（5分）（2025•天津）下列说法中错误的是（）A．若X∼N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X∼N（1，22），Y∼N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相关性越强 D．|r|越接近0，相关性越弱【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】由正态分布的性质判断A，B；由相关系数的性质判断C，D．【解答】解：对于A，由正态分布的性质可知，当X∼N（μ，σ2）时，则P（X≤μ﹣σ）＝P（x≥μ+σ），故A正确；对于B，由正态分布的性质可知，当X∼N（1，22），Y∼N（2，22）时，P（X＜1）=12=P（Y＜2对于C，D，由相关系数的性质可知，|r|越接近1，相关性越强，|r|越接近0，相关性越弱，故C，D正确．故选：B．【点评】本题考查了正态分布的性质、相关系数的性质，属于基础题．6．（5分）（2025•天津）Sn＝﹣n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（）A．112 B．48 C．80 D．64【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】由an与Sn的关系求得an＝﹣2n+9，再去绝对值后求和即可．【解答】解：因为Sn＝﹣n2+8n，所以当n＝1时，a1＝S1＝﹣1+8＝7，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+8n）﹣[﹣（n﹣1）2+8（n﹣1）]＝﹣2n+9，当n＝1时，也满足上式，所以an＝﹣2n+9，所以当n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0，所以{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+...+|a4|+|a5|+...+|a12|＝a1+a2+a3+a4﹣（a5+a6+...+a12）＝2（a1+a2+a3+a4）﹣（a1+a2+...+a12）＝2S4﹣S12＝2（﹣16+32）﹣（﹣144+96）＝80．故选：C．【点评】本题考查由数列的前n项和求通项，数列前n项和的求解，属于基础题．7．（5分）（2025•天津）函数f（x）＝0.3x-xA．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）【考点】求解函数零点所在区间．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】由指数函数及幂函数的性质可得y＝f（x）在[0，+∞）上单调递减，再由零点存在定理求解即可．【解答】解：因为f（x）＝0.3x-x，x≥0又因为y＝0.3x与y=-x在[0，+∞所以f（x）＝0.3x-x在[0，+∞又因为f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3-0.3=f（0.5）＝0.30.5-0.5=由零点存在定理可得，∃x0∈（0.3，0.5），使f（x0）＝0，即函数y＝f（x）的零点所在区间为（0.3，0.5）．故选：B．【点评】本题旨在考查了零点存在定理，考查了指数函数、幂函数的性质，属于中档题．8．（5分）（2025•天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[-5π12，π12]上单调递增，且x=π12为它的一条对称轴，（π3，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，A．-32 B．-12 C．1【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】根据函数的单调性，确定出ω＝4n+2，再根据单调区间确定周期范围得出0＜ω≤2，从而可确定ω＝2，最后结合单调性与对称中心得出φ，可得出f（x）解析式，再根据正弦函数的图像得出最值即可．【解答】解：因为f（x）在[-5π12，π12]可得f（π12）＝1，即π12ω+φ＝2kπ+π2因为f（x）的图象关于（π3，0所以π3ω+φ=mπ，且π3-π12=2n解得ω＝4n+2，n∈Z，因为在[-5π12，π12解得0＜ω≤2，所以ω＝2，根据①②，可得φ=2因为﹣π＜φ＜π，所以φ=π故f（x）＝sin（2x+π当x∈[0，π2]时，2x+π3∈[π3，4π3]，可得f（x）的最小值为f故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的周期公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．9．（5分）（2025•天津）双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|+|PF2|＝A．2 B．5 C．2+12 D【考点】圆锥曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】画出图形，结合双曲线的定义，抛物线的定义，通过勾股定理，综合求解双曲线的离心率即可．【解答】解：如图，抛物线的准线为F1E，E为过P作准线的垂线，与准线的交点，过P作x轴的垂线，交点为D，由题意，|PF1|+|PF2|＝3|F1F2|＝6c，|PF1|﹣|PF2|＝2a，解得|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a，xP＝2c﹣a，|F2D|＝c﹣a，|EP|＝3c﹣a，|P可得（3c+a）2﹣（3c﹣a）2＝（3c﹣a）2﹣（c﹣a）2，化简可得2a＝c，所以e=c故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。10．（5分）（2025•天津）已知i是虚数单位，则|3+ii|＝10【考点】复数的模；复数的除法运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】10．【分析】由复数的除法运算求得3+ii=1﹣3i【解答】解：因为3+ii=(3+i所以|3+ii|＝|1﹣3i|故答案为：10．