第二章 专题01 认识有理数 同步练习 2025-2026学年北师大（2024）版数学七年级上册解析版

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）专题01有理数考点类型知识一遍过（一）正数与负数正数：像5，1.2，，125等比0大的数叫做正数。负数：像-5，-1.2，-，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比0小，“-”不能省略。注：①0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点②并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0③用正数或负数表示相反意义的量时，一般用前进，增加，上升，向右等规定为正方向（二）有理数的分类（1）有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数包括正分数和负分数。注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。（2）有理数分类：按符号分类：按定义分类：考点一遍过考点1：正负数的意义典例1：下列各数中，是负数是（

）．A．2023 B．−2023 C．−2023 D．1【答案】B【分析】根据正数和负数的定义即可解答．【详解】解：A.2023是正数，不是负数，故本选项不符合题意；B.−2023是负数，故本选项符合题意；C.−2023=2023D.12013故选B．【点睛】本题主要考查了去绝对值、负数的定义等知识点，掌握小于零的数为负数是解答本题的关键．【变式1】下列语句中错误的有（

）个．①不带“−”号的数都是正数；②如果a是正数，那么−a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0°A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答．本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键．【详解】解：①0不带“−”号但不是正数，故原说法错误；②如果a是正数，那么−a一定是负数，故正确；③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误；④0°综上，错误的有3个．故本题选：C．【变式2】已知下列各数：−23，−212，3.14，0，0.2，−216，6，12【答案】3.14，0.2，6，12−23，【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题．根据正数与负数的特征可判定求解．【详解】解：在−23，−212，3.14，0，0.2，正数3.14，0.2，6，12；负数有−23，−2故答案为：3.14，0.2，6，12；−23【变式3】以下各数：−π，0.6，-100，20112012，0，−257，368中，正数有；负数有【答案】0.6，20112012，368−π，-100，【分析】根据正数、负数的概念，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则正数有：0.6，20112012负数有：−π，−100，−25既不是正数也不是负数的是0；故答案为：0.6，20112012，368；−π，−100，−2【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握所学的定义进行判断．考点2：相反意义的量典例2：2024年2月昆明和北京的平均最低气温如图，+6表示零上6摄氏度，下列说法正确的是（

）昆明+6北京−4A．−4表示下降4摄氏度B．−4表示零下−4摄氏度C．−4表示零上4摄氏度D．2024年2月昆明与北京平均最低气温的温差是10摄氏度【答案】D【分析】本题考查正数和负数，有理数的减法，本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．理解具有相反意义的量是解题的关键．【详解】解：+6表示零上6摄氏度，则−4表示零下4摄氏度，2024年2月昆明与北京平均最低气温的温差为6−−4故选：D．【变式1】下列选项中具有相反意义的量是（

）A．气温升高6℃与气温零下8℃B．向东行驶5km与向北行驶C．运进6kg苹果与卖完5D．水位上升0.6米与水位下降1米【答案】D【分析】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：A、气温升高6℃与气温零下8℃不具有相反意义的量，故不符合题意；B、向东行驶5km与向北行驶10C、运进6kg苹果与卖完5D、水位上升0.6米与水位下降1米具有相反意义的量，故符合题意；故选D．【变式2】在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量．（1）收入10元，6元；（2）高出海平面500m，海平面100m；（3）减少60kg，80kg；（4）500元，节约700元；（5）向东走5米，走6米．（6）3m2，缩小4m【答案】支出低于增加浪费向西扩大【分析】本题考查了正负数的知识，掌握正负数的定义是关键．根据题意，要构成相反意义，则关键词为“反义”，据此分析，找出其余小题中与关键词具有相反意义的词，再填空即可．【详解】解：根据题意，收入10元，支出6元；根据题意，高出海平面500m，低于海平面100m；根据题意，减少60kg，增加80kg；根据题意，浪费500元，节约700元；根据题意，向东走5米，向西走6米；根据题意，扩大3m2，缩小4m2．故答案为：支出；低于；增加；浪费；向西；扩大．【变式3】由于没有大气层的保护，在太阳光线直射下的空间站表面温度可达150℃以上，在背阳面温度最低可达零下100℃以下，可以说太空环境“冰火两重天”．为了保持空间站设备正常运行并为航天员提供适宜工作生活的温度环境，热控系统发挥了十分关键的作用．空间站的热控系统中的“中央空调”——流体回路遍布在舱段的各个角落，通过特殊液体在管路内的往复循环，将舱内设备以及航天员生活产生的热量收集起来，通过回路再带到相应的设备和结构中，给过热的地方散热，给过冷的地方加热，便实现了散热和补热功能．如果把150℃记作+150℃，那么零下100℃记作℃．【答案】−100【分析】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．【详解】解：如果把150℃记作+150℃，那么零下100℃记作−100℃，故答案为：−100．考点3：正负数的实际应用典例3：2023年7月2日，在一度落后的情况下，中国女篮经过顽强拼搏，击败日本队夺得亚洲杯的冠军．这个振奋人心的消息掀起了校园篮球热，某中学开学后购买了一批篮球，随机检测了4个，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最不接近标准的球是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查正数与负数、绝对值的意义等知识点，根据正数与负数的意义以及绝对值的大小比较即可解答；掌握一个数绝对值大小的比较方法是解题的关键．【详解】解：∵−12>∴选项B中的球最不接近标准质量．故选：B．【变式1】实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度如A−C为90米表示观测点A比观测点C高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得A−B是（

