《信号与系统教程》（第5版） 课件 第3章 信号与系统的频域分析

学习导言第3章

信号与系统的频域分析有小则有大，有分则有合；有之以为利，无之以为用。系统为载体，信号是灵魂；频域展特性，多姿竞美伦。信号传输有规律，频域分析见真容。

周期信号分解为三角级数和指数形式；周期信号频谱的特点；非周期信号的频谱函数；信号的频带宽度；傅里叶变换的性质和应用。

系统的频率特性（系统函数）；不失真传输条件；信号通过低通滤波器；取样定理及其应用；频分复用与时分复用。学习重点第3章

信号与系统的频域分析3.1周期信号的分解与合成3.2周期信号的频谱3.3非周期信号的频谱3.4傅里叶变换的性质与应用3.5周期信号的傅里叶变换3.6系统的频域分析3.7取样定理及其应用3.8频域分析用于通信系统本章目录

非正弦周期信号3.1周期信号的分解与合成1、周期信号的三角级数表示把非正弦周期信号分解为傅里叶级数（Fourierseries）是法国科学家傅里叶所做的重大贡献。1807年，傅里叶在向法兰西研究院提出的论文中大胆断言：任何周期函数都可以用收敛的正弦级数表示。傅里叶把信号分解为正弦分量的思想对后来的自然科学领域产生了巨大影响。3.1周期信号的分解与合成锯齿波的三角级数合成若周期信号满足狄里赫利条件时，则可用傅里叶级数表示为式中：基波角频率余弦分量幅度正弦分量幅度直流分量n次谐波的频率3.1周期信号的分解与合成由于这里f(t)是奇函数，故有因此，f(t)的三角形式的傅里叶级数为例1：求周期方波的三角形式的傅里叶级数。解：3.1周期信号的分解与合成周期方波信号分解为谐波3.1周期信号的分解与合成方波基波三次谐波五次谐波七次谐波谐波合成周期方波信号FLASH:谐波分解3.1周期信号的分解与合成基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波基波基波+三次谐波+五次谐波基波+三次谐波2、周期信号的复指数表示3.1周期信号的分解与合成令考虑到根据欧拉公式，三角形式的傅里叶级数可以进一步表示为从而有3.1周期信号的分解与合成综上可得即周期信号的复指数级数形式注意：出现了负频率！在频域分析信号是重要的数学表示。其中：3.1周期信号的分解与合成是各次谐波的函数，可以表示为其中：是各次谐波的幅度，是对应的相位。每对相同n值的正、负频率项可以合成为一个余弦实函数，对比从而有可得3.1周期信号的分解与合成总结：（1）周期信号的三角级数形式和复指数级数形式只是同一信号的两种不同表示方法而已。（2）前者为实数级数形式，后者为复数级数，但都是把周期信号表示成不同频率的各分量。3.1周期信号的分解与合成例2：求周期方波的复指数级数形式的傅里叶级数。解：因此，f(t)的复指数级数形式傅里叶级数为则有从而有即

T(t)是无穷多个离散频率的复指数的累加和。3.1周期信号的分解与合成例3：求周期冲激串

T(t)的复指数级数形式的傅里叶级数。解：3.1周期信号的分解与合成思考题（1）试判别信号是否为周期信号？若是，其周期是多少？（2）任何周期函数都可以分解为奇函数与偶函数之和，即其中奇、偶分量分别为试画出图示周期信号的奇分量和偶分量的波形。以周期性方波为例，其三角级数形式为1、周期信号频谱的特点3.2周期信号的频谱频谱图：为了直观地反映周期信号中各频率分量的分布情形，将其各频率分量的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示。频谱图包括：振幅频谱（幅度谱）和相位频谱（相位谱）各次谐波的振幅和相位分别为周期性方波3.2周期信号的频谱周期性方波的振幅频谱和相位频谱振幅频谱特点：（1）离散性：频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量。（2）谐波性：频谱中的谱线只能在基波频率

