《信号与系统教程》（第5版） 课件全套 燕庆明 第1-8章 信号与系统导论-连续和离散系统的状态变量分析

《信号与系统教程》（第5版）使用说明运行环境：Office2010以上。请安装Office工具中的公式编辑器Mathtype，以及与操作系统相适应最新的Flash播放器。未安装公式编辑器Mathtype可能会出现部分公式无法正常显示，出现乱码的情况。《信号与系统教程电子教案》目录第1章信号与系统导论第2章连续系统的时域分析第3章信号与系统的频域分析第4章连续系统的复频域分析第5章系统函数与零、极点分析第6章离散系统的时域分析第7章离散系统的z域分析第8章连续和离散系统的状态变量分析Flash动画动画1信号延时动画2尺度变换动画3信号分解动画4卷积动画5谐波分解动画6频谱密度动画7取样定理动画8取样信号频谱动画9信号恢复动画10离散信号延迟动画11卷和动画12频率响应课程绪论

专业基础电子科学与技术控制科学与工程计算机科学与技术电磁场与微波光电技术、等信息与通信工程信号电路系统1、电子电气各专业基础基础学科2、学科与产业的交叉微电子产业通信技术产业计算机硬件产业软件产业数字家电产业互联网产品光电子产业学科产业对应电子科学与技术信息与通信工程计算机科学与技术光电技术控制科学与工程电气与自动化课程绪论信息语音图像数据知识信号与信号处理电磁场与微波集成电路通信计算机物联网自动化与控制科学光电信息技术信息安全信息获取信息处理信息传输生产自动化智能化

物流现代农业过程监控应用生活电话电视家电智能家居社会管理网络科研遥感测量地球科学宇宙探索海洋科学国防雷达导航智能武器GPS定位激光武器3、信息—知识—应用信息化生活、信息化生产、信息化战争人类正进了信息化社会！网络化课程绪论信号分析

时域分析

变换域分析

系统分析

时域分析

变换域分析三大变换突出三个基本：基本概念、基本理论、基本方法4、课程核心框架课程绪论学习导言第1章信号与系统导论探索是一种乐趣，学习是一种幸福。系统之美，信号真谛，皆有规律可循。学习重点

信号和信号分析的概念；系统和系统分析的概念；线性系统的性质及应用。基本信号及处理概念。1.1历史的回顾1.3信号的概念1.4系统的概念1.5常用基本信号1.6信号的简单处理1.7单位冲激函数本章目录1.2应用领域

在电子信息、通信工程、自动控制、微电子和计算机等领域中，经过100多年的发展历程，涌现出了无数科学发现和技术发明。1.1历史的回顾1.1历史的回顾电子信息技术对人类社会进步的巨大贡献。电子管发明开启电子时代无线广播、无线通信诞生1947年晶体三极管发明开启固体电子学时代雷达、大型计算机诞生1958年集成电路诞生开启了微电子时代信号处理技术、彩色电视大发展1966年光纤通信及光电子时代信息技术、卫星及现代通信、个人电脑、互联网、物联网…1906年麦克斯韦提出电磁波理论（1864年）傅里叶建立信号分析理论（1822年）拉普拉斯建立变换分析理论（1779年）香农创立信息论（1948年）钱学森提出工程控制论（1954年）维纳创立控制论（1948年）1.1历史的回顾麦克斯韦与赫兹1.1历史的回顾贝尔与电话1.1历史的回顾1946年至现在的各式有线电话1.1历史的回顾莫尔斯电报的发明和传入1.1历史的回顾中国工农红军使用的半部电台1.1历史的回顾中国人自研的第一台电传发报机1.1历史的回顾马可尼与无线电1.1历史的回顾解放军战士使用过的带“八一”标识的收音机1.1历史的回顾贝尔德与电视1.1历史的回顾第一台计算机ENIAC与微型电脑1.1历史的回顾半导体材料与基尔比发明集成电路1.1历史的回顾早期的电视、广播与现代通信1.1历史的回顾

信号与系统的理论广泛应用于工业、农业、国防和社会生活的各个方面，特别是在电子科学与技术领域的应用涉及了无线通信、信号处理、计算机、图像处理、控制系统、电力系统、航天工程等众多方面。1.2应用领域电子信息技术的广泛应用1.2应用领域光电子器件的诞生，开创了光通信的新时代1.2应用领域光纤（光纤之父高锟）华人科学家高锟1966年提出光纤理论，随后发明光纤，获2009年诺贝尔物理学奖。1.2应用领域人体断层扫描图像1.2应用领域电子工程信息技术实现：从模拟式到数字化20世纪八、九十年代分立元件电路时代。1.2应用领域贴片机生产车间我国某电信公司的电路板生产车间电子系统设计：选择集成电路组件，交计算机系统完成功能仿真。由贴片机组装。集成电路设计：利用专用设计工具软件完成专业工厂投片。（无需单元电路分析）1.2应用领域片上系统集成电路晶体管

电子管系统设备更新换代元器件更新换代

1.2应用领域

模拟信号、电磁波

数字信号

CDMA

OFDM、MIMO

激光

光通信等广播、模拟电话、无线通信程控电话、2G（GSM/CDMA)3G(WCDMA/CDMA200/TDSCDMA)数字电视4G（TD-LTE第四代移动通信）（现已进入5G新时代）通信技术发展通信系统更新换代

1.2应用领域天河二号：5.49亿亿次，2013年世界第一1.2应用领域空间技术1.2应用领域遥感、遥测、遥控技术用于嫦娥二号工程1.2应用领域中国载人航天工程1.2应用领域天舟六号货运飞船与空间站成功对接1.2应用领域（1）信号（signal）：物质的运动形式或状态的变化。例如：声、光、电、力、振动、流量、温度……1.3信号的概念消息（message）：声音、文字、图像、符号……信息（information）：消息中的新内容、新知识。1、信号及其分类电报信号语音信号睡眠信号气温变化信号1.3信号的概念月球地形信号与人图像信号1.3信号的概念银河系及天外信号1.3信号的概念银河外星系M811.3信号的概念（2）信号分类