）米．A−CC−DE−DF−EG−FB−G90米80米－60米50米－70米40米A．210 B．130 C．390 D．－210【答案】A【分析】数轴法：设点C为原点，则A表示数90，D表示数-80，以此类推，将以上各观测点在数轴上表示，即可解题．【详解】解：设点C为原点，则A表示数90，D表示数-80，以此类推将以上各观测点在数轴上表示如下：即E表示数-140，F表示数-90，G表示数-160，B表示数-120∴A−B=90−(−120)=90+120=210故选：A．【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，是基础考点，利用数轴解题是关键．【变式2】下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是，伦敦的时间是，纽约的时间是．城市纽约伦敦东京巴黎时差/时−13−+17【答案】7:0023:0018:00【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解．【详解】解：∵东京与北京的时差是+1则如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是7:00∵伦敦与北京的时差是−1，∴伦敦的时间是前一天的23:00∵纽约与北京的时差是−13∴纽约的时间是前一天的18:00【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．【变式3】体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为10.6s，下面是某小组8名女生的成绩记录：−0.1，+0.8，0，−1.6，−0.8，−0.3，+1.5，−0.6，其中“+”号表示成绩大于10.6s，“−”号表示成绩小于10.6【答案】75【分析】根据正负数的意义可得达标的有6人，然后计算即可．【详解】解：由题意得：：−0.1，+0.8，0，−1.6，−0.8，−0.3，+1.5，−0.6中，小于等于0的有6个，即达标的有6人，则这个小组的达标率是68故答案为：75%【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键．【变式4】近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以40km为标准，多于40km的记为“＋”，不足40km第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）−6−5+8+2−5+11+15(1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？(2)已知汽油车每行驶100km需用汽油5.5升，汽油价为8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米(2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算，（1）计算出表格中的和再加上7天每天40km（2）利用（1）中的总路程计算总费用即可．【详解】（1）解：40×7+−6答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米．（2）解：300÷100×5.5×8.2=135.3（元），300÷100×15×0.56=25.2（元），135.3−25.2=110.1（元），答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元．【变式5】有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（千克）﹣3﹣2﹣1.5012.5筐数182324(1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？(2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？(3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？【答案】(1)5.5千克(2)不足10千克(3)1470元【分析】（1）将最大的正数与最小负数相减即可；（2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值；（3）先计算出总重量，再乘以单价即可．【详解】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克，故最重的一筐比最轻的一筐重：2.5−−3答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克．（2）解：−3×1+答：20筐白菜总计不足10千克，（3）解：25×20−10×3答：出售这20筐白菜可卖1470元．【点睛】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键．考点4：有理数的分类典例4：对于有理数，有下列说法：（1）正整数和负整数的总和就是整数；（2）分数包括了正分数和负分数和0；（3）有理数是整数和分数的统称；（4）0是整数；（5）分数包含有限小数、循环小数，其中说法全正确的有（