1的整数倍频率上出现。（3）收敛性：谱线中各谱线的高度随谐波次数的增高而逐渐减小。说明：除少数特例外，许多信号的频谱都具有上述特点。2、双边频谱和信号带宽（1）双边频谱将周期信号展开成复指数形式，在负频率处也有分量。单边频谱3.2周期信号的频谱双边频谱对于周期矩形脉冲，在一个周期内可以表示为则复系数（离散谱函数）例：求周期矩形脉冲的双边频谱。复指数形式的傅里叶级数为解：3.2周期信号的频谱当时，双边幅度谱和相位谱如下幅度谱相位谱过零点坐标为当谱线为正时，其相位为0；谱线为负时，其相位为π或-π过零点3.2周期信号的频谱结论：信号的带宽与信号的持续时间成反比。（2）信号带宽（频带宽度）本课程采用第一零点带宽，即（0~2π/τ）这段频率范围，记做Δω3.2周期信号的频谱或者绝对带宽半功率带宽第一零点带宽讨论频谱与周期T和脉冲宽度

的关系情况1：周期T不变，脉冲宽度

减小谱线间隔不变频带加宽3.2周期信号的频谱情况2：脉冲宽度

不变，周期T增大谱线间隔变密带宽不变3.2周期信号的频谱FLASH

:频谱密度连续谱（3）周期信号的功率谱功率有限的信号称为功率信号。周期信号是功率信号，其平均功率定义为周期信号的平均功率等于信号的直流及各次谐波的功率之和，可以在时域计算，也可以在频域计算。功率谱：将各频率分量（包括直流）的平均功率用谱线表示。3.2周期信号的频谱周期信号的功率关系3.2周期信号的频谱帕塞瓦尔（Parseval）能量守恒定理离散谱（右）（4）频谱的测量连续谱（左）3.2周期信号的频谱思考题（1）如何理解周期信号的幅度谱和相位谱的物理意义？（2）如何理解信号所占的频带宽度？

（3）为了在有限的频段内加大信息量，对时间信号应如何处理？3.2周期信号的频谱对周期信号，有如下一对关系1、傅里叶变换（FourierTransform）3.3非周期信号的频谱当T

，

1d

，n1

，故有f(t)的傅里叶变换

（频谱函数）反之傅里叶反变换从而有傅里叶变换对简记为：3.3非周期信号的频谱因此频谱函数F(ω)一般为ω的复函数，即是ω的偶函数，称为幅度频谱；是ω的奇函数，称为相位频谱。式中：频谱函数可证说明：非周期信号频谱函数存在的充分条件是信号f(t)要满足绝对可积，即注意：不满足绝对可积的信号，其傅里叶变换也可能存在！2、常用信号的频谱函数（1）门函数的频谱的带宽为：即：脉冲宽度与带宽成反比。3.3非周期信号的频谱门函数（矩形脉冲）的幅度谱和相位谱幅度谱相位谱3.3非周期信号的频谱即有变换对（2）冲激函数

