《信号与系统教程》（第5版） 课件 第5-8章 系统函数与零极点分析- 连续和离散系统的状态变量分析

第5章系统函数与零、极点分析星缀天河，你我相依成宇宙；阴晴圆缺，万物变换皆有因。绿肥红瘦，系统函数各有异；动静抑扬，零、极分布造化功。

系统函数H(s)的特性；系统的s域方框图；系统函数的零、极点；系统稳定的概念；

s域分析用于控制系统。学习导言学习重点本章目录5.1系统函数与系统模拟5.2系统函数的零、极点5.3线性系统的稳定性5.4s域分析用于控制系统

系统函数H(s)是零状态响应的象函数与输入信号的象函数之比，即5.1系统函数与系统模拟1、再论系统函数满足如下对应关系时域卷积频域乘积（1）系统函数的定义拉氏变换对5.1系统函数与系统模拟（2）系统函数的含义单端口策动点函数双口传递函数（转移函数）输入阻抗（Ω）输入导纳（S）转移电压比（电压增益）转移电流比（电流增益）转移阻抗（Ω）转移导纳（S）5.1系统函数与系统模拟例1：如图所示系统，以u1(t)为输入，求响应分别为i1(t)、i2(t)和uC(t)时的系统函数。s域模型解：用节点法列写关于UC(s)的方程从而有即5.1系统函数与系统模拟系统函数分别为输入导纳（S）转移导纳（S）转移电压比（电压增益）系统函数仅与系统本身有关，与系统的激励和响应的形式无关。结论：各不同输出变量对输入的各系统函数的分母多项式均相同，即系统的特征根（固有频率）不因响应变量的不同而改变。H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系统频率特性H(j

)的s域表示；H(s)取决于系统的结构与元件参数，确定了系统在s域的特征；H(s)是一个实系数有理分式，其分母、分子多项式的根为实数或者共轭复数；H(s)为系统冲激响应的拉氏变换，与系统的起始状态无关。5.1系统函数与系统模拟（3）系统函数H(s)的性质5.1系统函数与系统模拟基于系统函数H(s)求阶跃响应s(t)积分定理拉氏反变换例2：图示有源系统，设R=1Ω，C=1F，试求系统的电压传递函数H(s)=U2(s)/U1(s)；当K=3时，求阶跃响应s(t)。5.1系统函数与系统模拟解：列写s域节点方程联立并代入参数后，可得系统函数为当K＝3时由于阶跃响应为s域模型2、系统的方框图表示与模拟5.1系统函数与系统模拟（1）子系统的三种联结方式并联串联反馈5.1系统函数与系统模拟（2）三种基本模拟运算单元系数（标量）乘法器加法器积分器5.1系统函数与系统模拟（3）系统模拟（以二阶系统为例）（便于用积分器）其中即系统的模拟框图意味着分子多项式对应前向支路（指向输出），分母多项式对应反馈支路正负照此可以推广到高阶系统系统函数5.1系统函数与系统模拟例3：如图所示是研究汽车在不平坦路面上行驶时减轻震动的原理图。减震环节由汽车底盘（质量为m）下的一个弹簧（弹性系数为K）和一个阻尼器（阻尼系数为B）构成。y(t)为汽车底盘的高度，f(t)为路面的起伏高度。试画出模拟该系统的框图。5.1系统函数与系统模拟系统模拟框图研究表明，该系统的微分方程为从而得系统函数解：5.1系统函数与系统模拟连续系统的模拟框图也可以用信号流图表示。系统模拟框图系统函数信号流图表示系统传输方向和各传递函数的简单形式设有系统微分方程思考题（1）系统函数有什么特点？有几种方法可以确定H(s)？（2）频率特性H(ω)和系统函数H(s)有何区别和联系？

（3）系统的s域模拟图有什么规律性？5.1系统函数与系统模拟5.2系统函数的零、极点零点(zeros)：分子多项式N(s)=0的根，z1，z2，

zm极点(poles)：分母多项式D(s)=0的根，s1，s2，

sn系统函数1、H(s)的零、极点可以改写为其中：是常数是零点是极点注意：不是（1）零、极点的定义零极点分布图5.2系统函数的零、极点零极点分布图：把H(s)的零、极点表示在s复平面上零点用“○”表示，极点用“×”表示。若为n重零点或者极点，在其旁边标注(n)例如：极点为零点为二阶极点一阶共轭极点设s1=

1+j1，s2=

1

j15.2系统函数的零、极点（2）零、极点分布图的意义以并联RLC电路的阻抗函数为例阻抗函数的三维示意图在极点处，阻抗函数的模为∞在零点处，阻抗为0峰值峰值谷值2、H(s)的零、极点分布与时域特性的关系5.2系统函数的零、极点总结：零点只影响h(t)的幅度和相位，对冲激响应的变化模式没有影响。（1）零点分布与时域特性的关系例如：极点为零点为冲激响应若极点不变，零点变为冲激响应5.2系统函数的零、极点总结：极点在s平面上的位置确定了冲激响应h(t)的变化模式。例如：（1）极点s=0，对应的h(t)为阶跃函数；（2）极点s=―α，当α>0时，对应的h(t)对应为衰减指数函