确定性信号与随机信号

周期信号与非周期信号

连续信号与离散信号

因果信号与非因果信号1.3信号的概念确定性信号与随机信号1.3信号的概念周期信号与非周期信号1.3信号的概念连续信号与离散信号1.3信号的概念2、信号分析与处理时域分析：波形参数、波形变化、重复周期、时域分解与合成等。频域分析：频率结构、频带宽度、能量分布、信息的变化等。信号测量：模拟式仪器、数字式仪器。1.3信号的概念（1）系统（system）：由若干相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。如电视、收音机等。1.4系统的概念1、系统及其分类电视系统的组成（2）系统分类1.4系统的概念离散系统混合系统根据系统处理的信号形式的不同，可以分成：连续时间系统（连续系统）、离散时间系统（离散系统）和混合系统。连续系统RC反馈系统实际系统通常是有多个子系统组合而成。子系统的相互连接一般有串联（级联）、并联与反馈连接三种。1.4系统的概念串联系统并联系统（闭环）1.4系统的概念为了适应实际工程的需要，系统的组成形式是多种多样的。按其工作性质来说，可以分为：

①线性系统和非线性系统

②时变系统和时不变系统

③因果系统和非因果系统①线性系统与非线性系统非线性系统不满足上述可加性（叠加性）和齐次性（比例性）。1.4系统的概念若对于任意常数a1和a2，有则该系统是线性的。可加性齐次性线性系统的三个重要特性，即：微分特性、积分特性和频率保持性。频率保持性：信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。尽管各频率分量的大小和相位可能发生变化。1.4系统的概念微分特性：若，则积分特性：若，则时不变系统：系统的元件参数不随时间变化，也称为非时变系统或定常系统；否则为时变系统。②时不变系统与时变系统1.4系统的概念时不变特性示意图时不变性：若则1.4系统的概念若系统既是线性的，又是时不变的，则称为线性时不变(LinearTime-Invariant,LTI)系统。对于连续LTI系统，其描述方程为线性常系数微分方程。虽然实际中大多数系统不是LTI的，但许多非线性系统和时变系统经过合理近似后，可以简化为LTI系统进行分析。实践表明，有关LTI系统的理论和方法在系统分析中非常有用，故本课程重点研究LTI系统的问题。因果系统：在激励信号作用之前系统不产生响应。否则为非因果系统。③因果系统与非因果系统因果系统和非因果系统1.4系统的概念建立模型（数学）时域分析频域（变换域）分析系统特性（2）系统分析单输入单输出（SISO）多输入多输出（MIMO）1.4系统的概念1.5常用的基本信号1、直流信号2、正弦信号三要素：幅值角频率初相位rad/s3、单位阶跃信号4、斜坡信号也可以表示为：1.5常用的基本信号5、门信号也可以表示为：6、实指数信号（又称为矩形脉冲）1.5常用的基本信号7、复指数信号虚部：实部：实部和虚部的波形1.5常用的基本信号8、降正弦函数（信号）辛格函数（信号）：是偶函数（3）曲线呈衰减振荡，“主瓣”宽度为，特点：（1）（2）（4）当时，1.5常用的基本信号1、相加与相乘相加与相乘1.6信号的简单处理➕＝＝✖2、反转与延时FLASH:信号延时反转（反折）若是已经录制好的音频信号，则表示其倒转播放。若是已经录制好的音频信号，则表示延迟秒后播放。1.6信号的简单处理延时超前3、压缩与扩展压缩2倍FLASH

:尺度变换若是已经录制好的音频信号，则表示是以原声的2倍速播放；表示将原声降低一半速度播放。（尺度变换）扩展2倍1.6信号的简单处理4、微分与积分微分积分1.6信号的简单处理

1例：信号的综合处理。已知的波形，求的波形。方法一：方法二：殊途同归！1.6信号的简单处理1.7单位冲激函数问题：（1）怎样描述钉子在一瞬间受到极大作用力的过程？（2）如何描述乒乓球运动员发球瞬间的作用力？（3）如何描述在极短时间内给电容以极大电流充电的情形？冲激函数有着广泛的物理基础，需要定义一个理想函数以满足各种应用！1、引例

RC电路充电过程当时，充电时间常数充电电流意味着：在瞬间电源以无穷大的电流给电容充电，即电容上的电荷：正好是曲线下的面积。1.7单位冲激函数冲激函数的演变过程微分微分1.7单位冲激函数冲激函数矩形脉冲演变为冲激函数的过程

矩形脉冲的面积始终为11.7单位冲激函数2、δ(t)的定义

是一种奇异信号冲激信号的延迟

表示冲激函数的延迟（超前）1.7单位冲激函数冲激筛选示意图1.7单位冲激函数单位冲激函数的性质（1）δ(t)是偶函数，即（2）取样（筛选）性，即进一步，可得因为

单位阶跃信号的导数为单位冲激信号3、

(t)与

(t)的关系故有从而1.7单位冲激函数单位冲激信号的积分为单位阶跃信号求导4、冲激偶冲激偶演变过程

微分微分1.7单位冲激函数1.7单位冲激函数冲激偶的特点（1）冲激偶的积分等于δ(t)，即（2）冲激偶是奇函数，其冲激面积之和为0，即（3）当冲激偶与连续信号f(t)相乘时，可以筛选出f(t)在

t＝0时的变化速率值，即任意信号的冲激分解过程5、δ(t)的重要应用用阶梯信号逼近：

当

0时，f

(t)