(t)的频谱冲激函数的频谱是均匀谱。根据傅里叶变换的定义和

(t)的取样性质，可得3.3非周期信号的频谱（3）单位直流信号的频谱

也就是说假设信号的变换为，则有即：对偶观点：时域“冲激”，频域“直流”；反之亦成立。3.3非周期信号的频谱（4）指数信号的频谱

即类似地

3.3非周期信号的频谱单边指数信号其频谱函数为相位谱幅度谱（5）符号函数的频谱符号函数定义为

符号函数不满足绝对可积的条件，将其视为双边指数函数当α→0时的极限，即从而有幅度谱相位谱即3.3非周期信号的频谱（6）单位阶跃信号的频谱

考虑到单位阶跃信号可以用直流信号和符号函数表示为从而有幅度谱相位谱（利用了傅里叶变换的线性性质）3.3非周期信号的频谱（1）非周期信号的频谱为连续频谱；（2）若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域将延伸到无限，简称：时域有限，频域无限；反之也成立，即：时域无限，频域有限；（3）信号的脉冲宽度越窄，其频带越宽；（4）绝大多数信号的主要能量一般集中在低频分量。重要结论3.3非周期信号的频谱3、帕塞瓦尔定理若信号f(t)为实函数，则其能量E定义为帕塞瓦尔（Parseval）能量守恒公式能量（时域）能量（频域）例：信号，试从时域和频域验证能量守恒。解：能量守恒3.3非周期信号的频谱（1）对比常用信号的傅里叶变换，你能发现什么规律？（2）若f(t)为奇函数，F(ω)是什么函数？若f(t)为非奇非偶函数，F(ω)又是什么函数？（3）当夏天电闪雷鸣时，开着的收音机为什么会发出“咔嚓”的声音？思考题3.3非周期信号的频谱例如：3.4傅里叶变换的性质与应用1、线性性质若则2、尺度变换性质例如：时域压缩2倍，频谱扩展2倍。时域扩展2倍，频谱压缩2倍。特别地，当，则有：若则其中：3.4傅里叶变换的性质与应用尺度变换示意图时域压缩，频谱展宽；时域展宽，频域压缩。且两域内展缩的倍数是一致的。在电子信息和通信技术中，为了压缩通信时间以提高通信速度，就要提高每秒内传送的脉冲数，为此就必须压缩信号脉冲的宽度。这样做必然会使频带加宽，相应地通信设备的通频带也要加宽。在实际工程中，应合理地选择信号的脉冲宽度与占有的频带。3.4傅里叶变换的性质与应用即信号时移后，其幅度谱保持不变，各分量相位变化。3、时移性质若则3.4傅里叶变换的性质与应用因为故例1：对比和的频谱。（1）幅度谱保持不变（2）左图中的处，相位约为；

右图中的处，相位约为。解：3.4傅里叶变换的性质与应用例2：设信号f(t)由三个矩形脉冲组成，其脉冲相邻间隔T与脉宽

之比T/=3，试求其频谱函数F(

)。解：考虑到根据时移性质，可得：3.4傅里叶变换的性质与应用4、频移性质调制定理调幅信号的频谱若则3.4傅里叶变换的性质与应用调制信号调幅信号例3：求矩形高频脉冲的频谱。解：门函数的频谱根据调制定理可得频分复用（FDMA）的基础已调信号的带宽是原信号的2倍！3.4傅里叶变换的性质与应用解：令

=4，根据时-频对称性，可得5、时-频对称性若则若为偶函数，则即3.4傅里叶变换的性质与应用例4：设信号，求。考虑到

说明Sa函数（时域无限）对应的频谱是门函数（频域有限）。反之，若已知则有也就是说，在频域的门函数对应时域的Sa函数。3.4傅里叶变换的性质与应用根据时域卷积定理，有：6、卷积定理（1）时域卷积定理时域卷积，频域乘积解：例5：求两个相同的门信号

卷积的频谱函数。三角脉冲及其频谱3.4傅里叶变换的性质与应用若则（2）频域卷积定理时域乘积，频域卷积时域卷积定理的应用：求系统响应的频谱

即系统响应的频谱等于输入信号频谱F(

)与系统频率特性H(

)的乘积。3.4傅里叶变换的性质与应用若因为故傅里叶变换则例如：7、时域微分特性若则推广：问题：如何求的频谱？解决方法根据傅里叶变换的定义无法求解！两边对ω求导后可得从而有3.4傅里叶变换的性质与应用8、时域积分特性若则当，即时例如：则3.4傅里叶变换的性质与应用解：对梯形信号求导两次，如图(a)和图(b)所示。例6：求图示梯形信号的频谱函数。根据微分性质，可得由于3.4傅里叶变换的性质与应用图(a)图(b)根据时移性质，可得即由于根据积分性质可得3.4傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换的主要性质名称时域频域线性性质尺度变换性质时移性质频移性质时-频对称性时域卷积定理频域卷积定理时域微分特性时域积分特性3.4傅里叶变换的性质与应用3.4傅里叶变换的性质与应用（1）若低频调制信号（也称基带信号）的带宽为5kHz，经调幅调制后，已调信号的带宽变为多少？（2）若f(t)的频谱函数为F(ω)，则f1(t)＝f(at－b)的频谱函数可以表示为你能证明吗？（3）若有一阶系统方程试求零状态响应y(t)的傅里叶变换。思考题根据频移性质，有3.5周期信号的傅里叶变换利用傅里叶变换不仅可以确定非周期信号的频谱函数，也可以把周期信号的频谱表示为傅里叶变换的形式。以简单的周期信号来说明。直流信号的傅里叶变换为进一步，根据欧拉公式和线性性质，可得3.5周期信号的傅里叶变换正弦和余弦周期信号的频谱3.5周期信号的傅里叶变换即：周期信号的频谱函数是以为强度的冲激谱线组成。离散的冲激串包络是Sa函数形状周期信号的复指数形式为其中其傅里叶变换为对于周期矩形脉冲其傅里叶变换形式为3.5周期信号的傅里叶变换频谱复系数为其傅里叶变换为冲激信号串的频谱为离散的冲激串，各分量的强度为例1：求周期性冲激信号串的离散频谱函数，并绘制频谱图。解：3.5周期信号的傅里叶变换由于例2：求信号