数；当α<0时，对应的h(t)为增长指数函数；（3）共轭极点s=―α±jω，当α>0时，对应的h(t)为减幅振

荡；当α<0时，对应的h(t)为增幅振荡；当α=0时，

对应的h(t)为等幅振荡。（2）极点分布与时域特性的关系5.2系统函数的零、极点典型的极点与时域响应的对应关系阶跃函数衰减指数增长指数减幅振荡增幅振荡等幅振荡左半平面极点位置与时域响应h(t)的对应关系5.2系统函数的零、极点5.2系统函数的零、极点虚轴上极点位置与时域响应h(t)的对应关系5.2系统函数的零、极点右半平面极点位置与时域响应h(t)的对应关系5.2系统函数的零、极点例1：如设有系统函数求零、极点，画出零、极点图，并求冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)。解：极点为零点为冲激响应由于阶跃响应5.2系统函数的零、极点冲激响应阶跃响应5.2系统函数的零、极点3、H(s)的零、极点分布与频域特性的关系（1）频率特性H(ω)与系统函数H(s)的关系若H(s)在s的右半平面没有极点（收敛域包括jω轴），则因此：H(s)的零、极点也可以确定系统函数的频域特性。（2）图解法定性分析频率特性H(ω)幅频特性：5.2系统函数的零、极点相频特性：零极点与矢量图令极点矢量零点矢量则：极点和零点矢量与实轴σ的夹角分别为βi和αj极点和零点矢量长度分别为和图解法5.2系统函数的零、极点例2：试基于零、极点定性分析RC低通网络的频率特性。解：电压传递函数（系统函数）极点位于s左半平面令频率特性幅频特性：相频特性：5.2系统函数的零、极点幅频特性曲线相频特性曲线∞03dB截止频率零极点与矢量图5.2系统函数的零、极点思考题（1）H(s)的极点与h(t)有什么对应关系？极点靠近虚轴时，系统的性质有何变化？（2）H(s)的零、极点与频率特性H(ω)有什么对应关系？罗沛霖（1913一2011）电子学与信息学专家中国科学院院士5.3线性系统的稳定性1、系统稳定的概念对于一般的因果系统，稳定的充要条件是冲激响应h(t)绝对可积，即系统稳定：当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统响应在干扰消失后会最终消失，即系统仍能回到干扰作用前的原状态。任何系统要能正常工作，都必须以系统稳定为先决条件。稳定性是系统本身的特性，与输入信号无关。有源系统极点在s右半平面增幅正弦振荡（不稳定）单电容电路极点在s=0阶跃函数（临界稳定）等幅振荡（临界稳定）一对共轭极点在虚轴上LC网络5.3线性系统的稳定性稳定：充要条件是，即H(s)的全部极点位于s的左半平面；临界稳定：H(s)在虚轴上有s=0的单极点或一对共轭单极点，其余极点全在s的左半平面；不稳定：H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或在虚轴上有二阶或者二阶以上的重极点。系统稳定性结论5.3线性系统的稳定性2、稳定性判据（代数判别法）（1）系统稳定的必要条件是H(s)的分母多项式的全部系数非零且均为正实数。（2）对于一阶或者二阶系统，上述第一条准则是稳定的充要条件。（3）对于三阶系统，设H(s)的分母多项式则系统稳定的充要条件是D(s)的各项系数全为正，且满足：（4）对于四阶系统，设H(s)的分母多项式则系统稳定的充要条件是D(s)的各项系数全为正，且满足：5.3线性系统的稳定性因此系统稳定。5.3线性系统的稳定性例：研究表明，导弹跟踪系统的微分方程为它在飞行过程中会受到各种干扰，问系统是否能抑制干扰而稳定地工作？解：系统函数为根据代数判别法，D(s)的各项系数全为正，且满足即a1a2>a0a3导弹跟踪系统的阶跃响应5.3线性系统的稳定性思考题（1）如何理解临界稳定？一个振荡器产生的正弦信号是否属于临界稳定？（2）

若有系统函数

试用两种方法判定系统的稳定性。由此能得到什么结论？5.4s域分析用于控制系统1、开环与闭环控制控制系统只是根据给定的输入指令（即控制量）工作，而被控制量在整个过程中对控制量不产生任何影响。（1）开环控制开环炉温控制系统及方框图控制量（UX）被控制量t不具备自动修正炉温的能力，控制精度低5.4s域分析应用于控制系统（2）闭环控制控制系统将输出信号的全部或者部分返回到系统输入端与输入信号叠加。闭环炉温控制系统方框图宇宙飞船上恒温箱的温度自动控制装置反馈卫星角度跟踪天线控制系统卫星天线与伺服电机5.4s域分析应用于控制系统负反馈5.4s域分析应用于控制系统研究自动控制系统动态特性的重要工具：系统函数H(s)负反馈系统元件的老化、负载的变化、温度的影响或电源电压变化105负反馈具有稳定增益的作用系统函数5.4s域分析应用于控制系统例1：如图所示反馈系统，为使系统稳定，试确定参数K的取值范围。解：系统函数按照二阶系统的稳定条件，可得反馈控制系统的应用已经渗透到各个工程领域，例如：自动控制、通信、电子、航空航天等。5.4s域分析应用于控制系统例2：三阶锁相环控制系统，求系统函数H(s)，并判断系统能否稳定工作。解：第1级RC运放电路第2级RC运放电路第1级RC运放电路的电压传递函数为其中：锁相环系统的闭环系统函数为其中：相位检波器的增益压控振荡器的传递函数环路滤波器闭环系统函数因此该锁相环能稳定工作。5.4s域分析应用于控制系统令则它是一个典型的三阶系统。系统稳定的充要条件是D(s)的各项系数全为正，且满足锁相环阶跃响应的模拟结果如下5.4s域分析应用于控制系统