【点评】本题考查复数的除法运算和模的求解，属于基础题．11．（5分）（2025•天津）在（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为﹣20（用数字作答）．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】﹣20．【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1=C6r⋅(-1)r⋅x6-r（r＝当r＝3时，展开式中x3的系数为C6故答案为：﹣20．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．12．（5分）（2025•天津）l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】2．【分析】求出A，B的坐标，从而求得|AB|=62，|CD|=22，由圆的弦长公式求出|CD|=2r【解答】解：因为l1：x﹣y+6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，所以A（﹣6，0），B（0，6），所以|AB|＝62，因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|=22因为l1：x﹣y+6＝0与圆（x+1）2+（y﹣3）2＝r2交于C，D两点，且圆心（﹣1，3）到直线的距离为d=|-1-3+6|所以|CD|=2r2-故答案为：2．【点评】本题考查圆的弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）（2025•天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为0.6；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E（X）＝3.2．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；全概率公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.6；3.2．【分析】由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，利用全概率公式可求解第一空，利用二项分布的期望公式可求解第二空．【解答】解：由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2，小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6+0.5×0.6＝0.6，小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2，一周至少跑11圈的概率为0.6+0.2＝0.8，则X～B（4，0.8），所以E（X）＝4×0.8＝3.2．故答案为：0.6；3.2．【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．14．（5分）（2025•天津）△ABC中，D为AB边中点，CE→=13CD→，AB→=a→，AC→=b→，则AE→=16a→+2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】16a→【分析】由平面向量的线性运算计算可求得第一空；由|AE→|＝5，AE⊥CB结合平面向量的线性运算与数量积建立关于a→2，a→⋅【解答】解：因为D为AB边中点，CE→所以AE=1因为|AE→|＝5，所以136因为CB→=AB→-所以AE→⋅由①②可得：a→⋅b因为CD→所以AE=112故答案为：16a→【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．15．（5分）（2025•天津）若a，b∈R，对∀x∈[﹣2，2]，均有（2a+b）x2+bx﹣a﹣1≤0恒成立，则2a+b的最小值为﹣4．【考点】函数恒成立问题；基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑思维；运算求解．【答案】﹣4．【分析】先设t＝2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=-12，得到t≥﹣4，验证t＝﹣4时，a【解答】解：设t＝2a+b，原题即求t的最小值，原不等式可化为对任意的x∈[﹣2，2]，tx2+（t﹣2a）x﹣a﹣1≤0，为了消去a，不妨取x=-12，得14t-当t＝﹣4时，原不等式可化为﹣4x2+（﹣4﹣2a）x﹣a﹣1≤0，即-[2观察可知，当a＝0时，﹣（2x+1）2≤0对x∈[﹣2，2]恒成立，当且仅当x=-此时a＝0，b＝﹣4，说明当t＝﹣4时，a，b均可取到，满足题意，所以t＝2a+b的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查不等式恒成立问题，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）（2025•天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB=3bcosA，c﹣2b＝1，a=（I）求A的值；（Ⅱ）求c；（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（I）A=π（Ⅱ）c＝3；（Ⅲ）43【分析】（I）由正弦定理，边角互化求解即可；（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，代入已知数据及b=c（Ⅲ）由余弦定理可得cosB=5714，sinB=2114，从而求出cos2【解答】解：（I）因为asinB=3bcosA所以sinAsinB=3sinBcosA又因为sinB≠0，所以sinA=3cosA即tanA=3因为A∈（0，π），所以A=π（Ⅱ）因为A=π3，c﹣2b＝1，a所以a2＝b2+c2﹣2bccosA，即7=(c-12)2整理得：3c2＝27，解得c＝3；（Ⅲ）因为A=π3，c﹣2b＝1，c＝3，a所以b＝1，cosB=a所以sinB=1-所以sin2B＝2sinBcosB=5314，cos2B＝cos2B﹣sin2所以sin（A+2B）＝sinAcos2B+cosAsin2B=3【点评】本题考查了三角恒等变换、利用正弦定理及余弦定理解三角形，属于中档题．