的频谱函数，并绘制频谱图。解：根据频域卷积定理，可得3.5周期信号的傅里叶变换频谱图如下：频谱混叠（aliasing）说明：图中未考虑的相位。3.5周期信号的傅里叶变换（1）周期信号的频谱有几种表达形式，它们各有什么特点？（2）设有信号试证明其频谱函数为（3）设有信号f(t)＝f1(t)f2(t)，其中

试用频域卷积定理大致画出f(t)的频谱图。思考题（1）系统函数3.6系统的频域分析1、系统函数与无失真传输系统的零状态响应根据时域卷积定理，可得频域系统函数为幅频特性相频特性也称为频率特性时、频分析对应关系3.6系统的频域分析系统函数是信号传输的纽带与桥梁3.6系统的频域分析例1：图示系统在下列输入信号作用下，试用傅里叶变换求（1）当时，电感电流的稳态响应；（2）当时，电感电流的零状态响应。解：基于相量法，根据分流公式可得故系统函数为3.6系统的频域分析故取傅氏反变换得稳态响应为（1）当时说明：信号经过线性系统，不会产生新的频率成分，只是响应的幅值和相位受到了系统函数的影响。3.6系统的频域分析故取傅氏反变换得零状态响应为（2）当时部分分式之和3.6系统的频域分析例2：一阶系统微分方程：试用频域法求阶跃响应。解：在零状态下取方程两端的傅里叶变换，可得故系统函数为阶跃信号的频谱函数为从而有3.6系统的频域分析故阶跃响应为3.6系统的频域分析频域分析法求解系统零状态响应的过程如下：（1）首先对输入信号进行傅里叶变换，求出；（2）求出系统的系统函数（频率特性）；（3）由卷积定理求系统的零状态响应的傅里叶变换，即：

；（4）取的傅里叶反变换求得零状态响应。3.6系统的频域分析补充说明：（1）若系统的冲激响应已知，则对其进行傅里叶变换可得系统函数；（2）若给定具体的电路，可从电路在正弦稳态下的相量模型求得系统函数；（3）若给定系统的微分方程，则对方程两端取傅里叶变换，由求得系统函数。即有不失真条件3.6系统的频域分析（2）信号的无失真传输条件其中：为常数，为延迟时间。时域条件频域条件系统函数3.6系统的频域分析信号进行无失真传输时要满足两个条件：（1）系统的幅频特性在整个频率范围内是常量；（2）系统的相频特性在整个频率域内是线性的（过原点的一条直线）。3.6系统的频域分析例3：图示电路系统，已知R1=R2=1Ω，激励为电流源is(t)，输出电压为u(t)。为使系统无失真地传输信号，试确定L和C的值。解：根据相量模型，可得系统函数为此时满足无失真条件，且无时间延迟。当L=1H和C=1F时，理想滤波器：幅频特性在某一频带内保持为常数而在该频带外为零，相频特性始终为过原点的一条直线。3.6系统的频域分析2、信号通过理想滤波器理想低通滤波器（LPF）理想高通滤波器（HPF）理想带通滤波器（BPF）理想带阻滤波器（BSF）（1）理想低通滤波器的冲激响应03.6系统的频域分析以下重点研究信号通过理想低通滤波器的情况。3.6系统的频域分析（1）在时作用于系统，而在时刻系统响应达到最大值，表明系统对信号具有延时作用，延时量为。冲激响应h(t)的特点：（3）当时，，这表明理想低通滤波器是一个非因果系统，它在物理上是无法实现的。（2）响应比激励展宽了许多，表明冲激信号中的高频分量被滤波器衰减了。当输入为

