【初中竞赛】2024年安徽省宣城市皖东南四校九年级尖子生对抗赛数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2024年安徽省宣城市皖东南四校九年级尖子生对抗赛数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．我国自主研发的第四代隐形飞机“威龙”歼20，其隐形技术采用让飞机的前部产生一层等离子体云，等离子体的平均尺寸约为其中，则用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个有编号的小正方体后，余下几何体的左视图不会改变，则移走编号为（

）的小正方体．A．①或③ B．②或④C．③或④ D．②、③、④、⑤中的任何一个3．甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一条路线去终点另一地点，若甲一半的时间以x千米/小时的速度行走，另一半的时间以y千米/小时的速度行走；而乙一半的路程以x千米/小时的速度行走，另一半的路程以y千米/小时的速度行走（均大于0且），则（

）A．甲先到达B地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．不确定4．如图所示是由一副直角三角板叠放在一起得到的图形，则的度数为（

）A． B． C． D．5．已知为实数，且，则之间的大小关系是（

）A． B． C． D．6．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（

）A． B． C． D．7．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（

）公里．A．4250 B．4750 C．4800 D．50008．如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（

）A．1 B． C．2 D．39．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．在中，，点是平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（

）A．点是三条中线的交点B．点是三条内角平分线的交点C．点是三边垂直平分线的交点D．点是三条高的交点二、填空题11．分解因式：．12．已知是一元二次方程的两根，则．13．如图，已知，若四边形的面积为，则长是．14．如图，在中，边上的高，①当时，则的周长为．②若的长变化时，则周长的最小值为．三、解答题15．计算：；16．对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”．(1)求三位数中最大的“幸运整数”；(2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”．17．如图是由边长为1的小正方形组成网格，图中的点在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示作图结果用实线表示．(1)在图1中作线段且；(2)在图2中；在线段上作点，使得；然后在上作点，使得．18．如图，已知在中，于点，的中点是，且，．求：(1)线段的长；(2)的正切值．19．如图，直线与反比例函数分别交于点，，经探索研究发现：结论始终成立．已知，另一直线交线段于点，交反比例函数图象于点F．(1)求反比例函数的解析式．(2)若，求点的坐标．20．已知，如图：的直径为为的弦，过圆心作于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，求的长．21．我市启动“阳光体育”活动以后，各中小学体育活动精彩纷呈，形式多样．现有四项体育活动：篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，我市对中小学进行最喜好的体育活动抽样调查．并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图：(1)请补全条形统计图；(2)估计某校3000名学生中最喜欢乒乓球活动的人数约为__________人；(3)现从喜好篮球的甲、乙．丙、丁四名学生中任选两人参加校篮球队进行集训，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率．22．若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“1阶差函数”．(1)函数①；②；③．其中函数__________是在上的“1阶差函数”；（填序号）(2)已知函数：．①当时，函数是在上的“1阶差函数”，求的值；②函数是在（m为整数）上的“1阶差函数”，且存在整数k，使得，求a的值．23．已知：如图①，在四边形中，对角线相交于点E，点是的中点，且；分别连接平分，且与交于点与相交于点．(1)求证：；(2)如图②，若，求的值；(3)当四边形的周长取最大值时，求的值．《2024年安徽省宣城市皖东南四校九年级尖子生对抗赛数学试卷》参考答案题号12345678910答案BDACABCDDA1．B【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．根据科学记数法的表示方法作答即可.【详解】解：故选：B2．D【分析】本题考查了简单组合体的三视图，据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．【详解】解：单独移开②、③、④、⑤中的任何一个，从左边看得到的图形可得：故选：D．3．A【分析】本题考查了列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键．设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时，根据题意可得：，从而可得：小时，再根据题意可得：小时，然后进行计算即可解答．【详解】解：设从地到地的路程为千米，甲走完全程所用的时间为小时，乙走完全程所用的时间为小时，由题意得：，解得：小时，由题意得：小时，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴甲先到达地，故选：A．4．C【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．由三角形的外角性质可求得，从而可求得的度数．【详解】解：∵是的外角，，，，故选：C．5．A【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．【详解】，，，，，，又，，，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．6．B【分析】由题意易得，即可排除A选项；由，推出，推出，由，推出，即；需证明垂直平分，即可证明；设，则，由，有，即，然后问题可求解．【详解】解：如图，过D作交于N，∵四边形是矩形，∴，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，，，，，垂直平分，，设，则，同理可得，∴，∴，即，∴；综上所述：只有B选项错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．7．C【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，由题意得，两式相加，得，解得，答：轮胎最多可以行驶4800公里，故选：C．8．D【分析】本题主要考查正方形，全等三角形，解直角三角形，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键．过A作，交延长线于G，根据题意可证，，可得，设，则，在中，根据勾股定理，可得，继而可由求解．【详解】解：如图所示，过A作，交延长线于G，，，，即，，，，，，，，，设，则，点F是的中点，，，在中，，即，解得或(舍去)，，，故选：D．