(t)，

d

，n

，故有

FLASH

:信号分解1.7单位冲激函数思考题（1）下列等式是否正确？为什么？（a）（b）（2）下列结论是否正确？为什么？（a）（b）1.7单位冲激函数童志鹏（1924一2017）电子信息工程专家中国工程院院士思考题（3）试解释图中i(t)的物理意义。简单电路中的冲激和冲激偶1.7单位冲激函数本章结束反映事物的本质，反映事物的内部规律性，就必须经过思考的作用，将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫，造成概念和理论的系统。

引自《毛泽东选集》学习导言第2章连续系统的时域分析系统是结构与行为的统一。信号是在系统中随时间动态传递的。只有知规律，方能玄妙可通，不疾而速，不行而至。

学习重点

连续系统微分方程的特点；系统响应的分解形式；阶跃响应与冲激响应；卷积及其应用；系统的特征函数及其应用。本章目录2.1线性时不变系统描述及其响应2.2冲激响应与阶跃响应2.3卷积及其应用2.4特征函数及其应用1、系统的微分方程2.1线性时不变系统描述及其响应

i(t)＝0对于集总参数电路，建立其微分方程的基本依据是

u(t)＝0

（1）基尔霍夫电流定律（KCL）

KCL描述了一个结点上各个电流的约束关系。

如果规定流入结点的电流为正，流出结点的电流为负，那么，对任一结点而言，电流的代数和恒等于0，即（2）基尔霍夫电压定律（KVL）

KVL描述了一个回路中各支路电压之间的约束关系。对于任一回路，按一定方向沿着回路绕行一周，回路中所有支路电压或元件电压的代数和为0，即2.1线性时不变系统描述及其响应（3）电压电流关系（VCR）①电阻R：②电容C：③电感L：说明：（1）电阻是无记忆元件，电容和电感是有记忆元件；（2）电阻是耗能元件，电容是储存电场能量的元件，电感是储存磁场能量的元件。解：对串联RC系统，有对并联RL系统，有例1：分别建立串联RC和并联RL系统的微分方程。（一阶系统）（一阶系统）2.1线性时不变系统描述及其响应即即根据KVL和VCR可得解：根据KCL和VCR可得联合两式后可得例2：建立并联RLC系统的微分方程。整理可得（二阶系统）注意：该微分方程右端既有输入电流源项，还有输入的导数项。2.1线性时不变系统描述及其响应一般地，n阶LTI连续系统，其微分方程为n阶常系数线性微分方程是系统时域分析的基础。2.1线性时不变系统描述及其响应式中：为系统的响应变量（电流或电压等）；为系统的激励信号（电压源或者电流源等）；表示的n阶导数；表示的n阶导数。零输入响应（储能响应）2、零输入响应与零状态响应从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。零状态响应（受激响应）当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）。2.1线性时不变系统描述及其响应一阶系统的零输入响应和零状态响应特征方程零输入响应式中是初始值。令，则有完全响应2.1线性时不变系统描述及其响应对于一阶系统，微分方程为特征根（又称固有频率）零状态响应例3：对于图示一阶系统，设R=1Ω，C=0.5F，当uC(0

)=4V，uS(t)=(1+e3t)V(t≥0)时，求完全响应uC(t)。解：系统的微分方程为（1）起始状态uC(0

)=4V，无外加输入时（令

uS(t)=0）根据换路定律有uC(0+)=uC(0

)=4V零输入响应2.1线性时不变系统描述及其响应特征根（2）当uS(t)=(1+e3t)V(t≥0)时，在零状态下（3）完全响应为零状态响应为2.1线性时不变系统描述及其响应3、响应的三种分类方法（1）按响应的不同起因分为零输入响应（储能响应）

零状态响应（受激响应）；（2）按系统的性质和输入信号的形式分为

自由响应（取决于系统性质，即特征根）

强迫响应（取决于输入信号的形式）；（3）按响应的变化形式分为

瞬态响应（当t无限增长，响应最终趋于零）

稳态响应（响应恒定或为某个稳态函数）。2.1线性时不变系统描述及其响应例3中的完全响应分类情况如下2.1线性时不变系统描述及其响应1、冲激响应（ImpulseResponse）LTI系统在零状态条件下，由单位冲激信号引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

则冲激响应

2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应示意图对于一阶系统

例：求RC系统的冲激响应h(t)=uC(t)。

解：电路的微分方程为

冲激响应为（一阶系统）2.2冲激响应与阶跃响应2、阶跃响应（StepResponse）LTI系统在零状态条件下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(t)。

则阶跃响应

2.2冲激响应与阶跃响应阶跃响应示意图对于一阶系统

问题：工程上，如何测量阶跃响应？说明：用一个周期性方波信号的上升沿代替阶跃信号，只要这个方波信号的高电平持续时间远大于阶跃响应的瞬态过程所经历的时间即可在示波器上观察到稳定的阶跃响应波形。2.2冲激响应与阶跃响应阶跃响应的测试阶跃响应实测图和典型的测试结果2.2冲激响应与阶跃响应3、阶跃响应与冲激响应的关系由LTI系统的微、积分特性，则有冲激响应的积分是阶跃响应冲激响应等于阶跃响应的导数若阶跃响应为则其冲激响应为2.2冲激响应与阶跃响应4、利用转移算子求冲激响应式中H(p)称为转移算子。2.2冲激响应与阶跃响应即则有算子方程定义算子对于一阶方程有所以对于二阶方程2.2冲激响应与阶跃响应例如一般地，为单根冲激响应为则有从而冲激响应为系数思考题（1）下列等式是否正确？为什么？（a）（b）若，则（2）如何应用算子方程直接求取阶跃响应？2.2冲激响应与阶跃响应1、卷积的概念2.3卷积及其应用冲激分解可用卷积表示即信号f(t)与冲激函数的卷积等于其本身！设有时间函数f1(t)和f2(t)，定义如下卷积积分一阶系统中，因特征函数

