自动控制原理（第二版） 课件 3.3 线性系统稳定性分析

第三章线性控制系统的时域分析主讲教师：丁肇红3.3线性系统稳定性分析3.3线性系统稳定性分析3.3.1稳定性的基本概念3.3.2劳斯(Routh)稳定判据3.3.3稳定判据的应用

稳定是自动控制系统正常运行的必要条件，也是系统的一个重要性能。控制系统在实际运行时总会受到内部或外界一些扰动因素,如系统参数的变化，负载的变化，电网电压的波动，外界环境变化等。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。3.3.1稳定性的基本概念稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用信号无关。因此，可以用系统的零初始条件下的单位脉冲响应函数来描述稳定性。线性定常系统如图所示，设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲信号，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于无穷大时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。即0tC(t)一、稳定性概念二、系统稳定的充分必要条件闭环系统所有特征根（即系统闭环传递函数的所有极点）全部分布在s复平面虚轴的左半开平面。左半平面σjω为判断系统稳定与否，将系统特征方程式中的s各次项系数排列成如下的劳斯表（RouthArray）。3.3.2劳斯(Routh)稳定判据系统的特征方程式为如下标准形式：一阶系统：稳定二阶系统：稳定Routh，1877年首次提出不求特征根，而是根据特征方程的系数判别系统的特征根是否具有负实部？前两行由特征方程的系数组成。

第一行为1，3，5，…项系数组成，

第二行为2，4，6，…项系数组成。列Routh表这一计算过程，一直进行到n+1行为止………一直计算到值为0一、Routh判据

系统稳定的充分必要条件，即

（特征方程式全部的根都在s平面的左半平面）特征方程式所有的系数都大于零（正值）。劳斯表的第1列系数都为正值（符号没有变化）。

首先特征方程式所有的系数都大于零。（1）若表中第一列的系数均为正值,则系统稳定。（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。二、劳斯表的两种特殊情况如果劳斯表第1列中出现0，那么可以用一个小的正数ε代替它，并继续计算其余各项。例3.8当ε趋近于零时，（2-2/

）其值是一个很大的负值，因此可以认为第1列中的各元的符号改变了两次。系统是不稳定的。该系统特征方程有两个右根。（两个不稳定的根）1．劳斯表中第1列出现零，而其余各项不全为零的情况

试判定系统的稳定性解

、列劳斯表如下：例3.9有一对纯虚根存在。闭环系统临界稳定。试判定系统的稳定性解

、列劳斯表如下：此时，劳斯表第一列元素全为正值，系统稳定吗？？小的正数ε结论：系统不稳定。1.若第1列符号有变化，则其变化的次数等于该特征方程根在S右半平面上的个数。2.若第一列中ε上面一行和下面一行的符号相同，表明有一对纯虚根存在。闭环系统临界稳定。劳斯表中第1列出现零，而其余各项不全为零的情况2．劳斯表中出现全零行情况例3.10试判定系统的稳定性解

、列劳斯表如下：劳斯表何时会出现零行?①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行。出现零行怎么办?②由零行的上一行构成辅助多项式:P(s)=6s2+6对P(s)

求导得零行系数:

dP(s)/ds=12s1+02．劳斯表中出现全零行情况解

、列劳斯表如下：如何求对称的根?6dP(s)/ds=12s1+0继续计算劳斯表解辅助方程P(s)=6s2+6=0,得对称的根:

第一列全大于零,所以系统稳定？错劳斯表出现零行系统一定不稳定s1,2=±j共轭纯虚根s1,2=±j共轭纯虚根s3,4=?由综合除法可得另两个根s3,4=-2,-3系统临界稳定设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s4517566601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助多项式:①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行P(s)=6s2+6对P(s)

求导得零行系数:

dP(s)/ds=12s1继续计算劳斯表6第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!劳斯表出现零行系统一定不稳定这是零行12由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4=-2,-3解辅助方程P(s)=0,得对称的根:

s1,2=±j2．劳斯表中出现全零行情况临界稳定跳过3.3.3稳定判据的应用一、确定闭环系统稳定时，其参数的取值范围例3.11

有一单位反馈系统，系统结构图如图3.22所示。试求图3.22系统结构图闭环系统稳定的K值取值范围。2025/11/20解根据系统结构图求得闭环系统的传递函数为

其特征方程式为

列劳斯表如下求得K值的取值范围为要使闭环系统稳定,则自1957年10月14日，前苏联用“卫星”号运载火箭把世界上第一颗人造地球卫星送上太空以来，人类的太空探索就开始了飞跃的发展。为开发利用月球背面，科学家付出了不懈努力。2018年5月21日，中国发射了“鹊桥”中继卫星，成为人类历史上首个信号中继卫星中国登月计划2004年，开始实施，分三个阶段：“无人登月”、“载人登月”、“建立基地”2007年，发射第一颗探测卫星——嫦娥一号2010年，发射嫦娥二号2013年，发射嫦娥三号2018年5月21日，发射“鹊桥”中继卫星2018年12月8日，发射嫦娥四号“嫦娥4号”探测器月球背面工作示意图嫦娥四号任务的圆满成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了地球与月球背面的测控通信，在月球背面留下了中国探月的第一行足迹，揭开了古老月背的神秘面纱，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章“玉兔二号”巡视器（月球车）设计目标是选择参数K1与a，确保系统稳定。漫游车转向控制系统的原理图结构图(a)所示，其对应的框图如图(b)所示。案例：某航天转向控制动力传动系统和控制器漫游车右左车轮力矩操纵调速阀门两组车轮的速度差C(s)漫游方向控制器Gc(s)动力传动系统与漫游车G(s)+-R(s)预期的转动方向C(s)图火星漫游车(a)双轮组漫游车的转向控制系统(b)框图解：由图(b)可知，闭环特征方程为

1+Gc(s)G(s)=0于是有

s4+8s3+17s2+(10+K1)s+aK1=0即案例火星漫游车转向控制控制器Gc(s)动力传动系统与漫游车G(s)+-R(s)预期的转动方向C(s)aK1s0s1

aK1s210+K18s3aK1171s4为了确定K1和a的稳定区域，建立如下劳思表：案例火星漫游车转向控制s4+8s3+17s2+(10+K1)s+aK1=0aK1s0s1

aK1s210+K18s3aK1171s4由劳思稳定判据知，使火星漫游车闭环稳定的充分必要条件为：案例火星漫游车转向控制当K1>0时，漫游车系统的稳定区域如案例图2所示。案例火星漫游车转向控制稳定区域选定的K1和aK1案例图2火星漫游车稳定区域稳定区域选定的K1和aK1案例图2火星漫游车稳定区域由于设计指标要求系统在斜坡输入时的稳态误差不大于输入指令幅度的24%，故需要对K1与a的取值关系加以约束。令r(t)=At，其中A为指令幅度，系统的稳态误差案例火星漫游车转向控制（3.4节稳态误差）控制器Gc(s)动力传动系统与漫游车G(s)+-R(s)预期的转动方向