锁相环是典型的相位控制系统，不仅可以应用于数字通信的同步系统，窄频带跟踪接收，调频、调相信号的解调和频率合成。而且可用于人造卫星、火箭等的锁相相关应答器和工业同步控制。在激光通信中也要应用锁相技术实现相干性。锁相环的阶跃响应5.4s域分析应用于控制系统例3：求潜水艇控制系统的系统函数H(s)，为使系统稳定，试确定参数K的取值范围。解：系统函数为系统稳定的充要条件是即积分器5.4s域分析应用于控制系统2、系统阶跃响应的动态指标出发点：研究系统阶跃响应的动态性能具有重要意义。以典型二阶系统为例，其微分方程为其中：为阻尼系数，为无阻尼振荡角频率系统函数为在欠阻尼（）的情况下，其极点其中：阶跃响应其中：5.4s域分析应用于控制系统阶跃响应的动态指标（4）最大超调量σ%：（1）上升时间tr

：阶跃响应从0到第一次达到1所需的时间。（2）峰值时间tp

：阶跃响应从0上升到第一个峰值smax所需的时间。（3）调节时间ts：阶跃响应的振荡包络线进入稳态值的±5%误差范围所需的时间。例4：二阶系统函数试求上升时间、峰值时间、调节时间和最大超调量。解：写成标准形式对照可得（1）上升时间：（2）峰值时间：（3）调节时间：从而有，（4）最大超调量：5.4s域分析应用于控制系统5.4s域分析应用于控制系统思考题（1）如何理解反馈控制的特点？（2）为了尽快地使二阶系统进入稳态，应如何选择系统参数（如）？（3）设有二阶系统方程

试求上升时间、峰值时间、调节时间和最大超调量。本章结束实现科学与艺术、科技与人文的融合，已经成为教育家和科学家共同的理恐追求。实现科技与人文的结合已是现代大学成功的重要标志，也是培养能适应新世纪发展需要之人才的希望所在。

一一李政道第6章离散系统的时域分析一叶见四季，一花知天堂。连续变离散，模拟变数字，相映而生辉，规律乃相似。

离散信号及其表示；系统的差分方程和模拟图；单位函数和单位响应；离散系统的卷积和及其应用。学习导言学习重点本章目录6.1离散时间信号6.2离散时间系统6.3卷积和及其应用6.4反演卷积和6.1离散时间信号1、离散时间信号

离散时间信号（简称离散信号）是只在一系列离散时刻（例如t1,t2,…）才有定义的信号。离散信号即可以对连续信号取样得到，也可以是事物本来的离散取值。

例如：（1）气象站每隔一小时测得的气温、风速等信号；（2）雷达每隔一定间隔测得的高度信号；（3）电影中每秒钟拍摄的演员动作的24张图像信号。若离散信号由每隔时间T出现的样点组成，则可以表示为f(nT)，简写为f(n)，f(n)又常称为序列。（1）离散信号的概念6.1离散时间信号六种常见的离散信号正弦序列指数衰减序列指数增长序列衰减振荡序列阶跃序列指数振荡序列①单位脉冲序列（单位函数）②单位阶跃序列③矩形序列（有限长脉冲序列）6.1离散时间信号（2）常用的离散信号（序列）即：a取不同值时的序列波形6.1离散时间信号④正弦序列⑤因果实指数序列式中：Ω是数字角频率，单位是rad。取样周期T=86.1离散时间信号（3）离散信号的应用机械手控制系统6.1离散时间信号2、离散信号的基本运算（1）相加：两序列同序号的序列值逐项对应相加。（2）相乘：两序列同序号的序列值逐项对应相乘。FLASH:离散信号延迟（3）移位：序列沿n轴逐项依次移位。规律：若m为正整数，则f(n－m)比f(n)延迟m位，即f(n)的图形右移m位；

f(n＋m)比f(n)超前m位，即f(n)的图形左移m位。6.1离散时间信号从模拟信号到数字信号：取样+量化+编码6.1离散时间信号SamplingQuantizationEncoding6.1离散时间信号思考题（1）若有一个最小的正整数N，使得f(n)＝f(n+N)，那么f(n)是一个什么样的序列？（2）图示连续信号f(t)和离散信号f(n)的角频率各为多少？注意：为取样角频率。连续信号离散信号1、离散系统的差分方程差分方程：微分方程的离散化。6.2离散时间系统下面以RC电路电容充放电为例说明如何由微分方程得到差分方程。式中：充放电t＝nT微分方程为对上式取样，得令T=1，即有差分方程解：根据KCL，可得例1:求T形电阻网络的差分方程。整理可得差分方程为6.2离散时间系统电流“一进两出”适当移位后又可以写成（二阶差分方程）N阶差分方程的一般形式：（后向差分方程