，故卷积例1：求设

1=1，

2=3，则解：根据卷积的定义，可得2.3卷积及其应用2、性质若y(t)=f1(t)

f2(t)则

y

(t)=f1(t)

f

2(t)=f

1(t)

f2(t)应用

f(t)

(t)=f(t)交换律：f1(t)

f2(t)=f2(t)

f1(t)结合律：f1(t)

[f2(t)

f3(t)]=[f1(t)

f2(t)]

f3(t)分配律：[f1(t)+f2(t)]

f3(t)=f1(t)

f3(t)+f2(t)

f3(t)（1）代数律信号f(t)与冲激偶的卷积等于其导数！2.3卷积及其应用（2）微分性质（3）积分性质应用

即信号f(t)与阶跃信号卷积，就等于信号f(t)的积分。

2.3卷积及其应用若则例2：利用微、积分性质计算两个宽度相同的门函数的卷积。思考题：两个宽度不同的门函数卷积结果？答：梯形波三角波2.3卷积及其应用（4）延时性质2.3卷积及其应用延时性质示意图若则例3：三角波信号与冲激函数的卷积2.3卷积及其应用T>2时不产生混叠（aliasing）T<2时产生混叠（aliasing）3、系统的卷积分析法

零状态响应=输入信号冲激响应，即

y(t)=f(t)

h(t)过程：LTI

(t)h(t)（定义）

(t

)

h(t

)（时不变性）

f(t)

(t)

f(t)h(t)

f(t)y(t)f(

)

(t

)

f(

)h(t

)（齐次性）

（可加性）2.3卷积及其应用系统卷积分析演变示意图2.3卷积及其应用卷积的图解机理

反转平移相乘积分4、用图形扫描法计算卷积①t

换为

②h(

)

换为h(

)③h(

)平移④相乘积分特别注意：当t>0时，h(t

)将h(

)右移t;当t<0时，h(t

)将h(

)左移t。2.3卷积及其应用卷积过程（3）当t>2时，（1）当

t0时，（2）当0

t2时，2.3卷积及其应用例4：用图形扫描法计算卷积。2.3卷积及其应用解：即当t<1时，（1）当时，

即当1

t<2时，（2）当时，即当2

t<3时，（3）当且时，2.3卷积及其应用即当3

t<4时，（4）当时，2.3卷积及其应用即当t4时，（5）当时，综上所述，卷积结果如图所示总结：结合图形计算卷积虽然该确定积分上下限比较直观，当波形较复杂时，通常是不方便的。2.3卷积及其应用FLASH：卷积另外一种计算方法：计算结果与图形扫描法完全相同。2.3卷积及其应用思考题（1）如何确定卷积的积分限？卷积对非线性系统是否适用？（2）下列结果是否正确？（a）（b）（c）（3）设有如下卷积问采用什么方法计算较为简便？（4）若，试用交换律验证卷积结果。2.3卷积及其应用1、特征函数2.4特征函数及其应用对二阶系统微分方程y

(t)+a1y

(t)+a0y(t)=x(t)设特征根为

1和

2，则二阶特征函数为则二阶系统的零状态响应

n阶特征函数n阶系统的零状态响应

例1：设有二阶系统的微分方程为求输入信号的零状态响应。解：系统的特征方程为特征根为

1=2和

2=3特征函数零状态响应2.4特征函数及其应用2、冲激响应与阶跃响应则冲激响应为（1）冲激响应对于如下二阶微分方程，输入为冲激信号时2.4特征函数及其应用例2：图示典型RLC串联谐振系统，以为输出。对于下述四种情况,分别求其冲激响应

。2.4特征函数及其应用RLC串联谐振电路对于(a)代入元件参数后得特征根为冲激响应为2.4特征函数及其应用电路的微分方程如为：过阻尼对于(b)代入元件参数后得特征根为冲激响应为2.4特征函数及其应用临界阻尼对于(c)代入元件参数后得特征根为衰减正弦振荡（欠阻尼）2.4特征函数及其应用冲激响应为对于(d)代入元件参数后得特征根为冲激响应为等幅振荡（无阻尼）2.4特征函数及其应用（2）阶跃响应对于如下二阶微分方程，输入为阶跃信号时则阶跃响应为2.4特征函数及其应用例2对应阶跃响应的四种波形如下方法2：利用求得对应的阶跃响应。方法1：对前面求得的冲激响应分别积分得到阶跃响应。2.4特征函数及其应用

阶跃响应的四种状态过阻尼临界阻尼欠阻尼无阻尼思考题（1）如何利用特征函数求系统的阶跃响应？若系统方程为

则系统的阶跃响应稳态分量是多少？（2）若要求LTI系统的零状态响应，在什么情况下用公式

计算？在什么情况下用公式计算？（3）试计算三阶系统的特征函数（4）设二阶系统方程为已知，试求和。2.4特征函数及其应用本章结束读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。常常不是学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习。

引自《毛泽东选集》学习导言第3章

信号与系统的频域分析有小则有大，有分则有合；有之以为利，无之以为用。系统为载体，信号是灵魂；频域展特性，多姿竞美伦。信号传输有规律，频域分析见真容。

周期信号分解为三角级数和指数形式；周期信号频谱的特点；非周期信号的频谱函数；信号的频带宽度；傅里叶变换的性质和应用。

系统的频率特性（系统函数）；不失真传输条件；信号通过低通滤波器；取样定理及其应用；频分复用与时分复用。学习重点第3章

信号与系统的频域分析3.1周期信号的分解与合成3.2周期信号的频谱3.3非周期信号的频谱3.4傅里叶变换的性质与应用3.5周期信号的傅里叶变换3.6系统的频域分析3.7取样定理及其应用3.8频域分析用于通信系统本章目录

