【初中竞赛】河南省郑州市二七区京广实验中学2023-2024学年下学期数学七年级第一次竞赛（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页河南省郑州市二七区京广实验中学2023—2024学年下学期七年级第一次竞赛-数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式中，计算正确的是（）A． B．C． D．2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108 B．0.22×10﹣7 C．2.2×10﹣8 D．2.2×10﹣93．下列各式，计算正确的是（

）A． B．C． D．4．如图，下列条件：①；②；③；;⑤；其中能判断直线的有（

）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④5．下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③两点之间直线最短；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超过1千米就加收2元，若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式为（）A． B． C． D．7．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，若要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（

）

A．2张 B．3张 C．4张 D．5张8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（）A．101° B．102° C．103° D．104°9．如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（

）

A．

B．

C．

D．

10．如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题11．一个角的补角比这个角的余角的倍还大，则这个角的余角为．12．已知的乘积中不含项与项，则．13．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为．14．已知是一个完全平方式，则的值为15．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边CD恰好与边AB平行．

三、解答题16．计算(1)；(2)．17．先化简再求值：．其中．．18．如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A．(1)用尺规作出∠EBC．(不写作法，保留作图痕迹，要写结论)(2)EB与AD一定平行吗？简要说明理由．

19．如图，是的角平分线，点在是上，交于点，．(1)若，求的度数；(2)若，，求的度数．20．一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．21．我们在小学已经学过了“对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，如图1，平行四边形MNPQ的一边PQ作左右平移，图2反映它的边NP的长度l（cm）随时间t（s）变化而变化的情况，请解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．（2）观察图2，PQ没有运动时，PN=cm，请你根据图象呈现的规律写出0至5秒间，l与t的关系式为．（3）根据表中呈现的规律，写出8至14秒间l与t的关系式为．PQ边的运动时间t/s891011121314NP的长度l/cm1815129630（4）图3反映了变化过程中平行四边形面积S（cm2）随时间t（s）变化的情况，当t=时，平行四边形的面积为24cm2．22．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由：(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，．①当点G在点F的右侧时，若，求的度数：②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．《河南省郑州市二七区京广实验中学2023—2024学年下学期七年级第一次竞赛-数学》参考答案题号12345678910答案DCCDABCCAA1．D【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，根据以上运算法则逐一分析即可．【详解】解：A、，原式计算错误，故选项不符合题意；B、，原式计算错误，故选项不符合题意；C、，原式计算错误，故选项不符合题意；D、，原式计算正确，故选项符合题意．故选：D．2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10-8．故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．C【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式的结构特征，准确进行整式乘法运算．根据平方差公式和完全平方公式，对每个选项分别进行展开计算，判断其正确性．【详解】解：A．，该选项不符合题意；

B．，该选项不符合题意；C．，该选项符合题意；D．，该选项不符合题意．

故选：C．4．D【分析】根据平行线的判定方法，对每一项进行分析判断即可解决.【详解】根据同为角相等两直线平行可以判断②，④正确；①非同位角非内错角无法判断直线平行，错误③，⑤非同旁内角，无法判断两直线平行.故选D.【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键：正确理解题意能够从图形中找到同位角、同旁内角、内错角，熟练掌握平行线的判定方法.5．A【分析】本题考查了对顶角，点到直线的距离，两点之间线段最短及垂线的定义，平行公理，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据对顶角、点到直线的距离、线段性质、垂线性质及平行公理逐一判断．【详解】①错误：对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不成立，如两个直角共顶点但非对顶角．②错误：点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，描述缺少“长度”这一关键条件．③错误：两点之间最短的是线段，而非直线，直线无限延伸，无法比较长度．④错误：垂线性质需明确“同一平面内”，题干未限定平面，故描述不严谨．⑤正确：平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意．综上，仅⑤正确，正确个数为1个．故选：A．6．B【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是对关系式进行化简，得到y与x的函数关系式．根据题意把x千米分成3千米和千米两部分，再根据单价乘里程表示出关系式，再化简即可．【详解】解：当时，，故选：B．7．C【分析】本题主要考查多项式乘多项式的运用．由题意知要用三类卡片拼一个长为，宽为的长方形的面积应该等于的积，运算多项式乘多项式法则展开即可解答．【详解】解：根据题意得：，需要类卡片4张，故选：C．8．C【分析】过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数．【详解】解：过B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∴∠A=∠ABD=76°，∠DBC+∠C=180°，∵∠C=153°，∴∠DBC=27°，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=103°．故选C．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．9．A【分析】根据四边形是矩形得到，，结合平行线间距离处处相等分点在、、上运动直接求解即可得到答案，【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，①