）6.2离散时间系统式中：简记为LTI离散系统的性质：设（1）可加性：对于输入f1(n)和f2(n)，恒有（2）齐次性：对应任意常数a和输入f(n)，恒有（3）线性：对于任意常数a1和a2，必有（4）时不变性（位移不变性）：对于任意整数m，恒有6.2离散时间系统2、离散系统的时域模拟三种基本模拟运算单元（2）常数乘法器（1）加法器（3）单位延迟器例2：设一数字处理器的差分方程为试画出其模拟框图。6.2离散时间系统解：将差分方程改写为模拟框图如下共用延迟器节约成本1个加法器5个常数乘法器4个单位延迟器2个加法器5个常数乘法器2个单位延迟器改进6.2离散时间系统3、离散系统的零输入响应

对于N阶差分方程，当输入信号为零时，其零输入响应的基本形式为其中：是系统特征方程的根；系数由初始状态决定。说明：（1）差分方程和微分方程的求解非常类似，所不同的是微分方程齐次解的基本形式为，而差分方程齐次解的基本形式为；（2）在计算零输入响应时，要注意正确运用所给定的起始状态。6.2离散时间系统例3:设有二阶离散系统起始状态，试求时的零输入响应。解：零输入响应为当n＝0

时当n＝1时最后得零输入响应为解得系数为例4:著名的斐波那契（Fibonacci）数列为｛0，1，1，2，3，5，8，13，21，…｝设数列的第n个数值为y(n)，试写出数列满足的差分方程表达式并求其解。6.2离散时间系统解：差分方程为齐次解为当n＝0

时当n＝1时方程的解为解得系数为MATLAB数值仿真结果如下：6.2离散时间系统当n≥20时，y(n)将飞速增长。研究表明：生物学的生态平衡和灾变过程（例如蝗灾）都满足斐波那契数列。自然界中的许多事物也满足此规律。例如：大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：百合花为3，梅花为5，金盏花为13；向日葵表面常见的两组螺旋线数目为34和55，较大的有144及233，这些都是斐波那契数列中相邻的两个数。6.2离散时间系统此外，斐波那契数列与黄金分割点也有密切关系。和是两个重要的黄金分割数。斐波那契数列中任意一项比前一项是，例如：越到后面，比值越接近黄金分割数1.618。6.2离散时间系统思考题（1）线性差分方程的两种模拟图各有什么规律？如何利用模拟图写出系统的差分方程？（2）设有差分方程：你能编制一个利用计算机求y(n)的计算流程图吗？（3）某人每月月初定期在银行存款，若第n个月的存款额为f(n)，银行支付的月利率为α，那么储户第n个月月底的本息总额y(n)如何表示？6.2离散时间系统6.3卷积和及其应用1、离散信号的分解与卷积和例如：离散信号任意离散信号f(n)均可以表示为许多δ序列的线性组合。（1）离散信号的时域分解＝➕➕6.3卷积和及其应用（2）卷积和的定义和性质①定义：对于离散信号f1(n)和f2(n)，二者的卷积和（简称卷和）定义为②代数性质：因此即：序列f(n)和δ(n)的卷和的结果恢复f(n)自身。结合律：当f1(n)和f2(n)均为因果信号时，交换律：分配律：6.3卷积和及其应用例1:序列，试求卷和。解：根据卷和的定义，可得等比级数求和根据等比级数求和公式可得说明：等比级数求和公式如下6.3卷积和及其应用例2:设有限长序列f1(n)=｛1,3,2,4｝和f2(n)=｛2,1,3｝，

（n≥0），求两者的卷和。解：用如下乘法计算132421339612132427101910122648×f1(n)f2(n)f1(n)*f2(n)n=0n=5即：f1(n)*f2(n)=｛2,7,10,19,10,12｝6.3卷积和及其应用卷和的图解机理n换成kn换成k反褶平移相乘求和FLASH

:

卷和6.3卷积和及其应用常见因果序列的卷和表序号123456789102、离散系统的零状态响应在零状态条件下，由单位序列

(n)引起的响应称为单位脉冲响应，简称单位响应，记为h(n)。6.3卷积和及其应用（1）单位脉冲响应在离散系统中，关注更多的是零状态响应，即在起始状态为零时，仅由输入信号f(n)引起的响应。在零状态响应中，单位脉冲响应非常重要，它是一种特殊的零状态响应。求解单位响应的方法：①递推法；②z变换法（在第7章中介绍）6.3卷积和及其应用例3:设有一阶因果离散系统的差分方程为试求其单位响应h(n)。解：采用递推法求解当n＝0

时当n＝2时当n＝1

时起始状态令，则根据单位响应的定义，可得为了便于递推，改写为依次类推，可得单位响应为（说明：因果系统的h(n)＝0,n＜0）LTI离散系统的零状态响应等于f(n)和h(n)的卷和，即6.3卷积和及其应用（2）零状态响应过程如下：LTI（时不变性）

（齐次性）（可加性）（定义）当f(n)和h(n)为因果序列时求零状态响应的过程示意图6.3卷积和及其应用➕➕＝➕➕＝6.3卷积和及其应用例4:已知离散系统的输入序列和单位脉冲响应分别为试系统的零状态响应

。由分配律可得解：系统的零状态响应为其中：由移位不变性，可得根据可加性，可得则阶跃响应s(n)与单位响应h(n)的关系为6.3卷积和及其应用（3）单位阶跃响应在零状态条件下，由单位阶跃序列ε(n)引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(n)。且由于连续系统与离散系统的比较离散系统系统由差分方程描述

