自动控制原理（第二版） 习题及答案 4-4 补充用根轨迹法分析控制系统

第四节用根轨迹法分析控制系统用根轨迹分析控制系统时，性能指标是用闭环（主导）极点来表示的。时域指标（）——二阶系统参数（）一、典型二阶系统以阻尼比为参变量的根轨迹闭环特征方程式其根轨迹为一半圆闭环极点：闭环系统极点的张角（阻尼角）与阻尼系数的关系为：（闭环极点的实部）所以，对于二阶系统及其具有一对共轭复数极点的高阶系统来说，若起主导极点的实部为，阻尼角为，且系统其他闭环极点在图示的区域范围内，则系统的动态性能指标为：二、由系统性能指标确定K*和闭环极点

例2设单位反馈系统的开环传递函数为要求：闭环系统的单位阶跃响应最大超调量试确定闭环极点：方法：3.闭环系统极点与阻尼系数的关系：过原点作一与负实轴为β的射线。解（1）根据已知的开环传递函数，可得闭环系统特征方程式

（2）作出根轨迹分离点：与虚轴的交点：舍去（3）根据呈欠阻尼震荡计算法求闭环系统主导极点：

做图得根轨迹与射线的交点，此交点即为闭环系统的主导极点。读图得：做图法求闭环系统主导极点：此根应满足相角条件，代入相角条件，并整理、化简后得：（4）求根据幅值条件：根据根之和得：注意：此根对超调无影响。3.当K*=6时，闭环系统有一个负实根，两个共轭纯虚根。其阶跃响应为等幅振荡过程。系统临界稳定。1.当0<K*<0.385时，闭环系统有三个负实根，系统在阶跃信号下响应为非周期的单调上升曲线。

系统稳定2.当0.385<K*<6时，闭环系统有一个负实根，两个实部为负的共轭复根。其阶跃响应为呈阻尼的衰减振荡过程。

（系统稳定）4.当K*>6时，闭环系统有一个负实根，两个实部为正的共轭复根。闭环系统不稳定。总结：三、定性分析：稳、准、快例题3：设单位反馈系统的传递函数为试1.绘制系统的根轨迹。2.分析K*对系统的影响。3.求最小阻尼比所对应闭环极点，并求系统的性能指标：例题综合分析（单位斜坡输入时）解：1.系统开环传递函数有两个极点0，－2；有一个零点－4。此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。根轨迹如图所示。系统根轨迹分离点对应开环增益2.1)当开环增益在（0～0.686）内，闭环为两个负实数极点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。2)当开环增益在（0.686～23.4）内，闭环为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。K*=K0为系统的根轨迹增益，K为系统的开环增益3.下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点。过原点做与根轨迹圆相切的直线，此切线与负实轴夹角的余弦即为系统的阻尼比。3)当开环增益在内，闭环又为负实数极点，其阶跃响应又为非周期的。对应闭环极点系统阶跃响应具有较好的平稳性。一般根轨迹绘制法则根轨迹的连续性和分支数；根轨迹的起点和终点；根轨迹在实轴上的分布；根轨迹渐近线的倾角与实轴交点坐标；根轨迹在实轴上的重合点（分离点和汇合点）；根轨迹与虚轴的交点；根轨迹在复平面上的出射角和入射角；绘图必须要掌握的技能基于根轨迹分析系统性能稳定性分析：当根轨迹增益取值使得所有特征根全部位于S左半部，则系统稳定。稳态性能分析：根轨迹起点在原点的个数为系统的型别。根轨迹对应点的根轨迹增益与开环增益存在确定的线性关系。动态性能分析定性分析：根轨迹增益的取值