（人教A版）必修一高一数学上学期同步考点讲练1.5 全称量词与存在量词（解析版）

1/11.5全称量词与存在量词（精讲）考点一全称、存在命题辨析【例1】下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】

①②③

④【解析】④含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题，①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题．故答案为：①②③；④．【一隅三反】1．下列命题中为全称量词命题的是（

）A．有些实数没有倒数B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题；对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题；对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题；对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题.故选：B.2.下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式

D．一定存在没有最大值的二次函数【答案】D【解析】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称命题．B选项中，意思是所有的自然数都是正整数，它是全称命题．C选项中，“都”是全称量词，它是全称命题．D选项中，“存在”是特称量词，它是特称命题．故选：D．3．下列命题中，是全称量词命题的是（

）A．，B．当时，函数是增函数C．存在平行四边形的对边不平行D．平行四边形都不是正方形【答案】D【解析】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个.AC选项含有存在量词：存在，所以是特称命题，B选项存在一个使得函数是增函数，所以B选项也是特称命题.D选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称命题.故选：D.考点二命题真假的判断【例2】下列四个命题：①

②③

④至少有一个实数，使得其中真命题的序号是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【解析】对于①中，由成立，所以命题①为真命题；对于②中，由无法判定真假，所以②不是命题，不符合题意；对于③中，例如当时，此时，所以命题为假命题；对于④中，由，解得，所以命题④为真命题；故选：D.【一隅三反】1．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（

）A．，有 B．所有的质数都是奇数C．至少有一个实数，使 D．有的正方形的四条边不相等【答案】A【解析】对于A，是全称量词命题，且为真命题，所以A正确，对于B，是全称量词命题，而2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假命题，所以B错误，对于C，是特称量词命题，所以C错误，对于D，是特称量词命题，且为假命题，所以D错误，故选：A.2．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2【答案】B【解析】锐角三角形的内角都是锐角，A是假命题.时，，所以B选项中的命题既是存在性命题又是真命题.，所以C选项中的命题是假命题.时，，所以D选项中的命题是假命题.故选：B3．在下列命题中，是真命题的是（

）A．B．C．D．已知，则对于任意的，都有【答案】B【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B，，，故该选项正确；选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.故选：B.考点三命题的否定【例3】设命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，即的否定格式为：,所以的量词格式错误，而选项未对结论进行否定，其正确的写法为，故选：.【一隅三反】1．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由特称命题的否定为全称命题，所以原命题的否定为，.故选：B2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是，故选：D3．已知命题，则的否定为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的否定为，故选：C4．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2<0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+<0 D．∃x0∈R，|x0|+≥0【答案】C【解析】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.考点四求参数【例4-1】如果命题“使得”是假命题，那么实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，命题“使得”是假命题，则该命题的否定为“”，且是真命题；所以，.故选：B【例4-2】若命题“”是真命题，则的取值范围是__________.【答案】【解析】对于任意恒成立，即大于3的数恒大于.故答案为：.【一隅三反】1．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知“，”为真命题，所以，解得．故选：A2．已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（

）A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3【答案】D【解析】因命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，则有命题：x∈{x|1<x<3}，x-a<0，又是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3，所以实数a的取值范围是a≥3.故选：D3．已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）∵，∴，解得，故实数的取值范围是

（2）当q为真命题时，则，解得

∵p，q有且只有一个真命题当真假时，，解得：当假真时，，解得：综上可知，或

故所求实数的取值范围是或.考点五全称存在量词与充分必要条件的综合【例5】“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，为真命题，，，，，当或时，，，，，，，为真命题的一个充分不必要条件是，故选：．【一隅三反】1．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】命题“，”是真命题，则，因此，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.故选：A.2．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若“为真命题，得对于恒成立，只需，所以是命题“为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.3．（多选）已知p：，成立，则下列选项是p的充分不必要条件的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由p：，成立，得当时，，即.对于A，“”是“”的充分不必要条件；对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件；对于C，“”是“”的充分不必要条件；对于D，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：AC.1.5全称量词与存在量词（精练）1全称、存在命题的辨析1．下列命题中是全称量词命题的个数为（

）①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】命题①含有全称量词，为全称量词命题；命题②含有存在量词，为存在量词命题；命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，为全称量词命题．故有2个全称量词命题．选:C．2．下列语句是存在性命题的是（

）A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除C．若，则 D．，【答案】B【解析】对于A，不是命题，不能判断真假，故A错误；对于B，命题含有存在量词“存在”，故B是存在性命题，B正确；对于C，是“若p则q”的形式命题，C错误；对于D，是全称量词命题，D错误.故选：B3．（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（

）A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立【答案】BC【解析】A和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，∴B、C是全称量词命题.故选：BC.2命题真假的判断1．下列四个命题中，是真命题的为（

）A．任意，有 B．任意，有C．存在，使 D．存在，使【答案】C【解析】由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．由于，当时，不成立，故B为假命题．由于，当时，，故C为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．故选：C2．已知命题p：，，命题q：，，则（

）A．命题p，q都是真命题B．命题p是真命题，q是假命题C．命题p是假命题，q是真命题D．命题p，q都是假命题【答案】B【解析】当时，，，故命题p为真命题，当时，，故命题q为假命题，故选：B．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（