响应y(n)=yzi(n)

+yzs(n)卷积和线性和位移不变性以单位函数

(n)为基本信号

yzs(n)=h(n)

f(n)6.3卷积和及其应用6.3卷积和及其应用思考题（1）离散系统的h(n)与连续系统的h(t)有何异同？离散系统的s(n)与连续系统的s(t)有何异同？（2）考虑下式是否正确？为什么？（3）若二阶差分方程系统有特征根和，与连续系统相似，其二阶特征函数为：若系统输入的强迫函数为，则系统的零状态响应为试说明理由。系统辨识（systemidentification）：由给定的输入、输出特性寻求系统的模型。6.4反演卷积和对应的矩阵形式为在离散系统中，当已知零状态响应y(n)和单位响应h(n)时，如何反演求出输入信号f(n)?考虑到解得6.4反演卷积和依次类推，可得f(n)的表达式为同理，当已知零状态响应y(n)和输入信号f(n)时，可以反演求出单位响应h(n)?由于计算机做逐次递推运算非常方便，因此上述反演卷积和的方法可以快速实现，而且可以推广应用于多维信号的处理领域，从而可以使系统辨识的快速性和准确性大大提高。本章结束生也有涯，学也无涯。不断地学习与思考，才能不断地成长。当你专注于自己的信念与追求，外界的机会才会来找你。每一次挑战都会有一次升华，每一次跨越都会迎来崭新的明天。第7章离散系统的z域分析宇宙原统一，规律相伴生；引进新z域，移植而旁通。这就是思想的力量，数学的力量，创新的力量。

单边z变换及其重要性质；系统差分方程的z变换解；系统函数H(z)及z域模拟；数字滤波器的概念。学习导言学习重点7.1z变换7.2z反变换7.3z变换的主要性质7.4离散系统的z域分析7.5系统的零、极点与稳定性7.6数字信号处理7.7离散时间信号的频谱（DTFT）本章目录7.1z变换1、z变换的定义

z变换是分析线性离散系统的重要数学工具。利用z变换，可以把差分方程变成代数方程。从拉氏变换到z变换的演变过程如下冲激信号串离散信号连续信号的离散化取样信号✖双边z变换狄莫弗(DeMoivre)首次提出拉氏变换7.1z变换考虑到工程实用，仅研究单边z变换，即式中：称为序列的象函数；称为的原函数。根据复变函数的理论，可得z变换对：（z反变换）收敛域：对于给定的任意有界序列f(n)，使得F(z)收敛的所有z值的集合。收敛的充要条件：2、典型序列的z变换①单位脉冲序列收敛域：整个z平面②单位阶跃序列收敛域：③实指数序列收敛域：单边序列的z变换其收敛域总在半径为某一R的圆外区域。7.1z变换收敛域示意图单边序列只要给定F(z)及其收敛域，则F(z)和f(n)就是一一对应的。单边z变换的收敛域总是在|z|>R的区域，故今后不再注明。补充说明：（1）左边序列的收敛域：|z|<|a|（圆内区域）；（2）双边序列的收敛域：|a1|<|z|<|a2|（圆环区域内）；（3）有限长序列的收敛域：0<|z|<∞的整个z平面。注意7.1z变换序号收敛域12345678910常见序列的z变换7.1z变换思考题（1）如何理解z变换的定义表达式？单边z变换的收敛域有何特点？（2）设有序列其z变换的收敛域在何处？（3）设有左边序列你能求出其双边z变换吗？结论是：当|z|<|a|时，你如何理解这一结果？7.1z变换1、幂级数展开法（长除法）7.2z反变换级数的系数就是f(n)。例1:已知象函数，求原序列f(n)

。解：做长除法如下特别提醒：对于因果序列的z变换，在做长除时，应将F(z)的分子、分母按z的降幂排列。从而有可得7.2z反变换对于2、部分分式展开法式中：的根称为的极点。（1）F(z)仅含有一阶单极点若为F(z)的n个单极点，则两边同乘以z，得从而有其中：因此式中：例2:设有象函数，求原序列f(n)。解：因为故有可得系数从而反变换得7.2z反变换

问题：能否像拉氏变换那样直接将F(z)展开成部分分式呢？回答是肯定的。其中系数从而查7.1常见序列的z变换第10号公式，可得对于例1，有注意：虽然形式上与不同，但二序列的值是完全一致的。7.2z反变换（2）F(z)仅含重极点设F(z)在z1处有m阶极点，例如查7.1中常见序列的z变换第10号公式，有则其中系数容易得到F(z)的反变换f(n)。从而7.2z反变换例3:求

的反变换f(n)。解：因为其中系数从而故有由于7.2z反变换思考题（1）z反变换有哪些方法？与拉氏变换有何异同？（2）若对于的极点，一定有，为什么？（3）若F(z)中既有单极点又有重极点，展开公式应如何表示？待定系数如何确定？7.2z反变换7.3z变换的主要性质1、线性性质若则例1:求序列的z变换，式中：Ω为数字角频率。解：根据欧拉公式查7.1中常见序列的z变换第7号公式有根据线性性质，可得7.3z变换的主要性质离散信号的移位2、移位特性（延迟特性）双边序列右移2位单边序列右移2位7.3z变换的主要性质对于双边序列f(n)，其右移m位后的单边z变换为当m＝1