非正弦周期信号3.1周期信号的分解与合成1、周期信号的三角级数表示把非正弦周期信号分解为傅里叶级数（Fourierseries）是法国科学家傅里叶所做的重大贡献。1807年，傅里叶在向法兰西研究院提出的论文中大胆断言：任何周期函数都可以用收敛的正弦级数表示。傅里叶把信号分解为正弦分量的思想对后来的自然科学领域产生了巨大影响。3.1周期信号的分解与合成锯齿波的三角级数合成若周期信号满足狄里赫利条件时，则可用傅里叶级数表示为式中：基波角频率余弦分量幅度正弦分量幅度直流分量n次谐波的频率3.1周期信号的分解与合成由于这里f(t)是奇函数，故有因此，f(t)的三角形式的傅里叶级数为例1：求周期方波的三角形式的傅里叶级数。解：3.1周期信号的分解与合成周期方波信号分解为谐波3.1周期信号的分解与合成方波基波三次谐波五次谐波七次谐波谐波合成周期方波信号FLASH:谐波分解3.1周期信号的分解与合成基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波基波基波+三次谐波+五次谐波基波+三次谐波2、周期信号的复指数表示3.1周期信号的分解与合成令考虑到根据欧拉公式，三角形式的傅里叶级数可以进一步表示为从而有3.1周期信号的分解与合成综上可得即周期信号的复指数级数形式注意：出现了负频率！在频域分析信号是重要的数学表示。其中：3.1周期信号的分解与合成是各次谐波的函数，可以表示为其中：是各次谐波的幅度，是对应的相位。每对相同n值的正、负频率项可以合成为一个余弦实函数，对比从而有可得3.1周期信号的分解与合成总结：（1）周期信号的三角级数形式和复指数级数形式只是同一信号的两种不同表示方法而已。（2）前者为实数级数形式，后者为复数级数，但都是把周期信号表示成不同频率的各分量。3.1周期信号的分解与合成例2：求周期方波的复指数级数形式的傅里叶级数。解：因此，f(t)的复指数级数形式傅里叶级数为则有从而有即

T(t)是无穷多个离散频率的复指数的累加和。3.1周期信号的分解与合成例3：求周期冲激串

T(t)的复指数级数形式的傅里叶级数。解：3.1周期信号的分解与合成思考题（1）试判别信号是否为周期信号？若是，其周期是多少？（2）任何周期函数都可以分解为奇函数与偶函数之和，即其中奇、偶分量分别为试画出图示周期信号的奇分量和偶分量的波形。以周期性方波为例，其三角级数形式为1、周期信号频谱的特点3.2周期信号的频谱频谱图：为了直观地反映周期信号中各频率分量的分布情形，将其各频率分量的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示。频谱图包括：振幅频谱（幅度谱）和相位频谱（相位谱）各次谐波的振幅和相位分别为周期性方波3.2周期信号的频谱周期性方波的振幅频谱和相位频谱振幅频谱特点：（1）离散性：频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量。（2）谐波性：频谱中的谱线只能在基波频率

1的整数倍频率上出现。（3）收敛性：谱线中各谱线的高度随谐波次数的增高而逐渐减小。说明：除少数特例外，许多信号的频谱都具有上述特点。2、双边频谱和信号带宽（1）双边频谱将周期信号展开成复指数形式，在负频率处也有分量。单边频谱3.2周期信号的频谱双边频谱对于周期矩形脉冲，在一个周期内可以表示为则复系数（离散谱函数）例：求周期矩形脉冲的双边频谱。复指数形式的傅里叶级数为解：3.2周期信号的频谱当时，双边幅度谱和相位谱如下幅度谱相位谱过零点坐标为当谱线为正时，其相位为0；谱线为负时，其相位为π或-π过零点3.2周期信号的频谱结论：信号的带宽与信号的持续时间成反比。（2）信号带宽（频带宽度）本课程采用第一零点带宽，即（0~2π/τ）这段频率范围，记做Δω3.2周期信号的频谱或者绝对带宽半功率带宽第一零点带宽讨论频谱与周期T和脉冲宽度

的关系情况1：周期T不变，脉冲宽度

减小谱线间隔不变频带加宽3.2周期信号的频谱情况2：脉冲宽度

不变，周期T增大谱线间隔变密带宽不变3.2周期信号的频谱FLASH

:频谱密度连续谱（3）周期信号的功率谱功率有限的信号称为功率信号。周期信号是功率信号，其平均功率定义为周期信号的平均功率等于信号的直流及各次谐波的功率之和，可以在时域计算，也可以在频域计算。功率谱：将各频率分量（包括直流）的平均功率用谱线表示。3.2周期信号的频谱周期信号的功率关系3.2周期信号的频谱帕塞瓦尔（Parseval）能量守恒定理离散谱（右）（4）频谱的测量连续谱（左）3.2周期信号的频谱思考题（1）如何理解周期信号的幅度谱和相位谱的物理意义？（2）如何理解信号所占的频带宽度？

（3）为了在有限的频段内加大信息量，对时间信号应如何处理？3.2周期信号的频谱对周期信号，有如下一对关系1、傅里叶变换（FourierTransform）3.3非周期信号的频谱当T

，

1d

，n1

，故有f(t)的傅里叶变换

（频谱函数）反之傅里叶反变换从而有傅里叶变换对简记为：3.3非周期信号的频谱因此频谱函数F(ω)一般为ω的复函数，即是ω的偶函数，称为幅度频谱；是ω的奇函数，称为相位频谱。式中：频谱函数可证说明：非周期信号频谱函数存在的充分条件是信号f(t)要满足绝对可积，即注意：不满足绝对可积的信号，其傅里叶变换也可能存在！2、常用信号的频谱函数（1）门函数的频谱的带宽为：即：脉冲宽度与带宽成反比。3.3非周期信号的频谱门函数（矩形脉冲）的幅度谱和相位谱幅度谱相位谱3.3非周期信号的频谱即有变换对（2）冲激函数