）A．， B．，2x为偶数C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数【答案】C【解析】对于A，是全称命题，当，，故是假命题，故A不符合题意；对于B，是特称命题，不是全称命题，故B不符合题意；对于C，是全称命题，也是真命题，故C符合题意；对于D，是真命题，但不是全称命题，故D不符合题意．故选：C.4.下列四个命题中，其中为真命题的是（

）A．∀x∈R，x2+3<0 B．∀x∈N，x2≥1C．x∈Z，x5<1 D．x∈Q，x2=3【答案】C【解析】由∀x∈R都有x2≥0，则x2+3≥3，故命题“∀x∈R，x2+3<0”为假命题；由0∈N，当x=0时x2≥1不成立，故命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由1∈Z，当x=1时x5<1，故命题“x∈Z，使x5<1”为真命题；使x2=3成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，则命题“x∈Q，x2=3”为假命题，故选：C.5．（多选）下列四个命题中真命题为（

）A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0C．∃x∈N*，x为29的约数D．对实数m，命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0.命题q：m≥3.则p是q的必要不充分条件【答案】ACD【解析】，A正确；∵，则，B不正确；29的约数有1和29，C正确；∀x∈R，x2－4x＋2m≥0，则，即p是q的必要不充分条件，D正确；故选：ACD．6．（多选）下列存在量词命题中，为真命题的是（

）A．有些自然数是偶数 B．至少有一个x∈，使x能同时被2和3整除C．，|x|<0 D．，x2-2x+3=0【答案】AB【解析】对于A，2，4都是自然数，也都是偶数，A正确；对于B，6是整数，6能同时被2和3整除，B正确；对于C，因是真命题，则，|x|<0是假命题，C不正确；对于D，因，成立，则，是假命题，D不正确.故选：AB7．（多选）已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（

）A．，且 B．，C．，或 D．，且【答案】AB【解析】全集为，，是的非空子集且，则，，的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，，且，A正确；因，必有，，B正确；若，则，此时，，即且，C不正确；因，则不存在满足且，D不正确.故选：AB8．（多选）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有(

)A．， B．有的矩形不是平行四边形C．， D．，【答案】AB【解析】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D错误，选项A：因为，所以命题为假命题；选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；选项C：，故命题为真命题，故C错误，故选:AB．9．（多选）下列命题是假命题的是（

）A．若，则且 B．存在整数n，使n能被13整除C．对任意，都有 D．若，则【答案】CD【解析】对于A，根据交集的定义可知：若，则且为真命题；对于B，存在整数n，使n能被13整除，例如，所以为真命题；对于C，对任意，都有，不正确，例如，，所以为假命题；对于D，若，则，不正确.例如，但，所以为假命题.故选：CD.10．（多选）下列四个命题中，假命题是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A中，当时，不成立，所以命题“”是假命题；对于B中，取时，，所以命题“”为真命题；对于C中，根据绝对值的定义，可得恒成立，所以命题“”是假命题；对于D中，当时，，所以命题“”为假命题.故选：ACD3命题的否定1．命题“，”的否定形式为（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】命题“，”的否定形式为，故选：A2．设命题：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由命题：，，得：，，故选：C.3.命题“R，”的否定是（

）A．R， B．R，C．R， D．R，【答案】C【解析】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“R，”的否定是R，.故选：C.4．命题“”的否定是（

）A．不存在 B．C． D．【答案】D【解析】命题“”为特称量词命题，其否定为；故选：D5．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因为用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A6．命题p:存在一个自然数n使n2>2n+5成立.则p的否定的符号形式及其真假为（

）A．n∈N，n2≤2n+5.

真 B．n∈N，n2≤2n+5.

假C．n∈N，n2>2n+5.

假 D．n∈N，n2>2n+5.

真【答案】B【解析】由于p：存在一个自然数n使得，∴其否定符号为：

，当n=5时，，所以是假命题；故选：B.7．写出下列命题p的否定，并判断其真假.(1)p：，.(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.(3)p：有的三角形的三条边相等.(4)p：等腰梯形的对角线垂直．【答案】(1)：，；假命题．(2)：存在一个实数，方程没有实数根；假命题．(3)：所有的三角形的三条边不都相等；假命题．(4)：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直；真命题．【解析】(1)：，；所以：，；显然当时，即为假命题．(2)：不论取何实数值，方程必有实数根；所以：存在一个实数，方程没有实数根；若方程没有实数根，则判别式，此时不等式无解，即为假命题．(3)：有的三角形的三条边相等；：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题．正三角形的三条边相等，则命题是真命题，所以是假命题．(4)：等腰梯形的对角线垂直；则是假命题，所以：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，是假命题，是真命题．4求参数1．若“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】为真命题，∴，，∵在区间上单调递增，，即，∴实数的取值范围为．故选B2.已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（

）A．(0,1) B．(0,2) C．(2,3) D．(2,4)【答案】A【解析】命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，：“”为真命题，，解得.故选：A.3．命题“，”为假命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】命题“，”为假命题,该命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，在单调递增，，解得.故选：A.4．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】若，，则∴．若，，则，解得或．∵命题和命题q都是真命题，∴或，∴．故选D．5．已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，4） B