时当m＝2

时对于单边序列，根据移位特性可得由移位特性，显然有左边序列的单边z变换为例2:求已知，求的z变换。解：根据移位性质可得7.3z变换的主要性质3、尺度变换证明由z变换的定义则例3:已知，求的z变换。解：根据尺度变换性质可得设可得7.3z变换的主要性质4、卷和定理若则表明：时间域两个序列的卷和对应为两个序列z变换的乘积。因为离散系统的零状态响应等于输入序列f(n)与单位响应h(n)的卷和，即根据卷和定理有式中：是系统函数，它是单位响应h(n)的z变换。利用卷和定理容易求得序列部分和的z变换，即7.3z变换的主要性质例4:设离散系统的单位响应，输入序列，试在z域求系统的零状态响应。解：因为由卷和定理，零状态响应的z变换为展开成部分分式，得取反变换得7.3z变换的主要性质z变换的常用性质序号名称时域z域（单边）1线性2移位特性3卷和定理4尺度变换5序列求和6F(z)微分7初值定理8终值定理7.3z变换的主要性质思考题（1）序列和的单边z变换在什么情况下相同？什么情况下不同？（2）试写出的单边z变换表达式。1、差分方程的z变换解7.4离散系统的z域分析差分方程z域代数方程解z域代数方程时域响应z变换z反变换z域分析的思路例1:离散系统的差分方程为，若系统的起始状态，输入，试求响应y(n)。解：因系统既有起始状态又有外加输入，故响应中包含零输入分量和零状态分量。考虑到对差分方程两边取z变换，得整理得7.4离散系统的z域分析7.4离散系统的z域分析分别展开成部分分式，有代入起始状态后，进一步整理可得分别取反变换，得系统的全响应为可以直接求反变换得到7.4离散系统的z域分析例2:设一数字处理系统的差分方程为试系统的阶跃响应和单位响应。对差分方程两边取z变换，得从而阶跃响应的象函数为解：系统在零状态条件下，由单位阶跃序列产生的响应为阶跃响应。7.4离散系统的z域分析部分分式展开反变换得阶跃响应根据单位响应和阶跃响应的关系，得：故系统的单位响应为7.4离散系统的z域分析N阶LTI离散系统的差分方程为输入为因果信号，在零状态下，两边取z变换，得2、系统函数H(z)系统函数为由此可见，系统函数仅取决于系统的结构和参数，而与系统的激励和响应无关。一旦差分方程给定，系统函数可立即确定；反之亦然。式中：7.4离散系统的z域分析由于系统函数H(z)和单位响应h(n)构成z变换对，即由卷和定理，若已知H(z)和F(z)，则系统响应时域分析与z域分析的对应关系频域关系时域关系桥梁和纽带7.4离散系统的z域分析例3:图示一阶离散系统，试用z域方法求单位响应和阶跃响应，并画出它们的波形。解：差分方程为两边取z变换，得系统函数为故有因此，单位响应输入

时，则取反变换得阶跃响应7.4离散系统的z域分析单位响应和阶跃响应的波形如下：7.4离散系统的z域分析解：（1）在零状态下，对方程两边取z变换，得系统函数为

例4:设有二阶数据控制系统的差分方程为（1）求系统函数；（2）求单位响应；（3）若激励为，求其零状态响应。（2）部分分式展开，得因此，单位响应7.4离散系统的z域分析部分分式展开，得取反变换得零状态响应由卷积定理得（3）当激励为时3、离散系统的z域模拟图7.4离散系统的z域分析模拟图反映系统本身特性，与起始状态无关。在z域用表示延迟单元的功能。给定微分方程或者系统函数，就可以用加法器、常数乘法器和延迟单元构成系统的z域模拟图。z域时域直接形式17.4离散系统的z域分析设有系统函数系统的z域方程为即z域模拟图为1个加法器3个常数乘法器3个单位延迟器直接形式27.4离散系统的z域分析设系统函数的一般形式为以二阶系统为例意味着令中间变量进而则有7.4离散系统的z域分析2个加法器5个常数乘法器2个单位延迟器z域模拟图为优点：共用延迟器，节约成本用信号流图表示离散系统的z域模拟7.4离散系统的z域分析基本流图单元常数乘法器加法器单位延迟器补充说明：两节点传递系数为1时也可以只画箭头不标数值。7.4离散系统的z域分析两种形式的流图表示形式2形式1等价7.4离散系统的z域分析根据上述z域模拟的思想，工程上可用数字硬件装配成一台专门的设备，这称为数字信号处理机。简单的数字信号处理机的硬件结构图7.4离散系统的z域分析思考题：（1）用z变换法求解差分方程的步骤是什么？（2）离散系统z域模拟的规律是什么？根据z域模拟图如何得到系统的差分方程？7.5系统的零、极点与稳定性1、H(z)的零、极点分布与h(n)的关系系统函数为常系数式中：反变换得为简单起见，假设系统函数不含重极点，即为极点，是的根为零点，是的根式中：因此，单位响应的变化模式完全取决于极点，而零点只影响其幅值和相位。7.5系统的零、极点与稳定性典型的极点位置与单位响应之间的对应关系实极点在单位圆内衰减指数共轭复极点在单位圆内实极点在单位圆上共轭复极点在单位圆外衰减振荡振荡增长阶跃序列例1:设有系统函数