(t)的频谱冲激函数的频谱是均匀谱。根据傅里叶变换的定义和

(t)的取样性质，可得3.3非周期信号的频谱（3）单位直流信号的频谱

也就是说假设信号的变换为，则有即：对偶观点：时域“冲激”，频域“直流”；反之亦成立。3.3非周期信号的频谱（4）指数信号的频谱

即类似地

3.3非周期信号的频谱单边指数信号其频谱函数为相位谱幅度谱（5）符号函数的频谱符号函数定义为

符号函数不满足绝对可积的条件，将其视为双边指数函数当α→0时的极限，即从而有幅度谱相位谱即3.3非周期信号的频谱（6）单位阶跃信号的频谱

考虑到单位阶跃信号可以用直流信号和符号函数表示为从而有幅度谱相位谱（利用了傅里叶变换的线性性质）3.3非周期信号的频谱（1）非周期信号的频谱为连续频谱；（2）若信号在时域持续时间有限，则其频谱在频域将延伸到无限，简称：时域有限，频域无限；反之也成立，即：时域无限，频域有限；（3）信号的脉冲宽度越窄，其频带越宽；（4）绝大多数信号的主要能量一般集中在低频分量。重要结论3.3非周期信号的频谱3、帕塞瓦尔定理若信号f(t)为实函数，则其能量E定义为帕塞瓦尔（Parseval）能量守恒公式能量（时域）能量（频域）例：信号，试从时域和频域验证能量守恒。解：能量守恒3.3非周期信号的频谱（1）对比常用信号的傅里叶变换，你能发现什么规律？（2）若f(t)为奇函数，F(ω)是什么函数？若f(t)为非奇非偶函数，F(ω)又是什么函数？（3）当夏天电闪雷鸣时，开着的收音机为什么会发出“咔嚓”的声音？思考题3.3非周期信号的频谱例如：3.4傅里叶变换的性质与应用1、线性性质若则2、尺度变换性质例如：时域压缩2倍，频谱扩展2倍。时域扩展2倍，频谱压缩2倍。特别地，当，则有：若则其中：3.4傅里叶变换的性质与应用尺度变换示意图时域压缩，频谱展宽；时域展宽，频域压缩。且两域内展缩的倍数是一致的。在电子信息和通信技术中，为了压缩通信时间以提高通信速度，就要提高每秒内传送的脉冲数，为此就必须压缩信号脉冲的宽度。这样做必然会使频带加宽，相应地通信设备的通频带也要加宽。在实际工程中，应合理地选择信号的脉冲宽度与占有的频带。3.4傅里叶变换的性质与应用即信号时移后，其幅度谱保持不变，各分量相位变化。3、时移性质若则3.4傅里叶变换的性质与应用因为故例1：对比和的频谱。（1）幅度谱保持不变（2）左图中的处，相位约为；

右图中的处，相位约为。解：3.4傅里叶变换的性质与应用例2：设信号f(t)由三个矩形脉冲组成，其脉冲相邻间隔T与脉宽

之比T/=3，试求其频谱函数F(

)。解：考虑到根据时移性质，可得：3.4傅里叶变换的性质与应用4、频移性质调制定理调幅信号的频谱若则3.4傅里叶变换的性质与应用调制信号调幅信号例3：求矩形高频脉冲的频谱。解：门函数的频谱根据调制定理可得频分复用（FDMA）的基础已调信号的带宽是原信号的2倍！3.4傅里叶变换的性质与应用解：令

=4，根据时-频对称性，可得5、时-频对称性若则若为偶函数，则即3.4傅里叶变换的性质与应用例4：设信号，求。考虑到

说明Sa函数（时域无限）对应的频谱是门函数（频域有限）。反之，若已知则有也就是说，在频域的门函数对应时域的Sa函数。3.4傅里叶变换的性质与应用根据时域卷积定理，有：6、卷积定理（1）时域卷积定理时域卷积，频域乘积解：例5：求两个相同的门信号

卷积的频谱函数。三角脉冲及其频谱3.4傅里叶变换的性质与应用若则（2）频域卷积定理时域乘积，频域卷积时域卷积定理的应用：求系统响应的频谱

即系统响应的频谱等于输入信号频谱F(

)与系统频率特性H(

)的乘积。3.4傅里叶变换的性质与应用若因为故傅里叶变换则例如：7、时域微分特性若则推广：问题：如何求的频谱？解决方法根据傅里叶变换的定义无法求解！两边对ω求导后可得从而有3.4傅里叶变换的性质与应用8、时域积分特性若则当，即时例如：则3.4傅里叶变换的性质与应用解：对梯形信号求导两次，如图(a)和图(b)所示。例6：求图示梯形信号的频谱函数。根据微分性质，可得由于3.4傅里叶变换的性质与应用图(a)图(b)根据时移性质，可得即由于根据积分性质可得3.4傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换的主要性质名称时域频域线性性质尺度变换性质时移性质频移性质时-频对称性时域卷积定理频域卷积定理时域微分特性时域积分特性3.4傅里叶变换的性质与应用3.4傅里叶变换的性质与应用（1）若低频调制信号（也称基带信号）的带宽为5kHz，经调幅调制后，已调信号的带宽变为多少？（2）若f(t)的频谱函数为F(ω)，则f1(t)＝f(at－b)的频谱函数可以表示为你能证明吗？（3）若有一阶系统方程试求零状态响应y(t)的傅里叶变换。思考题根据频移性质，有3.5周期信号的傅里叶变换利用傅里叶变换不仅可以确定非周期信号的频谱函数，也可以把周期信号的频谱表示为傅里叶变换的形式。以简单的周期信号来说明。直流信号的傅里叶变换为进一步，根据欧拉公式和线性性质，可得3.5周期信号的傅里叶变换正弦和余弦周期信号的频谱3.5周期信号的傅里叶变换即：周期信号的频谱函数是以为强度的冲激谱线组成。离散的冲激串包络是Sa函数形状周期信号的复指数形式为其中其傅里叶变换为对于周期矩形脉冲其傅里叶变换形式为3.5周期信号的傅里叶变换频谱复系数为其傅里叶变换为冲激信号串的频谱为离散的冲激串，各分量的强度为例1：求周期性冲激信号串的离散频谱函数，并绘制频谱图。解：3.5周期信号的傅里叶变换由于例2：求信号