9．D【分析】本题考查了二次函数图像与性质，图像的平移，一次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点并画出图形利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．【详解】解：抛物线与轴交于点、，又抛物线为抛物线向左平移个单位长度平移后解析式当直线过点，有2个交点当直线与抛物线相切时，有2个交点，即直线与抛物线相切如图，直线与、共有3个不同的交点，．故选：D．10．A【分析】过作于，过作于，延长交于，延长交于，设，则，当时，的值最小，从而可以解答．【详解】解：过作于，过作于，延长交于，延长交于，如图：，四边形是矩形，∴，设，在中，，中，，中，，，时，的值最小，此时，，，∴，，即，，，即是的中点，同理可得为中点，是三条中线的交点，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，配方法，相似三角形的性质和判定，三角形中线等知识，解题的关键是作辅助线构建矩形．11．【分析】本题考查了因式分解一分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．先分组得到原式，再利用立方和公式和提公因式法分别对各组分解因式，再提公因式，然后把余下的因式利用十字相乘法分解．【详解】解：，故答案为：．12．【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用整体思想即可解决问题．【详解】解：因为、是一元二次方程的两根，所以，所以，故答案为：2028．13．【分析】由“”可证，可得与的面积相等，由面积关系可求解．【详解】解：如图，作，交的延长线于点，则，，∴四边形为矩形，，，，在与中，，，∴与的面积相等，∴四边形是正方形，∴四边形的面积正方形的面积，由勾股定理得：，∵四边形的面积为，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．14．【分析】①先运用勾股定理算出，再证明，代入数值到，解得，再运用勾股定理算出，然后列式计算得的周长；②先延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T．先整理得，则，故，则，，因为，得最小时，的周长最小，即可作答．【详解】解：①∵边上的高，，∴，，∵，，∴，∴，∴，则，∴，∴的周长为．故答案为：20；②如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，，∵，∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．0【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：原式．16．(1)903；(2)84和12．【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键．（1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果；（2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3，由题意可知：，即，根据m，n为自然数，可得，将其代入计算即可．【详解】（1）解：，．为自然数，当时，，当时，，三位数中最大的“幸运整数”是903；（2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则时得到两个“幸运整数”为：，由题意：．，，．为自然数，∴或，解方程组得：或（舍去），．．这两个“幸运整数”分别为84和12．17．(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据平行线的判定作出图形即可；（2）取格点，连接交于点，取格点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，点，点即为所求．【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；，．（2）解：如图2中，点，点即为所求．理由：根据作图可知点O是的中点，又，∴，根据作图可知，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴．18．(1)6(2)4【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点．（1）在中，根据已知条件求出边的长，再用勾股定理可以求出的长；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出的正切值即求出了的值．【详解】（1）解：，，在中，，，设，又，，得：，则，．（2）解：，，是边的中点，，，，，，．19．(1)；(2)【分析】（1）求出，进而求出，再根据，求出，再判断出，得出，进而求出，即可得出结论；（2）先求出，同（1）的方法求出点，进而得出直线的解析式为，即可得出结论．【详解】（1）解：直线经过点，，则，直线的解析式为：，令，则，，，，，，，过点作轴于，，，，，，，，，点在反比例函数图象上，，反比例函数的解析式为；（2）解：，，，，，过点作轴于，，，，，，，，，设直线的解析式为，则，∴，直线的解析式为，联立，解得：（舍）或，；【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，直线和双曲线的交点坐标的求法，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形，求出点E的坐标是解本题的关键．20．(1)见解析(2)【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知得到，根据，即可证得，于是问题得证；（2）连接，先根据已知条件求出的长，于是根据勾股定理即可求出的长，再根据垂径定理即可证得，即可得出，于是可证得，求出的长，最后根据勾股定理即可求出的长．【详解】（1）证明：，，，，，，即，，是的切线；（2）解：连接，如图所示：是的直径，，的半径为，，，，，，，，，，，即，，在中，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，涉及的知识点较多，需熟练掌握．21．(1)图见解析(2)1200；(3)【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得抽取的学生人数，再用抽取的学生人数乘以扇形统计图中C的百分比可得C类的人数，用抽取的学生人数分别减去A，C，D类的人数，求出B类的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用3000乘以样本中B类的人数所占的百分比，即可得出答案．（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲和丁同时被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人），的人数为：（人），的人数为：（人），补全条形统计图如下：（2）解：估计全校3000名学生中最喜欢乒乓球活动的人数约为（人），故答案为：1200；（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁被选到的结果有2种，恰好甲和丁被选到的概率为．22．(1)②；(2)①或；②【分析】本题考查了新定义“1阶差函数”以及反比例函数、一次函数、二次函数的性质，解题的关键是根据函数的变化规律，分析给定的范围（如，等）内的最大值与最小值，结合“1阶差函数”（最大值减最小值等于1）的定义求解．（1）分别在这个的范围里，计算三个函数的最大值和最小值，验证最大值减最小值是否为1；（2）①当时，得到二次函数，先求对称轴，再分不同情况讨论这个的范围里的最大值和最小值，利用“最大值减最小值等于1”列方程求；②将函数化为顶点式，分