试问单位响应具有怎么样的变化模式？解：系统函数的极点为部分分式展开得反变换得系数单位响应的末项对应一对共轭复极点，为增幅的余弦振荡。7.5系统的零、极点与稳定性（1）z变换与拉氏变换的关系2、离散系统的稳定性冲激响应不变法拉氏反变换取样极点z变换7.5系统的零、极点与稳定性s平面和z平面关系特别提醒：两个平面之间的映射关系不是单值的！7.5系统的零、极点与稳定性（2）离散系统的稳定性稳定性：对于离散系统，若对任意有界的输入序列，其输出序列的值总是有界的，则该系统是稳定的。对于因果LTI系统，当且仅当单位响应h(n)绝对可和时，即系统是稳定。根据单位响应的变化模式，可以直观地说明稳定性。（1）稳定：系统的单位响应在足够长的时间后完全消失。（2）临界稳定：在足够长时间之后单位响应趋于一个非零常数或者有界的等幅振荡。（3）不稳定：在足够长时间之后单位响应无限制地增长。7.5系统的零、极点与稳定性结论：（1）若系统函数的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定；（2）若系统函数的一阶极点（实极点或者共轭复极点）位于单位圆上，单位圆外无极点，则系统为临界稳定；（3）若系统函数的极点至少有一个位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统不稳定。7.5系统的零、极点与稳定性例2:设有差分方程表示的系统试求系统函数H(z)，并讨论系统的稳定性。解：在零状态下，对方程两边取z变换，得系统函数极点为：均位于单位圆内。因此系统是稳定的。7.5系统的零、极点与稳定性解：该闭环系统的系统函数为例3:图示离散反馈控制系统，问K为何值时系统稳定？为保证极点在单位圆内，应有即7.5系统的零、极点与稳定性思考题（1）s平面和z平面有何映射关系？（2）离散系统稳定的充要条件是什么？若输入满足f(n)<M<∞，如何说明稳定系统的输出也有界？（3）工程实际中，如何用实验信号测定系统是否稳定？（4）若系统函数的全部极点在单位圆内，且都是高阶的，问系统是否稳定，为什么？7.5系统的零、极点与稳定性1、离散系统的频率特性7.6数字信号处理（1）频率特性设输入为复指数序列式中：T为取样周期系统的零状态响应式中：为系统的频率特性。表明：若离散系统的输入是角频率为ω、取样周期为T的复指数序列（或正弦序列），系统的稳态响应也是同频率的复指数序列（或正弦序列）。7.6数字信号处理对于离散系统，若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，即|z|≥1，或者说只要系统是稳定的，则将z换为ejωT就可以得到离散系统的频率特性，即（2）系统函数和频率特性之间的关系注意：频率特性是以2π为周期的连续函数。式中：称为幅频特性；称为相频特性。由于，故频率特性也可以表示为频率特性又可以写为解：（1）系统函数为（2）频率特性幅频特性相频特性例1:在数字信号处理中，为了有效地传输低频信号，一个常用的简单低通系统是（1）问为何值时系统稳定？（2）若取，试求系统的频率特性，并画出其幅频特性和相频特性。当时，有要使系统稳定，则要求极点在单位圆内，即7.6数字信号处理零极点分布图单位响应幅频特性相频特性以2π为周期的连续谱FLASH

:

频率响应7.6数字信号处理数字滤波器框图去噪DACADC白十字图所有行都经过因果的低通滤波器后的白十字图所有列都经过因果的低通滤波器后的白十字图7.6数字信号处理例2:设有数字滤波器，其差分方程为：若滤波器的输入为5Hz的正弦信号并有50Hz的工频干扰，信号的取样频率为250Hz。试分析该滤波器能否滤除工频干扰。解：系统函数为它仅在z＝0处有极点，故系统稳定，从而频率特性滑动平均7.6数字信号处理因为故对于5Hz的正弦信号而言对于50Hz的工频干扰而言则则结果表明，该滤波器能够滤除50Hz的工频干扰。7.6数字信号处理2、数字信号处理的概念数字信号处理（DSP）的内容非常丰富，其中最基础的是数字滤波器和快速傅里叶变换（FFT）。3dB带宽的250Hz的模拟低通滤波器截止频率为250Hz的数字低通滤波器数字滤波器：将输入序列按既定要求转换为输出序列。7.6数字信号处理多路数字信号处理系统数字滤波器分为两类：（1）按单位响应样式分为IIR型和FIR型；（2）按实现形式分为递归和非递归实现。数字滤波器的设计问题就是求出一组系数ak和br，使得滤波器具有所需特性。数字系统函数7.6数字信号处理则系统的单位响应h(n)为无限长，称之为IIR滤波器。IIR(infiniteimpulseresponse)滤波器若系统函数满足因此，IIR滤波器的输出不仅取决于输入值，而且还取决于输出值，故又称为递归型滤波器。该系统的差分方程为FIR滤波器先设计模拟原型滤波器，然后借助冲激响应不变法或者双线性变换法转换成数字滤波器。7.6数字信号处理FIR(finiteimpulseresponse)滤波器则系统的单位响应h(n)为有限长，称之为FIR滤波器。若系统函数满足因此，FIR滤波器的输出只取决于输入值，与其他移位的输出无关，称之为非递归型滤波器。它仅在z＝0处有极点，故FIR滤波器总是稳定的。FIR滤波器设计方法有：窗函数法、频率采样法、切比雪夫等波纹最佳逼近法等。该系统的差分方程为7.6数字信号处理7.6数字信号处理递归实现的三阶数字滤波器非递归实现的三阶数字滤波器DSP器件及实际电路板示例7.6数字信号处理思考题（1）离散系统的频率特性是如何定义的？为什么强调系统在稳定条件下的频率特性才有意义？（2）离散系统频率特性与连续系统频率特性有什么不同？这种不同会带来什么后果？（3）例1中，若，系统属于何种滤波器类型？7.6数字信号处理7.7离散时间信号的频谱（DTFT）当对离散信号（序列）取傅里叶变换（discretetimeFouriertransform,DTFT）时，就可得到离散信号的频域表示。根据s-z平面的映射关系，s平面的虚轴（jω）对应z平面的单位圆，即：或双边z变换对DTFT变换对特别地，对于单位响应，则有频率特性序号名称时域频域（DTFT）1线性2频移特性3时移特性4时域卷积5频域卷积6尺度变换7差分8频域微分离散时间傅里叶变换的主要性质7.7离散时间信号的频谱（DTFT）例1:已知矩形序列，求其傅里叶变换。解：根据DTFT可得7.7离散时间信号的频谱（DTFT）相频特性：幅频特性：以2π为周期的连续谱线性相位7.7离散时间信号的频谱（DTFT）例2:若离散系统的频率特性