的频谱函数，并绘制频谱图。解：根据频域卷积定理，可得3.5周期信号的傅里叶变换频谱图如下：频谱混叠（aliasing）说明：图中未考虑的相位。3.5周期信号的傅里叶变换（1）周期信号的频谱有几种表达形式，它们各有什么特点？（2）设有信号试证明其频谱函数为（3）设有信号f(t)＝f1(t)f2(t)，其中

试用频域卷积定理大致画出f(t)的频谱图。思考题（1）系统函数3.6系统的频域分析1、系统函数与无失真传输系统的零状态响应根据时域卷积定理，可得频域系统函数为幅频特性相频特性也称为频率特性时、频分析对应关系3.6系统的频域分析系统函数是信号传输的纽带与桥梁3.6系统的频域分析例1：图示系统在下列输入信号作用下，试用傅里叶变换求（1）当时，电感电流的稳态响应；（2）当时，电感电流的零状态响应。解：基于相量法，根据分流公式可得故系统函数为3.6系统的频域分析故取傅氏反变换得稳态响应为（1）当时说明：信号经过线性系统，不会产生新的频率成分，只是响应的幅值和相位受到了系统函数的影响。3.6系统的频域分析故取傅氏反变换得零状态响应为（2）当时部分分式之和3.6系统的频域分析例2：一阶系统微分方程：试用频域法求阶跃响应。解：在零状态下取方程两端的傅里叶变换，可得故系统函数为阶跃信号的频谱函数为从而有3.6系统的频域分析故阶跃响应为3.6系统的频域分析频域分析法求解系统零状态响应的过程如下：（1）首先对输入信号进行傅里叶变换，求出；（2）求出系统的系统函数（频率特性）；（3）由卷积定理求系统的零状态响应的傅里叶变换，即：

；（4）取的傅里叶反变换求得零状态响应。3.6系统的频域分析补充说明：（1）若系统的冲激响应已知，则对其进行傅里叶变换可得系统函数；（2）若给定具体的电路，可从电路在正弦稳态下的相量模型求得系统函数；（3）若给定系统的微分方程，则对方程两端取傅里叶变换，由求得系统函数。即有不失真条件3.6系统的频域分析（2）信号的无失真传输条件其中：为常数，为延迟时间。时域条件频域条件系统函数3.6系统的频域分析信号进行无失真传输时要满足两个条件：（1）系统的幅频特性在整个频率范围内是常量；（2）系统的相频特性在整个频率域内是线性的（过原点的一条直线）。3.6系统的频域分析例3：图示电路系统，已知R1=R2=1Ω，激励为电流源is(t)，输出电压为u(t)。为使系统无失真地传输信号，试确定L和C的值。解：根据相量模型，可得系统函数为此时满足无失真条件，且无时间延迟。当L=1H和C=1F时，理想滤波器：幅频特性在某一频带内保持为常数而在该频带外为零，相频特性始终为过原点的一条直线。3.6系统的频域分析2、信号通过理想滤波器理想低通滤波器（LPF）理想高通滤波器（HPF）理想带通滤波器（BPF）理想带阻滤波器（BSF）（1）理想低通滤波器的冲激响应03.6系统的频域分析以下重点研究信号通过理想低通滤波器的情况。3.6系统的频域分析（1）在时作用于系统，而在时刻系统响应达到最大值，表明系统对信号具有延时作用，延时量为。冲激响应h(t)的特点：（3）当时，，这表明理想低通滤波器是一个非因果系统，它在物理上是无法实现的。（2）响应比激励展宽了许多，表明冲激信号中的高频分量被滤波器衰减了。当输入为

(t)时，根据时域卷积定理可得3.6系统的频域分析（2）理想低通滤波器的阶跃响应过冲式中：则阶跃响应为

不同截止频率理想低通滤波器的阶跃响应

3.6系统的频域分析吉布斯现象3.6系统的频域分析例4：实际的低通滤波器如图所示，设L=3H,C=1/3F,R=3Ω。试求系统函数和冲激响应。解：根据阻抗关系，可得系统函数幅频特性：相频特性：3.6系统的频域分析

若输入信号，则冲激响应h(t)直接由的

傅氏反变换得到冲激响应h(t)是因果的，故系统是可以实现的！其幅频特性和相频特性与理想低通滤波器非常相近。1、信号的取样（采样/抽样）3.7取样定理及其应用电子开关（常用MOS管）取样器的模型表示开关周期为Ts接通时间为τfs(t)是取样信号p(t)是周期性矩形窄脉冲（对应实际取样）δT(t)是周期性冲激信号串（对应理想取样）取样原理示意图3.7取样定理及其应用理想取样实际取样fs(t)=f(t)·p(t)fs(t)=f(t)·δT(t)3.7取样定理及其应用问题：取样周期Ts取多大才合适？取样间隔不合适，丢失信息严重Ts足够小，包含了原始正弦波信号的很多信息。3.7取样定理及其应用1928年美国物理学家Nyquist提出，称为奈奎斯特取样定理1933年苏联工程师科捷利尼科夫用公式表述这定理，在苏联文献中称为科捷利尼科夫取样定理。1948年Shannon对这一定理明确地说明并正式作为定理引用，又称为香农取样定理。2、取样定理若f(t)为带宽有限的连续信号，其频谱的最高频率为fm，则以取样间隔Ts≤1/(2fm)

