2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page88页，共=sectionpages88页2025-2026学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(

)A.若m/​/α，n⊂α，则m/​/n B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β

C.若m3.如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点(含0点不含12点)内一共能够相互垂直(    )次．A.0 B.2 C.4 D.124.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面有(

)A.6个 B.12个 C.16个 D.18个二、填空题：本题共12小题，共42分。5.“直线l在平面α上”用集合符号语言可以表示为______．6.在空间直角坐标系中，点(1,3,5)关于xOz平面的对称点的坐标是______．7.若一个球的体积为32π3，则该球的表面积为______．8.将长为3，宽为2的矩形绕着较短边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为______．9.若空间向量a=(1,2,3),b=(4,2,1),x=______．10.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O11.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．12.三棱柱的5个面无限延展后把空间分成______个部分．13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为______．14.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，A

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在底面ABCD内，若直线D1

16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P是正方体ABCD-A1B1C三、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18.(本小题8分)

如图，在四面体ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点

(1)求证：直线EF和AB为异面直线．

(2)求直线EF和19.(本小题8分)

如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．

(1)若AP=5，AD=32，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若AP=AD，20.(本小题10分)

如图，在四面体ABCD中，AB=BD=CD=3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上一点，且AM=2MD，连接BM，CM．21.(本小题10分)

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1，C1B1，C1A参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.l⊂6.(1,-3,5)

7.16π8.18π9.5

10.10

11.312.21

13.3

14.315.616.80+3117.解：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；

已知：a⊄α，b⊂α，a/​/b，求证a/​/α；

证明如下：

假设a∩α=A，由于a/​/b，则A∉b，

则在平面α内过点A作一条直线c，使得c/​/18.(1)证明：因为E∈BC，BC⊂平面ABC，

所以E∈平面ABC，又AB⊂平面ABC，E∉AB，

又F∈AD，AD∩平面ABC=A，所以F∉平面ABC，

所以直线EF和AB为异面直线；

(2)取AC中点G，连接EG、FG，由于E、F分别为BC、AD的中点，

所以EG/​/AB，EG=12AB，FG//CD，FG=12CD，

所以直线EF和AB所成角为∠FEG或其补角，

因为AB⊥CD，所以EG⊥FG，又AB=CD，

所以EG=FG，所以∠FEG=π4，

所以直线EF和AB所成角为π4．

19.解：(1)因为P-ABCD是正四棱锥，

所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，

因为AD=32，

所以AO=OD=OB=OC=3，

因为AP=5，

所以PO=AP2-AO2=4，

所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，

所以V圆锥=13Sh=13π×32×4=12π；

(2)如图建立空间直角坐标系，

因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，

设AB=220.(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，

因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD，因为BM⊂平面ABD，

所以BM⊥CD；

(2)解：取BC的中点N，连接DN，

过M作MH⊥BD于H，过H作HE⊥BC于E，连接ME，

因为在平面ABD中，AB⊥BD，MH⊥BD，所以MH//AB，

由(1)知AB⊥CD，所以MH⊥CD，

因为CD∩BD=D，CD，BD⊂平面BCD，所以MH⊥平面BCD，

因为BC⊂平面BCD，所以MH⊥BC，

因为HE⊥BC，MH∩HE=H，MH，HE⊂平面MEH，

所以BC⊥平面MEH，21.(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，

则直线BA，BC，BB1两两垂直，

以点B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，设AB=2a，

则B(0,0,0)，A(2a,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，

D(0,2,2)，E(0,0,3)，F(0,1,4)，G(a,1,4)，

则B1D=(0,2,-2),BA=(2a,0,0),B