17．（15分）（2025•天津）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1中点，CG＝3C1G．（I）求证：GF⊥平面EBF；（Ⅱ）求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥D﹣BEF的体积．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；棱锥的体积；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解；空间想象．【答案】（I）证明见解答；（Ⅱ）45；（Ⅲ）32【分析】（I）建立空间直角坐标系，求平面EBF的法向量，通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明线面垂直；（Ⅱ）利用空间向量法求平面与平面的夹角的余弦值；（Ⅲ）先由题意得△FBE为直角三角形，求出其面积，然后利用空间向量法求点到平面的距离，最后利用棱锥的体积公式求解即可．【解答】解：（I）证明：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由已知得D（0，0，0），B（4，4，0），G（0，4，3），E（2，0，4），F（2，4，4），所以GF→=(2，0，1)，BE→=（﹣设平面BEF的法向量为n→=（x0，y0，z则BE→⋅n取z0＝1，则n→=(2，所以GF→∥n所以GF⊥面BEF．（Ⅱ）由（I）得EG→=（﹣2，4，﹣设平面BEG的法向量为m→=（x1，y1，z则BE→⋅m取z1＝1，则m→=（34，5所以cos＜n故平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为45（Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，C1B1中点，所以EF⊥平面CBB1C1，又FB⊂平面CBB1C1，所以EF⊥FB，在△FBE中，因为EF＝4，BF=BB12+所以S△BEF=12•EF•BF=1又DE→=（2，0，则点D到平面BEF的距离为d=|所以三棱锥D﹣BEF的体积为V=13S△BEF•d【点评】本题考查利用空间向量法判断线面垂直和求二面角的余弦值，考查锥体的体积，是中档题．18．（15分）（2025•天津）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，P为x＝a上一点，且直线PF的斜率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB．【考点】直线与椭圆的综合．【专题】转化思想；综合法；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）x24+【分析】（I）根据题意，利用椭圆的离心率得到a＝2c，再由直线PF的斜率得到m＝c，从而利用三角形的面积公式得到关于c的方程，解方程即可得解；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得k，进而得到直线PB的方程与点B的坐标，利用向量的夹角公式即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆x2a2则左焦点F（﹣c，0），右顶点A（a，0），由离心率e=ca=12因为P为x＝a上一点，设P（a，m），由直线PF的斜率为13，得m-0所以m2解得m＝c，则P（a，c），即P（2c，c），在△PFA中，|AF|＝a﹣（﹣c）＝a+c＝3c，高为|m|＝c，所以S△解得c＝1，则a＝2c＝2，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆的方程为x2（Ⅱ）证明：由（1）得P（2，1），F（﹣1，0），A（2，0），易知直线PB的斜率存在，设其方程为y＝kx+t，则1＝2k+t，即t＝1﹣2k，联立y=消去y得，（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ＝（8k•t）2﹣4（3+4k2）•（4t2﹣12）＝0，即4k2﹣t2+3＝0，则4k2﹣（1﹣2k）2+3＝0，解得k=-12，则t所以直线PB的方程为y=-联立y=-解得x=1y=所以FB→=(2，32)，FP→所以cos∠cos∠则cos∠BFP＝cos∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈（0，π2所以∠BFP＝∠PFA，即PF平分∠AFB．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑思维和运算求解能力，属于中档题．19．（15分）（2025•天津）{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3．（I）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）∀n∈N*，I＝{0，1}，有Tn＝{p1a1b1+p2a2b2+⋯+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn|p1，p2，⋯，pn﹣1，pn∈I}．（i）求证：∀t∈Tn，均有t＜an+1bn+1；（ii）求Tn所有元素之和．【考点】数列的应用；数列的求和．