对f(t)等间隔取样所得的取样信号fs(t)将包含原信号f(t)的全部信息。3.7取样定理及其应用最大取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔最大取样频率fs=2fm称为奈奎斯特取样频率FLASH：取样定理3.7取样定理及其应用频谱不混叠频谱混叠3.7取样定理及其应用FLASH：取样信号频谱（1）理想取样取样信号取样信号的频谱其中：是取样角频率频域卷积定理ωs≥2ωm

ωs<2ωm

信号恢复原理图3.7取样定理及其应用

如何从fs(t)中恢复原信号f(t)？理想低通滤波器的冲激响应根据时域卷积定理：有其中：内插公式

时域卷积恢复原信号f(t)，借助理想低通滤波器从FS(

)中取出原信号的F(

)。FLASH：

信号恢复3.7取样定理及其应用无数个延时的Sa函数的叠加。3.7取样定理及其应用（2）实际取样fs(t)=f(t)·p(t)其中：根据时域卷积定理，可得周期性矩形窄脉冲p(t)的频谱函数为3.7取样定理及其应用取样信号Fs(ω)的频谱是原信号频谱F(ω)沿着ω轴不断频移nωs所得的一串频谱组成，只要取样周期Ts≤1/(2fm)（或者ωs≥ωm

），这一串频谱互相不会重叠。

借助截止频率为ωc

=ωm的理想低通滤波器就能恢复原信号！

n=0时只是系数变化了τ/Ts（3）工程中的实际问题解决方案如下：3.7取样定理及其应用实际工程中要做到完全不失真地恢复原信号是不可能的。原因之一：在有限时间内存在的实际信号，其频谱是无限宽的，故无法确定最高频率fm。原因之二：要从取样信号中完全恢复原信号必须借助理想低通滤波器，而理想低通滤波器是无法实现的。若最高频率ωm已知，工程上一般取ωs≥(5~10)ωm

。

取样定理用于电报技术3.7取样定理及其应用3.7取样定理及其应用思考题（1）什么是取样定理？你能用生活中遇到的事物说明取样定理的正确性吗？（2）许多信号并不是带宽有限的，为了确定取样频率，应该如何处理？（3）对f(t)进行理想取样的Nyquist取样频率为fs，则对f(2t－3)进行取样，其Nyquist取样频率为多少？（4）信号f(t)＝Sa(100t)，则最低理想取样频率为fs多少？解调：从已被调制的信号中恢复原信号的过程。3.8频域分析用于通信系统1、信号的调制与解调调制：有用信号为f(t)——称为调制信号高频振荡为x(t)=Acos(

0t+

0)——称为载波信号调制信号高频载波3.8频域分析用于通信系统调制分类（1）幅度调制（调幅，AM）：用f(t)控制x(t)的振幅（2）频率调制（调频，FM）：用f(t)控制x(t)的频率（3）相位调制（调相，PM）：用f(t)控制x(t)的相位3.8频域分析用于通信系统三角波的三种调制方法示意图调制信号高频载波调幅信号调频信号调相信号2、正弦调幅与频分复用（1）正弦调幅3.8频域分析用于通信系统①调制（modulation）设载波信号为则调幅信号可以表示为3.8频域分析用于通信系统由频谱搬迁原理可得注意：频谱形状不变，但最大值变为原来的一半！假设A=13.8频域分析用于通信系统②解制（demodulation）对应的频谱函数为由于3.8频域分析用于通信系统低通滤波器的频率特性截止频率满足与有用信号的频谱完全相同频域乘积频分复用原理3.8频域分析用于通信系统（2）频分复用（FDMA）信号频谱所占的带宽互不重叠三路信号的调制频分复用的特点：独占频道，共享时间。

3.8频域分析用于通信系统3.8频域分析用于通信系统三路信号的解调3.8频域分析用于通信系统（3）单边带通信频谱中的上边带（或者下边带）包含了F(ω)的全部信息，而载波本身并不携带信息。传送上边带（或者下边带）即可

短波单边带发射机实物3、脉冲调幅与时分复用3.8频域分析用于通信系统（1）脉冲调幅调幅载波脉冲两路信号时间上互不重叠两路信号的脉冲幅度调制3.8频域分析用于通信系统（2）时分复用（TDMA）特点：独占时间，共享频率。

时分复用原理注意：时分复用不能用分离频谱的方法解调信号，只能用时序电路来恢复原来的信号。

三路信号的时分复用与解复用原理3.8频域分析用于通信系统3.8频域分析用于通信系统4、应用例：求雷达探测系统发射信号的频谱分布图。雷达探测系统的框图保铮（1927一2020）雷达技术专家中科院院士3.8频域分析用于通信系统解：

思考题：除了频分复用和时分复用，通信技术中还广泛应用

着哪种复用技术？脉冲信号是周期门信号，发射信号是以高频

0调制的高频脉冲信号。发射信号可以写成频谱分布图如下：

答案：码分复用（CDMA）本章结束知识如金玉，能力价更高。能力不是天生就有的，不是先有能力才能做成事。能力是干出来的，是练出来的，是不断经过挫折，不断总结经验教训得来的。学习导言第4章连续系统的复频域分析曲则直，退则进；缺则圆，失则得。变换得其法，终为善其事。巧引复频域，微积变代数。学习重点

单边拉氏变换及其重要性质；拉氏反变换的方法（展开定理）；微分方程的s域求解；电路的s域模型及分析方法。本章目录4.1拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的主要性质4.3拉普拉斯反变换4.4系统的s域分析复频域分析的思路微分方程s域代数方程解s域代数方程时域响应拉氏变换拉氏反变换1、从傅