）A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5）【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类方法逐一判断即可．【详解】解：（1）正整数，负整数和0的总和就是整数，故原说法错误，不符合题意；（2）分数包括了正分数和负分数，故原说法错误，不符合题意；（3）有理数是整数和分数的统称，说法正确，符合题意；（4）0是整数，说法正确，符合题意；（5）分数包含有限小数、循环小数，说法正确，符合题意．∴正确的个数是3个．故选：C．【变式1】将下列各数填在相应的集合内.5，14，−3，−312，0，2010，−35正数集合{…}；负数集合{…}；自然数集合{…}；整数集合{…}；分数集合{…}；负分数集合{…}；非负数集合{…}；非正整数集合{…}；【答案】5，14，2010，6.2；−3，−312，−35，−1；5，0，2010；5，−3，0，2010，−35，−1；14，−312，6.2；−312【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：正数集合{5，14，2010，6.2，…}；负数集合{−3，−312，−35自然数集合{5，0，2010，…}；整数集合{5，−3，0，2010，−35，−1，…}；分数集合{14，−312非负数集合{5，14，0，2010，6.2，…}；非正整数集合{−3，0，−35，−1故答案为：5，14，2010，6.2；−3，−312，-35，-1；5，0，2010；5，−3，0，2010，−35，−1；14，−312，6.2；−312；5，【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．【变式2】关于−4，227，0.41，−116，0，3.14A．−4，0是整数B．227，0.41，0，3.14C．−4，227，0.41，−116，0D．−4，−11【答案】B【分析】本题考查了有理数的概念和分类的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据有理数的概念和分类依次判断即可．【详解】解：A、−4，0是整数，正确；B、227，0.41，3.14是正数，0C、−4，227，0.41，−116，0D、−4，−11故选：B．【变式3】把下列各数的序号填到相应的括号中：①−0.3.；②3.1415；③−10；④0.28；⑤−27；⑥18；⑦0；⑧(1)整数集合：{…}；(2)负数集合：{…}；(3)非正数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；(5)非负整数集合：{…}.【答案】(1)③⑥⑦(2)①③⑤⑧(3)①③⑤⑦⑧(4)①②④⑤⑧⑨(5)⑥⑦【分析】(1)根据有理数的分类进行判断即可；(2)根据有理数的分类进行判断即可；(3)根据有理数的分类进行判断即可；(4)根据有理数的分类进行判断即可；(5)根据有理数的分类进行判断即可．【详解】（1）解：整数集合：{−10，18，0，…}；故答案为：③⑥⑦；（2）解：负数集合：{−0.3.，−10，−2故答案为：①③⑤⑧；（3）解：非正数集合：{−0.3.，−10，−2故答案为：①③⑤⑦⑧；（4）解：分数集合：{−0.3.，3.1415，0.28，−27，故答案为：①②④⑤⑧⑨；（5）解：非负整数集合：{18，0，…}.故答案为：⑥⑦．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．【变式4】把下列各数填在相应的大括号里：5，14，−3，−312，0，2010，−35，6.2正数：{

⋯}；负数：{

⋯}；非负整数：{

⋯}；整数：{

⋯}；分数：{

⋯}；负分数：{

⋯}．【答案】5，14，2010，6.2；−3，−312，−35，−1；5，0，2010；5，−3，0，2010，−35，−1；14，−31【分析】本题考查了正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是正确理解正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义．【详解】正数：{5，14，2010，6.2⋯负数：{−3，−312，−35，−1非负整数：{5，0，2010⋯}；整数：{5，−3，0，2010，−35，−1⋯}；分数：{14，−312，6.2负分数：{−312故答案为：5，14，2010，6.2；−3，−312，−35，−1；5，0，2010；5，−3，0，2010，−35，−1；14，−31【变式5】把下列各数填在相应的大括号里：+12，−6，0.54，7，0，3.14，20%，π，−124，3.4365正整数集合{

…}，负整数集合{

…}，分数集合{

…}，负有理数数集合{

…}，正有理数数集合{

…}．【答案】7；−6，−124；+12，0.54，3.14，20%，3.4365，−413，−2.543；−6，−124，−413，【分析】此题考查了有理数分类，根据有理数的概念和分类可完成此题．【详解】解：正整数集合{7，…}；负整数集合{−6，−12分数集合{+12，0.54，3.14，20%，3.4365，−413负有理数集合{−6，−124，−413，正有理数集合{+12，0.54，7，3.14，20%，3.4365故答案为：7；−6，−124；+12，0.54，3.14，20%，3.4365，−413，−2.543；7，0；−6，−124，−413，−2.543【点睛】考点5：0的意义典例5：下列关于零的说法中，正确的是（）A．零是正数 B．零是负数C．零既不是正数，也不是负数 D．零仅表示没有【答案】C【分析】本题考查了对数的理解与运用，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数．依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，从而即可根据以上内容判断求解．【详解】解：A、零不是正数，说法错误；B、零不是负数，说法错误；C、零既不是正数，也不是负数，说法正确；D、零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误；故选：C．【变式1】下列对“0”的说法正确的个数是（）①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答．【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确；②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃③可以表示特定的意义，如0℃④0既不是正数，也不是负数，故④错误；⑤0是自然数，故⑤正确；综上所述，正确的有①③⑤，共3个，故选：B．【变式2】下列关于“0”的说法正确的有个．①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．【答案】4【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数．依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解．【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确；0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确；0是自然数，故③正确；存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误；0既是整数也是偶数，故⑤正确；故答案为：4