(t)时，根据时域卷积定理可得3.6系统的频域分析（2）理想低通滤波器的阶跃响应过冲式中：则阶跃响应为

不同截止频率理想低通滤波器的阶跃响应

3.6系统的频域分析吉布斯现象3.6系统的频域分析例4：实际的低通滤波器如图所示，设L=3H,C=1/3F,R=3Ω。试求系统函数和冲激响应。解：根据阻抗关系，可得系统函数幅频特性：相频特性：3.6系统的频域分析

若输入信号，则冲激响应h(t)直接由的

傅氏反变换得到冲激响应h(t)是因果的，故系统是可以实现的！其幅频特性和相频特性与理想低通滤波器非常相近。1、信号的取样（采样/抽样）3.7取样定理及其应用电子开关（常用MOS管）取样器的模型表示开关周期为Ts接通时间为τfs(t)是取样信号p(t)是周期性矩形窄脉冲（对应实际取样）δT(t)是周期性冲激信号串（对应理想取样）取样原理示意图3.7取样定理及其应用理想取样实际取样fs(t)=f(t)·p(t)fs(t)=f(t)·δT(t)3.7取样定理及其应用问题：取样周期Ts取多大才合适？取样间隔不合适，丢失信息严重Ts足够小，包含了原始正弦波信号的很多信息。3.7取样定理及其应用1928年美国物理学家Nyquist提出，称为奈奎斯特取样定理1933年苏联工程师科捷利尼科夫用公式表述这定理，在苏联文献中称为科捷利尼科夫取样定理。1948年Shannon对这一定理明确地说明并正式作为定理引用，又称为香农取样定理。2、取样定理若f(t)为带宽有限的连续信号，其频谱的最高频率为fm，则以取样间隔Ts≤1/(2fm)

对f(t)等间隔取样所得的取样信号fs(t)将包含原信号f(t)的全部信息。3.7取样定理及其应用最大取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔最大取样频率fs=2fm称为奈奎斯特取样频率FLASH：取样定理3.7取样定理及其应用频谱不混叠频谱混叠3.7取样定理及其应用FLASH：取样信号频谱（1）理想取样取样信号取样信号的频谱其中：是取样角频率频域卷积定理ωs≥2ωm

ωs<2ωm

信号恢复原理图3.7取样定理及其应用

如何从fs(t)中恢复原信号f(t)？理想低通滤波器的冲激响应根据时域卷积定理：有其中：内插公式

时域卷积恢复原信号f(t)，借助理想低通滤波器从FS(

)中取出原信号的F(

)。FLASH：

信号恢复3.7取样定理及其应用无数个延时的Sa函数的叠加。3.7取样定理及其应用（2）实际取样fs(t)=f(t)·p(t)其中：根据时域卷积定理，可得周期性矩形窄脉冲p(t)的频谱函数为3.7取样定理及其应用取样信号Fs(ω)的频谱是原信号频谱F(ω)沿着ω轴不断频移nωs所得的一串频谱组成，只要取样周期Ts≤1/(2fm)（或者ωs≥ωm

），这一串频谱互相不会重叠。

借助截止频率为ωc

=ωm的理想低通滤波器就能恢复原信号！

n=0时只是系数变化了τ/Ts（3）工程中的实际问题解决方案如下：3.7取样定理及其应用实际工程中要做到完全不失真地恢复原信号是不可能的。原因之一：在有限时间内存在的实际信号，其频谱是无限宽的，故无法确定最高频率fm。原因之二：要从取样信号中完全恢复原信号必须借助理想低通滤波器，而理想低通滤波器是无法实现的。若最高频率ωm已知，工程上一般取ωs≥(5~10)ωm

。

取样定理用于电报技术3.7取样定理及其应用3.7取样定理及其应用思考题（1）什么是取样定理？你能用生活中遇到的事物说明取样定理的正确性吗？（2）许多信号并不是带宽有限的，为了确定取样频率，应该如何处理？（3）对f(t)进行理想取样的Nyquist取样频率为fs，则对f(2t－3)进行取样，其Nyquist取样频率为多少？（4）信号f(t)＝Sa(100t)，则最低理想取样频率为fs多少？解调：从已被调制的信号中恢复原信号的过程。3.8频域分析用于通信系统1、信号的调制与解调调制：有用信号为f(t)——称为调制信号高频振荡为x(t)=Acos(

0t+

0)——称为载波信号调制信号高频载波3.8频域分析用于通信系统调制分类（1）幅度调制（调幅，AM）：用f