【专题】分类讨论；方程思想；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）an＝3n﹣1，bn=2n；（Ⅱ）（i）证明见解答；（ii）2n﹣1[8+（3n﹣4）2【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}公比为q（q≠0），由题中条件列出关于d和q（q≠0）的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；（Ⅱ）（i）由题意结合（Ⅰ）求出an+1bn+1和p1a1b1+p2a2b2+…+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn的最大值，再作差比较两者大小即可证明；（ii）根据p1，p2，…，pn﹣1，pn中全为1；一个为0其余为1；2个为0其余为1；…；全为0等情况将Tn中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}公比为q（q≠0），因为a1＝b1＝2，a2＝b2+1，a3＝b3，所以2+d=2q所以an（Ⅱ）（i）证明：由（1）知anpnan当pn设Sn＝p1a1b1+p2a2b2+...+pn﹣1an﹣1bn﹣1+pnanbn＝2×2+5×22+...+（3n﹣4）2n﹣1+（3n﹣1）2n，①则2Sn①﹣②得：-=4+3×22(1-2n-1)1-2-(3所以Sn=8+(3n-4)2此时an+1所以对∀t∈Tn，均有t＜an+1bn+1；（ii）由（i）得Sn=8+(3n-由题可得Tn中的所有元素由以下系列中所有元素组成：当p1，p2，…，pn﹣1，pn均为1时：此时该系列元素只有Sn=8+(3n-当p1，p2，…，pn﹣1，pn中只有一个为0，其余均为1时：此时该系列的元素有Sn﹣a1b1，Sn﹣a2b2，Sn﹣a3b3，…，Sn﹣anbn共有Cn1则这n个元素的和为Cn当p1，p2，…，pn﹣1，pn中只有2个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为Sn﹣aibi﹣ajbj（i，j∈{1，2，…，n}，i≠j）共有Cn2则这n个元素的和为Cn当p1，p2，…，pn﹣1，pn中有3个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为Sn﹣aibi﹣ajbj﹣akbk（i，j，k∈{1，2，…，n）}，i≠j≠k）共有Cn3则这n个元素的和为Cn3S当p1，p2，…，pn﹣1，pn中有n﹣1个为0，1个为1时：此时该系列的元素为a1b1，a2b2，…，anbn共有Cnn则这n个元素的和为Cn当p1，p2，…，pn﹣1，pn均为0时：此时该系列的元素为0=(Cnn-综上所述，Tn中的所有元素之和为S=[(c=(2【点评】本题考查等差等比数列基本量的运算，错位相减法求数列的和，数列的综合应用，属于难题．20．（16分）（2025•天津）已知函数f（x）＝ax﹣（lnx）2．（I）a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）f（x）有3个零点x1，x2，x3，且（x1＜x2＜x3）．（i）求a的取值范围；（ii）证明：（lnx2﹣lnx1）•lnx3＜4【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；数形结合法；定义法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）x﹣y＝0；（Ⅱ）（i）（0，4e2）；（【分析】（Ⅰ）a＝1时f（x）＝x﹣（lnx）2，求出f（1）＝1与f′（1），即可写出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）（i）由f（x）＝0，得a=(lnx)2x，设g（x）=(lnx)2x，利用导数求出g（（ii）由题意，0＜x1＜1＜x2＜e2＜x3，设lnx1＝t1，lnx2＝t2，lnx3＝t3，则t1＜0＜t2＜2＜t3，代回方程由均值不等式得t3t2＜4，再证t2t3﹣t1t3＜4ee-1，分析得出t3et32≤4e-1，构造函数h【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝x﹣（lnx）2，且f（1）＝1，f′（x）＝1﹣2lnx•1x，所以k＝f′（1）＝1所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣1），即x﹣y＝0；（Ⅱ）（i）由f（x）＝0，得a=(lnx)2x设g（x）=(lnx)2x，则g′令g′（x）＝0，得x＝1或x＝e2，所以x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）∈（0，+∞）；x∈（1，e2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）∈（0，4ex∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）∈（0，4e画出函数g（x）的大致图象，如图所示：由函数的图象，结合题意知，a的取值范围是（0，4e（ii）证明：由（i）知，0＜x1＜1＜x2＜e2＜x3，设lnx1＝t1，lnx2＝t2，lnx3＝t3，则t1＜0＜t2＜2＜t3，又aet1=t12①aet2=t22②aet3=由对数均值不等式得2=t3-t2lnt3要证（lnx2﹣lnx1）lnx3＜4ee-1，即证t2t3﹣t只需证4﹣t1t3≤4ee-1，即证﹣t又因为t1＜0，t12=aet1＜a，所以|t1所以﹣t1t3＜at32=设h（t）=t2et2，t＞2，则h′当2＜t＜4时，h′（t）＞0，h（t）在（2，4）上单调递增；当t＞4时，h′（t）＜0，h（t）在（4，+∞）上单调递减；所以h（x）max＝h（4）=16e2，即h（t由4e2﹣16e+16＝4（e﹣2）2＞0，得16e【点评】本题考查了导数的综合应用问题，也考查了函数的零点与不等式的证明应用问题，是难题．

