广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高三上学期九月统测数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高三上学期九月统测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A．1 B． C． D．23．已知向量，，若，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．124．函数的图象的一个对称中心是（

）A． B． C． D．5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：)满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（）（参考数据：）A．40分钟 B．41分钟C．42分钟 D．43分钟6．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（

）A． B． C． D．8．已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（

）A． B．0 C．1 D．2二、多选题9．下列函数中，最小值是4的有（

）.A． B．C． D．10．已知定义域为R的是奇函数，则（

）A． B．在R上单调递增C．的值域为 D．的解集为11．“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（

）A．点和点的曼哈顿距离为3B．设，则C．的最小值为D．的最大值为三、填空题12．已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为.13．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是.14．若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的值域.16．设中，角所对的边分别为，．(1)求A；(2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值．17．已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．18．如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）．(1)证明：平面；(2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为．（ⅰ）求三棱锥的体积；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．19．已知函数．(1)当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围；(3)请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值．《广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高三上学期九月统测数学试题》参考答案题号12345678910答案DBBBCABAADACD题号11答案ABD1．D【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案.【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．故选：D.2．B【分析】根据复数的除法运算，结合模长公式，可得答案.【详解】由，则，，，所以.故选：B.3．B【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式求解.【详解】向量，，则，由，得，所以.故选：B4．B【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解.【详解】由函数，令，解得，令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B．5．C【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，，解得.即至少大约需要的时间为42分钟.故选：C6．A【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数是定义在上的减函数，所以解得，即.故选：A.7．B【分析】根据指数函数和对数函数图像直接画图求解即可.【详解】设，则分别为与图象交点的横坐标，当时，如下图所示，此时，故A情况可能出现.

当时，且位于和交点上方时，如下图所示，此时，故C情况可能出现.

当时，且位于和交点下方时，如下图所示，此时，故D情况可能出现.

所以不可能出现.故选：B8．A【分析】首先根据函数对称性可以得到，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期进一步计算即可求出函数值.【详解】因为的图象关于对称，所以，于是，又是定义在上的奇函数，所以，则，即，所以的周期为4，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以.故选：.9．AD【分析】利用基本不等式求最值判断ACD，取，可判断B.【详解】对于A选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，满足题意；对于B选项，当时，，则，不满足题意；对于C选项，，当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号不成立，即的最小值不是，不满足题意；对于D选项，，当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是4，满足题意.故选：AD.10．ACD【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，此时，，是奇函数，故，故A正确．因为，所以在R上单调递减，故B错误．因为，所以，所以，故C正确．因为在R上单调递减，所以，即，解得或，所以的解集为，故D正确．故选ACD．11．ABD【分析】根据“曼哈顿距离”直接计算可判断得A正确，得出的表达式并分类讨论得出分段函数形式可得B正确，结合辅助角公式以及三角函数单调性和值域性质计算可得C错误，D正确.【详解】对于A，易知点和点的曼哈顿距离为，即A正确；对于B，若，可得，易知，当时，可得，当时，可得；所以可得，即B正确；对于C，D，由B选项分析可知不妨取，当时，，则，因此可知当时，取得最大值为，当时，的最小值为；当时，，则，若时，取得最大值为，当趋近于时，趋近于；综上可知，的最小值为，的最大值为，可知C错误，D正确.故选：ABD12．【分析】设，求出，再利用函数的奇偶性得出.【详解】设，则，所以，又函数是奇函数，所以，即时，的解析式为.故答案为：13．【分析】利用符合函数的单调性以及对数函数的定义域即可求得结果.【详解】因为函数在区间上是减函数，所以在区间上是减函数且恒成立，所以,解得,综上，实数a的取值范围为.故答案为：14．【分析】由题意可知或恒成立，数形结合，可知的图象不能在直线，即的同一侧，即可求得答案.【详解】由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立，即或恒成立；在同一坐标系中，作出函数的图象如图：由图象可知，当时，要使不等式恒成立，，此时满足题意的实数有无数多个；当时，要使不等式恒成立，只有；当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧，故此时需满足，综合可知，实数m的最大值为，故答案为：15．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；（2）由求出的取值范围，即可得到函数的单调递增区间；（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为，所以函数的最小正周期（2）由得的单调递增区间为（3）因为，所以，所以，所以所以函数的值域为.16．(1)(2)24【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可；（2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案．【详解】（1）由正弦定理及，得，，，．∵，∴，整理得．又∵，∴，∴．（2）由题知，则，故，两边平方得．∵，∴，即．∵，即，∴，∴．17．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式；（2）根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求的范围.【详解】（1）因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以（2）由题意知，，所以，，两式相减得，，所以＝，因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，因为，所以，所以，所以18．(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明.（2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以．因为平面平面，所以平面．（2）（ⅰ）如图，连接．因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以点是外接圆的圆心．因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．因为球的表面积，所以球的半径，所以，，，所以三棱锥的体积．（ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设，则．设平面的一个法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则.令，则，当时，，当且仅当，即时取等号．综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为．19．(1)为偶函数，理由见解析(2)答案见解析(3)，证明见解析，【分析】（1）由奇偶性的定义判断即可；（2）由二倍角公式化简函数解析式，然后在，4，6时分别求解即可；（3）猜想，当，时，，然后利用导数分析函数的单调性证明该结论，要使方程有解，只需不等式成立，，然后解不等式求解即可.【详解】（1）当时，，定义域