当点在上运动时，，，当点到时，；②

点在上运动时，，当点到时，，③

点在上运动时，，，当点到时，，故选：A．【点睛】本题考查一次函数在图形中的应用，解题的关键表示出动点在三边运动时的解析式找到端点．10．A【分析】本题考查了三角形的中线、高的定义，三角形面积公式以及三角形外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何概念和性质，逐一分析每个结论的正确性．根据三角形中线、高的定义，三角形面积公式，以及三角形角度关系，逐一分析五个结论的正确性．【详解】解：①因为为中点，所以是边上的中线，故正确；②因为于，所以是中边上的高，故正确；③因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确；④因为，可知，根据等角对等边得，故正确，⑤因为于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确．所以正确的个数是5个．故选：A．11．/40度【分析】根据互为余角的两个角的和等于，互为补角的两个角的和等于，列出方程，然后解方程即可．【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题意得，，，解得．这个角的余角为，故答案为：．【点睛】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．12．【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为．【详解】解：∵，又∵结果中不含项与项，∴，，∴，，∴，故答案为：．13．【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半．【详解】解：为中点，，为中点，，，为中点，，即阴影部分的面积为，故答案为：．14．4或【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．【详解】解：是一个完全平方式，，解得：或，故答案为：4或．15．10或28【分析】作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转10°列式计算即可得解．【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷10°=10秒；

②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°-60°=30°，∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷10°=28秒；综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．

故答案为10或28．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．16．(1)(2)【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、积的乘方以及整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则和整式运算的法则，准确进行每一步的计算．（1）利用负整数指数幂、零指数幂的定义，结合积的乘方逆运算化简各项，再进行加减运算；（2）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项．【详解】（1）解：；（2）解：．17．；【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．【详解】解：，把，代入得：原式．【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．18．(1)作图见解析；(2)EB与AD不一定平行．【分析】分两种情况：①根据同位角相等两直线平行，过D点作AD的平行线即可．②当所作的角在BC下方．【详解】解：(2)EB与AD不一定平行．①当所作的角在BC上方时平行．∵∠EBC＝∠A，∴EB∥AD．当所作的角在BC下方，所作的角对称时EB与AD就不平行．

【点睛】此题主要考查学生对平行线的判定和尺规作图相关知识的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．19．(1)；(2)．【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余．（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解；（2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】（1）解：是的平分线，．，则．在中，，；（2）解：∵，是的平分线，，．20．(1)(2)49(3)(4)－4【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；（2）由（1）得，代入计算即可；（3）化简结果为，再代入计算即可；（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．【详解】（1）解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，所以有：，故答案为：；（2）由（1）得，当，，则，故答案为：49；（3），，原式；（4）设，，则，，，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．21．（1）t，NP的长度；（2）8，l=2t+8（0≤t≤5）；（3）l=﹣3t+42（8≤t≤14）；（4）2或10【分析】（1）根据自变量和因变量的概念即可得出结论；（2）观察图2得，PQ边没有运动时，底边PN长度是8cm；利用待定系数法即可得0至5秒间，NP的长度l（cm）与t的关系式；（3）由图2知，8至14秒间图象呈现的也是一段线段，利用待定系数法即可得出结论；（4）观察图3可得当平行四边形的面积为24cm2时t的值．【详解】解：（1）这个变化过程中，自变量是时间t、因变量NP的长度，故答案为：t，