考点卡片1．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）∁U（A∩B）；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅲ）A∩（∁UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．2．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．4．由函数图象求解函数或参数【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．【命题方向】识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（）A.fB.fC.fD.f解：f(x)=2xx2当x＞1时，f(x)=2x对于D，f(-x)=x2+1x2故选：A．5．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．6．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．7．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；递减区间：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ8．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．9．求解函数零点所在区间【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．函数f(A.(B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因为函数f(在（0，+∞）上为单调递增函数，又因为f（e）＝1-3e＜0，f（e2）＝2所以f（x）的零点位于（e，e2）．故选：C．10．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝则S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．11．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．12．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．13．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的最值，结合函数的定义域进行分析．设函数f(x)=1x解：因为f(所以f'(令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0所以f（x）的单调增区间为(12，所以当x=12时，f（x所以f（x）的最小值为2﹣2ln2．14．利用导数求解曲线在某点上的切线方程【知识点的认识】曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．【命题方向】常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．曲线y=2xx2+1在点（2解：由题意得y'=则曲线在点（2，45）处的切线斜率k＝y'|x＝2=故曲线y=2xx2+1在（2，45）处的切线方程为y-45=-625（x故答案为：6x+25y﹣32＝0．15．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b（3）分配律：（a→⋅b→）•c平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．16．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．17．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．18．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=19．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=20．复数的除法运算【知识点的认识】复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1【解题方法点拨】﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．【命题方向】﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．i是虚数单位，2i1+解：2i1+i21．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．22．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．23．空间向量法求解二面角及两平面的夹角【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，【解题方法点拨】﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．24．直线与圆相交的性质【知识点的认识】直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．【解题方法点拨】例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，即d=|∴|m|＜2即-2∴满足-2故答案为：满足-2这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．【命题方向】本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．25．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=(1+k2注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．26．求双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的离心率e是e=ca【解题方法点拨】1．计算离心率：利用公式e=2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．【命题方向】﹣给定双曲线的参数，求离心率．﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．27．圆锥曲线的综合【知识点的认识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图