为理想低通形式，其相位特性，试求其单位响应h(n)（即傅里叶反变换）。解：根据IDTFT可得降正弦函数7.7离散时间信号的频谱（DTFT）本章结束时间，抓住了就是黄金，虚度了就是流水；书，真看就是知识，没看就是废纸；理想，努力了即是梦想，放弃了就是妄想。第8章连续与离散系统的状态变量分析空间时间观，发展路漫漫。牛顿说：空间是绝对的，不随物质运动而变；爱因斯坦说：空间与物质运动密切相关。牛顿说：时间是绝对的，均匀流逝万古不易；爱因斯坦说：时间是相对的，其节奏随运动速度和万有引力强度而变。系统分析，不妨也换一个空间：即状态空间。学习导言第8章连续与离散系统的状态变量分析学习重点

状态变量和状态方程的概念：状态空间分析；状态方程的一般形式；状态方程的时域求解和变换域求解方法。本章目录8.1线性系统的状态方程8.2状态方程的解8.3非线性系统的状态方程8.4离散系统的状态变量分析描述系统的方法：（1）输入—输出法（端口法）：用微分方程或者差分方程描述，缺点是不便于研究与系统内部情况有关的各种问题；（2）状态变量法（内部法）：以系统内部变量为基础的分析方法，用状态方程和输出方程描述。不仅适用于分析LTI系统，也便于推广应用于线性时变系统或非线性系统。1、状态变量与状态方程8.1线性系统的状态方程以二阶电路为例说明状态变量和状态方程的概念。对节点a列KCL可得对包含电感的回路列KVL可得整理可得8.1线性系统的状态方程写成矩阵形式为若指定电感电压为输出，则有方程因此，状态变量方程（简称状态方程）是用状态变量和激励（有时为零）表示的一组独立的一阶微分方程。（状态变量方程）输出方程是用状态变量和激励（有时还有可能有激励的某些导数）表示的代数方程。（输出方程）式中：和是状态变量。令状态方程中其中T是转置矩阵符号。状态方程可写成式中：表示状态变量的一阶导数向量，为状态变量，A状态变量的系数矩阵，对于LTI系统，A和B为常数矩阵。状态方程是一组一阶微分方程。只要知道起始状态，就可以求取和该电路的其他量也可随之确定。状态方程和输出方程总称为动态方程。在电路系统中，一般取独立电容上电压和电感中电流为状态变量。8.1线性系统的状态方程直观列写电路系统状态方程的步骤：第一步：选择独立的电容上电压和电感中电流为状态变量。第二步：对与电容相连的节点列写KCL方程，对包含电感的网孔（回路）列写KVL方程。第三步：消去非状态变量，整理成标准形式的状态方程。8.1线性系统的状态方程例:试写出如图所示电路的状态方程，并以为输出写出输出方程。解：选择电容上电压和电感上电流为状态变量，即列出2个KCL方程和1个KVL方程如下KCLKVL8.1线性系统的状态方程整理可得状态方程写成矩阵形式为标准形式输出方程8.1线性系统的状态方程两级反馈积分环节并联状态方程矩阵形式输出方程若已知系统的模拟框图，则可以写出状态方程。8.1线性系统的状态方程连续系统的状态方程可一般地写成输出方程的一般形式为2、状态方程的一般形式8.1线性系统的状态方程各系数矩阵式中对应的矩阵形式为输出向量输入向量状态向量状态变量的一阶导数向量8.1线性系统的状态方程由于可看作n维空间的向量，称为状态向量，故状态变量分析也常称为状态空间分析。应用状态方程和输出方程，可以研究许多复杂工程问题，例如：机器人双脚的行走、飞机和火箭的升空等。火箭控制系统8